در سال های اخیر هندسه فینسلر نه تنها به عنوان موضوعی مدرن که شامل قضایا و تکنیک های متعدد می باشد مطرح است، بلکه بعنوان موضوعی مهم در حل مسایل ترمودینامیک، اپتیک، اکولوژی، بیولوژی و ... پیشرفت های چشم گیری داشته است. در این پایان نامه متریک های ریشه m-ام تعمیم یافته، روی یک منیفلد n-بعدی m را مورد بررسی قرار می دهیم که خواص جبری خاصی دارند. در مقاله(on einstein m-th root metrics)، نویسندگان خواص جبری متریک های ریشه m-ام غیر ریمانی را بررسی کردند. هدف بدست آوردن شرطی برای متریک ریشه m-ام اینشتین غیر ریمانی fبود که تحت آن شرط، f ریچی-مسطح باشد و نیز ثابت کرد که اگر fیک متریک اینشتین ضعیف غیر ریمانی باشد آنگاه 0ric=. نشان می دهیم که نتایج نویسندگان در مقاله (on einstein m-th root metrics) برای مترهای ریشه m-ام تعمیم یافته نیز برقرار می باشد.

دردزینسکی و روتر [2] در سال 1977، خمینه های متقارن همدیس را بررسی کردند، همچنین کوان و بک[11] در سال 2004، خمینه های بازگشتی همدیس را مورد مطالعه قرار دادند. یانو و ساواکی [13] در سال 1968، اولین بار کشان خمیدگی شبه همدیس را معرفی کردند که شامل هر دوی کشان خمیدگی همدیس و کشان خمیدگی هم دوری می باشد. w_jkl^m = -(n-2)bc_jkl^m + [a+(n-2)b] c ?_jkl^m در این پایان نامه، ابتدا خمینه های متقارن همدیس و سپس خمینه های متقارن شبه همدیس تعریف و مورد بررسی قرار گرفت و نتایج جالبی بدست آمد.فصل چهارم این پایان نامه شامل سه بخش است که در واقع از دو مقاله تشکیل شده است. در مقاله اول نشان داده شده است که یک خمینه ریمانی بازگشتی همدیس m با همبندی ریمانی ? و همراه با کشان خمیدگی همدیس همساز، متقارن همدیس است. و در مقاله دوم نشان داده شده که یک خمینه ریمانی شبه بازگشتی که دارای کشان خمیدگی شبه همدیس همساز است، متقارن همدیس است.

در این پایان نامه‏، متر راندرز با انحنای ریمان مربعی‏، نظیر متر ریمانی‏، مورد بررسی قرار گرفت که در آن معادلات به دست آمده مترهای راندرز‎‎‎ricci ‎‎-مربعی و ‎‎r-مربعی را مشخص می کنند. به خصوص نشان داده‎‎‎ شده است که مترهای راندرز ‎‎‎‎r‎‎‎-مربعی باید دارای ‎‎‎‎s‎‎‎-انحنای ثابت باشند. در ادامه با معرفی انحنای ویل‎‎‎‎ معادلات مشخص کننده مترهای راندرز ‎‎‎‎w‎‎‎-مربعی‎ یافته شد.

در این پایان نامه به مطالعه و بررسی خواص طیفی از یک لایه نازک با ساختار تناوبی مضاعف از نواحی باریک شونده می پردازیم.در این راستا، در نزدیکی لبه ها شرایط مرزی دیریکله را اعمال می کنیم و طیف عملگر لاپلاس تحت این شرایط مرزی استخراج می کنیم. در گام بعد نشان خواهیم داد که طیف این عملگر لاپلاس تحت شرایط مرزی دیریکله در یک لایه با ساختار تناوبی مضاعف دارای شکاف می باشد و این شکافها به وسیله چندین شاخص مکانی آنهاد تعیین خواهد شد. نتایج به دست آمده بوسیله مدل طیفی مسله روی یک سلول تناوبی مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته شده است.

ما نظریه هامیلتون- ژاکوبی را برای دستگاه لاگرانژ تکین با الگوریتم قیدی هایندس- گوتی- نستر توسعه می دهیم. روش حتی اگر دستگاه قیدهای ثانویه نیز داشته باشد کار می کند.