درحالت کلی کلاس اشیاء یک رسته ی آبلی دلخواه ?? بسیار پیچیده تر از آن است که بتوان یک دسته بندی رضایت بخش از اشیاء آن بدست آورد. یک روش این است که با یک زیر کلاس شناخته شده ی ? از اشیاء ?? شروع کنیم و تلاش کنیم تا اشیاء دلخواه را به وسیله ی اشیاء ? تقریب بزنیم. این تقریب بطور موفقیت آمیزی در دهه های اخیر روی رسته های مدول ها از طریق نظریه ی پیش پوشش ها و پیش پوش ها، یا تقریب های چپ و راست بررسی شده است. روش دیگر محاسبه ی « فاصله » هر شیء در ?? از کلاس ?، با نظیر کردن مفهومی به نام بعد آن شیء، محاسبه شده به وسیله ی طول ?-تحلیل می باشد. در این راستا می توان از ایده های بعد تصویری، بعد یکدست و بعد گرنشتاین مدول ها نام برد که این پایاها به طور عمیق توسط محققان زیادی مورد مطالعه قرار گرفته اند. هدف ما در این تحقیق ارائه و مطالعه ی مفهوم مناسبی برای بیان بعد، نسبت به یک کلاس از اشیاء یک رسته ی آبلی می باشد. به عبارت دیگر ما شرایط لازم و کافی برای یک کلاس ? از اشیاء ?? را بیان می کنیم به گونه ای که این کلاس بتواند مفهوم بعد را معرفی کند. به علاوه کلاس مدول های گرنشتاین تصویری با تولید متناهی روی یک حلقه ی جابجایی و نوتری r را به تفصیل مطالعه می کنیم.

رساله را با نگاهی اجمالی به تعاریف و مفاهیم مقدماتی نظریه کوهمولوژی موضعی و تعمیم های آن، و نظریه پوشش یکدست مدولها شروع می کنیم. در فصل دوم برای یک دستگاه ایده آلی از حلقه ‏‎r‎‏، مدول با تولید متناهی ‏‎m‎‏ و عدد طبیعی ‏‎‏‎n‎‏ ثابت می کنیم که ‏‎f (m)>n‎‏ اگر و تنها اگر به ازای هر ایده آل اول ‏‎f (mp)>n,p spec(r)، که در آن ‏‎f (m)‎‏، بعد ‏‎‏‎‏‎a‎‏-متناهی ‏‎‏‎m‎‏ نسبت به است. اثبات این قضیه، که به کمک مفهوم فیلتر رشته های منظم انجام می گیرد، نه تنها اثبات جایگزین و کوتاهی برای قضیه فالتینگز ارائه می کند، بلکه منجر به نتایجی پیرامون ایده آلهای اول وابسته به مدول کوهمولوژی موضعی می شود. فصل سوم تماما به هم متناهی بودن مدول کوهمولوژی موضعی جامع پرداخته است. در این فصل ثابت می کنیم که کوهمولوژی موضعی مدولهای با تولید متناهی، نسبت به ایده آلی که توسط یک ‏‎u.s.d‎‏-رشته تولید شده است، هم متناهی است. به کمک این قضیه، ثابت می کنیم که اگر ‏‎n n‎‏ بگونه ای باشد که برای هر ‏‎i<n‎‏، ‏‎h (m)‎‏ با تولید متناهی بوده و به ازای هر ‏‎i<n‎‏ و هر ‏‎h (m)=0,a ‎‏، آنگاه مدول ‏‎h (m) به ازای هر ‏‎i n‎‏، هم متناهی است. این نتیجه منجر به نتایج جالبی در نظریه کوهمولوژی موضعی، از جمله تعمیمی از قضیه کاوازاکی و لم یوشیدا خواهد بود. در فصل چهارم هم متناهی بودن مدول کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته را در دو حالت، حالتی که ایده آل اصلی باشد و حالتی که ایده آل اول بوده و هم بعد آن یک باشد، بررسی کرده و نشن می دهیم، که مدول کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته در هر دو حالت، بدون هیچ شرطی روی حلقه یا مدول، هم متناهی است. در فصل پنجم پس از معرفی و بیان خواص پوشش یکدست یک مدول و پس از اثبات مقدمات مورد نیاز، توصیفی برای حلقه کوهن مکالی (بدون شرط موضعی) با توجه به دوگان عدد باس بدست می آوریم. بعلاوه حلقه های منظم را نیز بطور کامل توصیف می کنیم. بعبارت دقیق تر نشان می دهیم که حلقه ‏‎r‎‏ کوهن مکالی است اگر و تنها اگر به ازای هر ‏‎i n‎‏ و هر ‏‎ (p,m)=0,p spec(r) فقط اگر ‏‎i<htp‎‏، که در آن ‏‎ (p,m)‎‏ ‏‎i‎‏-امین دوگان عدد باس ‏‎m‎‏ نسبت به ایده آل اول ‏‎p‎‏ است. در پایان فصل، در حالات خاصل نتایجی پیرامون ارتباط بعد انژکتیویک مدول با بعد انژکتیو پوشش یکدست و پوشش همتاب آن، بیان می کنیم. در فصل ششم، ‏‎f‎‏-همبافت ‏‎f‎‏ را همبافتی کراندار از مدولهای یکدست و همتاب تعریف می کنیم به قسمی که مدولهای همولوژی آن همه آرتینی بوده و همچنین ، که دراین تجزیه به ازای هر ‏‎p spec(r)‎‏ هر ‏‎rp‎‏، یکبار و فقط یکبار ظاهر شده است. با بررسی خواص این همبافت، نشان می دهیم که دوگان کاملا مناسبی از همبافت دوگانی است. بعلاوه خواهیم دید که همولوژیهای این همبافت ارتباط تنگاتنگی با مدول کوهمولوژی موضعی دارند. همچنین ثابت می کنیم که کلاس حلقه هایی که دارای ‏‎f‎‏-همبافت هستند، شامل کلاسی حلقه هایی است که دارای همبافت دوگانی می باشند.