در این پایان نامه زیرمدول های ناب از مدول های ضربی را بررسی می-کنیم. ابتدا مفهوم زیرمدول خودتوان را به عنوان تعمیمی از ایدآل خودتوان بیان کرده و سپس نشان می دهیم هر زیرمدول از یک مدول ضربی با پوچساز ناب، ناب می باشد اگر و فقط اگر ضربی و خودتوان باشد. در ادامه خواص گوناگون زیرمدول های ناب از مدول های ضربی را توصیف می کنیم. همچنین دو تعریف از اثر زیرمدول های ناب از یک مدول ضربی را ارائه خواهیم کرد که با استفاده از آن ها خواص متعددی از زیرمدول های ناب را می توان بررسی کرد. در ادامه مدول های تخت را به شکل گسترده تری بررسی کرده و آن قسمت از مدول های ضربی را که لازمه مدول های ناب می باشد مورد مطالعه قرار می دهیم. در پایان ارتباط بین مدو ل های تخت و ناب و نیز ایدآل های کسری و اثر آن ها را بررسی می کنیم.

چکیده در این پایان نامه می خواهیم بعضی از خواص زیر مدول های اوّل را روی جمع مستقیم و همچنین ارتباط زیر مدول های اوّل و نیم اوّل و قویاً اوّل با یکدیگر را بررسی کنیم و روی زیر مدول های رادیکال تمرکز کنیم. در واقع زیر مدول اوّل تعمیمی از ایدآل اوّل در حلقه است. می توان گفت اگر m یک r - مدول اوّل باشد آن گاه m نیم اوّل است ولی برعکس آن زمانی برقرار است که m یکنواخت باشد. بنابراین اگر m یک r - مدول یکنواخت باشد آن گاه m اوّل است اگر و تنها اگر m نیم اوّل باشد. هر زیر مدول رادیکال، زیر مدول نیم اوّل است ولی برعکس آن در حالت کلی درست نیست. برای دیدن اینکه زیر مدول صفر، رادیکال است، کافی است زیر مدول های یکنواخت از یک مدول نوتری نیم اوّل را بررسی کنیم. حلقهُ r آرتینی و نیم اوّل است اگر و تنها اگر نیم ساده باشد. همچنین اگر هر فاکتور اوّلیه چپ از حلقهُ r آرتینی باشد ، آن گاه هر زیر مدول نیم اوّل از یک r - مدول آرتینی، رادیکال است. نشان می دهیم هر زیر مدول قویاً اوّل یک زیر مدول اوّل است. ولی برعکس آن در حالت کلی درست نیست. اگر r حلقه ماکس باشد آن گاه می توان گفت هر r - مدول ، زیر مدول قویاً اوّل دارد و هر r - مدول زیر مدول اوّل دارد و هر r - مدول زیر مدول نیم اوّل دارد. در آخر تعمیمی از قضیه ایدآل اصلی برای مدول ها می آوریم.

فرض کنید r یک حلقه تعویض پذیر باشد، گراف مقسوم علیه صفرr، با نماد(r)?، گراف غیر جهت داری است که رأس های آن عناصر غیر صفر مقسوم علیه های صفر r هستند، چنانچه دو رأس x و y به وسیله یک لبه به هم متصل اند اگر و تنها اگر xy=0. حال چون صفر یک اید آل از حلقه r است، میتوان آن را در تعریف فوق با اید آل دلخواه i جابجا کرد و تعریف زیر را مطرح نمود. فرض کنید r یک حلقه تعویض پذیر و i اید آلی از r باشد. گراف غیر جهت دار (r)i? با رأس های {x ri | xy i , for some y ri} را این گونه تعریف می کنیم که دو رأس x و y به هم متصل اند اگر و تنها اگر xy i.

فرض میکنیم r حلقه ای تعویض پذیر یکدار و (z(r یک مجموعه از مقسوم علیه های صفر r باشد . گراف مقسوم علیه های صفر (?(r گرافی است که راس های آن عضو{z*(r) =z(r) {0 می باشند؛ دو راس متمایز x,y متعلق به مجاور هستند اگر وتنها xy=0 . حال چون صفر یک ایدآل از r می باشد، با تعویض ایدآل صفر در r با یک ایدآل دلخواه مانند i ازr ، گراف (? i(rایجاد می شود که راس های آن همه عناصر مجموعه ی {x?ri|xy?i;y?ri} هستند و دو راس متمایز x , y در صورتی مجاور هستند که xy?i. هدف بررسی گراف (? i(r ، جایی که r یک حلقه تعویض پذیر یکدار و i ایدآلی از آن است . همچنین رابطه بین (? j(s)? ? i(r با (?(s/j)? ?(r/i و گرافهای چند بخشی را نیز بررسی می کنیم و در آخر نتایجی روی زیر گرافها و پارامترهای گراف (?(r را بدست می آوریم .