مساله ی بازیابی یک رویه با استفاده از داده های پراکنده مساله ای است جالب که در مفهوم ساده بوده ولی با توجه به جزییات آن بسیار پیچیده است. همان گونه که می دانیم دنیای واقعی ما از رویه های پیوسته تشکیل شده است، نه نقاط گسسته. بنابراین می خواهیم رویه ایی پیوسته را با استفاده از نقاط داده ای درهم تولید کنیم. هدف نهایی این پایان نامه معرفی روشی برای تولید یک رویه به عنوان بدست آوردن رویه ی سه بعدی هموار و با انطباق بالا بر واقعیت با استفاده از داده های پراکنده می باشد. در حالت خاص توضیحات به منظور ساختن رویه ی سه بعدی با یک خطای مشخص که مکان و اختلال مورد نظر را ارائه می کند باید به اندازه ی کافی کامل باشد. روش های بسیاری برای تقریب رویه ها و به منظور افزایش پیوستگی تقریب و همواری با استفاده از داده های پراکنده موجود هستند. به دلیل مزایای ذاتی کار با حاصل ضرب تانسوری برای تقریب، رویه های ‎b-اسپلاین با استفاده از این روش نسبت به انواع دیگر تقریب بیشتر مورد استفاده قرار می گیرند. اگر بردار گره ها به درستی انتخاب شوند؛ حاصل ضرب تانسوری پیوستگی در نقاط‍ درونی را تضمین می کند. این پایان نامه به صورت زیر تنظیم شده است: در فصل ‎?‎، تعاریف مقدماتی آورده شده است. سپس در فصل ‎?‎، به معرفی توابع و درونیابی چندمتغیره می پردازیم. در فصل ‎?‎، توابع b-اسپلاین را معرفی می کنیم. فصل ‎?‎ تقریب ‎b-اسپلاین چندسطحی مطرح شده است. و در فصل ‎?‎ خطای شبه درونیابی را بیان می کنیم. سرانجام، در فصل آخر تعدادی از مثال های عددی آورده شده اند.

هدف اصلی کاربرد نا مساوی گرانوال گونه در معادلات دیفرانسیلی و انتگرالی می باشد.ابتدا به بیان مقدمات و برخی نتایج پرداخته سپس تقریبات کلی برای جواب معادلات انتگرال هم ارز با معادله دیفرانسیلی ارائه میکنیمسپس تلاش می کنیم کران بالای یکنواخت ارائه کنیمسپس به بحث محاسبه کران صریح برای معادلات دیفرانسیلی با مشتقات جزیی می پردازیم

در این پایان نامه شرط لازم کنترل پذیری از روش پوپوف ثابت می شود. برای این منظور در مرحله اول دستگاه کنترل غیرمستقیم را بصورت کلی تر نوشته بطوری که از روی آن بتوان دستگاههای کلاسیک را نتیجه گرفت و برعکس . در مرحله دوم بجای آنکه از تابع لیاپانوف برای پایداری استفاده شود از تبدیل فوریه استفاده می شود بدین وسیله شرط کافی پایداری را می توان بصورت ساده تری بدست آورد.

یکی از مسائل مهم در معادلات دیفرانسیل، وجود جواب تناوبی می باشد. که این مسئله اولین بار توسط پوانکاره در زمینه مکانیک سماوی مطرح گردید و یکی از قضایای جالب در این مورد، قضیه پوانکاره - بندیکسون می باشد.این قضیه مورد توجه بسیاری از محققین قرار گرفت اما متاسفانه این قضیه در بسیاری از موارد مخصوصا برای معادلات مرتبه دوم به بالا کارائی زیادی ندارد و کاربرد آن نسبتا مشکل است زیرا وجود جواب تناوبی در این قضیه ثابت می شود ولی در مورد تناوب، جواب تناوبی مطالبی گفته نمی شود.پس از آنکه قضایای نقطه ثابت توسط دانشمندان مشهور، باناخ، شاودر، براور، تیخونوف اثبات گردید، مسئله وجود جواب تناوبی تولدی تازه یافت و مشاهده شد که وجود جواب تناوبی را میتوان از وجود جواب غیربدیهی (غیرصفر) که شرایط مرزی تناوبی را ارضا می کنند. ثابت نمود. جالب توجه است که در این نوع مسائل مخصوصا غیر آتاناموس، می توان معادله دیفرانسیل را توسط تابع گرین به معادلات انتگرالی تبدیل نمود و سپس با استفاده از قضایای نقطه ثابت، وجود جواب را ثابت نمود.ما دراین رساله معادله دیفرانسیل رسته سوم غیر خطی، که کاربرد آن در علوم مهندسی بسیار زیاد است را بصورت اسکالر و برداری در نظر گرفته ایم.بطور کلی این پروژه شامل سه فصل است، فصل نخست آن درباره قضایای نقطه ثابت و قضیه تابع ضمنی می باشد که قضایای نقطه ثابت را میتوان شروع کار قضیه تابع ضمنی دانست. فصل دوم شامل نظریه درجه برآور میباشد و نشان داده می شود که ارتباط نزدیکی بین قضایای نقطه ثابت و نظریه درجه وجود دارد و در فصل سوم با استفاده از قضیه نقطه ثابت و تابه ضمنی شرایطی برای وجود جواب تناوبی برای معادله دیفرانسیل غیرخطی مرتبه سوم بدست می آوریم.

این رساله بدون احتساب فصل صفر که به مقدمه و تاریخچه موضوع تحقیق می پردازد متشکل از چهار فصل می باشد فصل اول به بیان تعاریف و مفاهیم اساسی و مباحث ریاضی مورد نیاز در فصول آتی می پردازد. در فصل دوم آن خوش طرح بودن مسائل مقدار مرزی و اغتشاشی ازنقطه نظر شرایط مرزی مسئله بحث می شود.فصل سوم، به مسائل اغتشاشی غیرعادی می پردازد. در این فصل روشی ارائه می شود که به وسیله آن تعیین می گردد که در مسئله اغشاشی داده شده لایه مرزی در کدام نقطه مرزی تشکیل می شود که خصوصا وقتی که شرایط مرزی مسئله به صورت غیرموضعی داده شود این کار بوسیله دستگاه جبری متشکل از شرایط ضروری معادله دیفرانسیل و شرایط مرزی مسئله انجام می گیرد.از آنجا که در یک مسئله اغتشاشی غیرعادی جواب تقریبی مسئله به صورت جواب های داخل لایه مرزی و خارج لایه مرزی نوشته می شود بنابراین ابتدا به روشهای فصل سوم تعیین می گردد که در کدام نقطه مرزی، لایه مرزی تشکیل می شود. تا بر اساس آن جواب داخل و خارج لایه مرزی نوشته شود. سپس شرط سازگاری مجانبی جواب ها هم در حالت شرایط مرزی موضعی و هم در حالت موضعی بحث می شود.نهایتا با استفاده از ثابت های اختیاری که در جواب های عمومی معادلات دیفرانسیل ظاهر می شوند شرایط تناوبی جواب ها اعمال می گردد و نشان داده می شود که اگر داده های مسئله به صورت توابع تناوبی باشند آنگاه م توان بوسیله ثابت های اختیاری، شرایط تناوبی را به منظور حصول به جواب های تناوبی اعمال کرد.