در این پایان نامه ، ابتدا تقارنهای دینامیکی سیستم های ابرانتگرال پذیر کوانتومی دو بعدی در دوحالت : ا)روی کره ی دو بعدی 2)روی هذلولی دو لایه مطالعه می شود .در این کار برای هامیلتونی سیستم، با استفاده از روشهای جبری استاندارد، یک سلسله هامیلتونی بدست آورده می شود که طیف ، توابع ویژه و جبر نهفته آنها مشخص می شود . هم چنین روابطی که تحت آن هامیلتونی ناوردا می ماند، تعیین شده و سپس جبر دینامیکی و یا تقارن دینامیکی سیستم توسط عملگرهای هم بافت مزدوج به دست آورده می شود. در ادامه فرمالیسم جبر نوسانگر دگرگون شده به عنوان یک روش کاملاً جبری برای پیدا کردن طیف انرژی سیستم های ابر انتگرال پذیر کوانتومی دو بعدی به کار برده می شود . این سیستم های کوانتومی از معادل کلاسیکی خود حاصل شده که ثابت های حرکت کوانتومی آنها نیز از انتگرال های حرکت کلاسیکی متناظر با استفاده از روش متقارن سازی تعیین می شوند . در نهایت، توابع ساختار سیستم معلوم و طیف انرژی محاسبه می شود. در انتهای پایان نامه نیز نشان داده می شود که ا بر تقارنی می تواند به عنوان یک روش در ایجاد سیستم های ابرانتگرال پذیر دو بعدی جدید در نظر گرفته شود . در این روش انتگرال های حرکت مرتبه بالاتر از روی عملگرهای خلق و فنا و به روش فاکتورایز میلنیک ، به دست آورده می شوند و سیستم های ابرانتگرال پذیر دو بعدی جدید که در پایه های کارتزین جداپذیرند، تولید می شوند. واژه های کلیدی : ابرانتگرال پذیری ، انتگرال های حرکت ، تقارن دینامیکی ، عملگرهای هم بافت ، جبر نوسانگر دگرگون شده ، مکانیک کوانتومی ابرتقارنی

در این پایان نامه، مسائل حل پذیر شبه دقیق با استفاده از روش چند جمله ایهای متعامد و همچنین روش تابع اصلی مطالعه می شوند. با انتخاب مقادیر خاص برای پارامترهای پتانسیل سیستم کوانتومی، مدل حل پذیر شبه دقیق، حل و طیف و توابع ویژه انرژی سیستم بدست آورده می شود. در روش مورد بررسی رده جدیدی معرفی می شود که در آن جواب های دقیق در یک انرژی مفروض برای مجموعه ای از مقادیر پارامترهای پتانسیل بدست می آیند. برای بدست آوردن فضای نمایش بزرگتر، می توان به سادگی با تغییر مقدار یک عدد صحیح مفروض، انرژی را در یک مجموعه ی گسسته از طیف تغییر داد و این کار توسط چند مثال بررسی می شود. فضای نمایش نیز توسط توابع پایه ی انتگرال پذیری مجذوری در نمایش ماتریس هامیلتونی معین می شود. همچنین در این روش دیده می شود که معادله ی موج منجر به یک رابطه ی بازگشتی سه جمله ای برای ضرایب بسط تابع موج می گردد، از سوی دیگر اعمال شرایط حل پذیری شبه دقیق باعث می شود که نمایش به جمع مستقیم یک مولفه ی متناهی و یک مولفه ی نامتناهی، کاهش یابد که مولفه ی متناهی حقیقی و دقیقاً حل پذیر است در حالیکه مولفه ی نامتناهی مختلط است. روش تابع اصلی نیز یک روش دیگر جهت بررسی این مدل هاست که درآن با درنظر گرفتن تابع اصلی تعمیم یافته تا مرتبه ی چهارم همراه با تابع وزن متناظر با آن، می توان تمامی معادلات دیفرانسیلی مرتبه ی دوم حل پذیر شبه دقیق را بدست آورد. در این فرمالیسم نیز دیده می شود که معادلات دیفرانسیلی حاصل، دارای جواب های چند جمله ای با خواص فاکتورسازی روش بندر-دونه می باشند. مدل های کوانتومی حل پذیر شبه دقیق بسیار زیادی را می توان از این معادلات دیفرانسیلی بدست آورد که ریشه های چندجمله ای وابسته به انرژی همان ویژه مقادیر سیستم می باشند.

یک دیدگاه هندسی ازسیستم های مکانیکی مقید غیر هولونومیک برای تعدادی از مسایل مکانیک کلاسیک در ذرات و اجسام سخت به کار برده می شود.هر یک از این مسایل، شرط قید مفروض تحلیل شده، یک زیر منیفلد مقید متناظر در فضای حالت در نظر گرفته شده است. در نهایت حل پذیری معادلات بحث شده و جواب عمومی به صورت صریح مشخص گردیده.

در سال های اخیر مطالعه و بررسی سیستم های مقید در فضای خمیده توجه بسیاری را به خود جلب کرده است. در این پایان نامه، فضای خمیده به عنوان یک ابررویه بعدی محاط شده در فضای اقلیدسی بعدی در نظر گرفته می شود. همچنین حرکت های کلاسیکی و کوانتومی ذره با استفاده از روش دیراک، که به معنای حرکت همراه با قید است را مطالعه می کنیم. ما سیستم های مقید را با استفاده از روش کوانتش دیراک با جاگذاری براکت های دیراک به جای براکت های پواسون کوانتیزه می کنیم. در نهایت معادلات حرکت و هامیلتونی سیستم بدست آورده می شود. همچنین ما این روش را برای یک هذلولی گون مورد استفاده قرار می دهیم و نمایش عملگرهای اندازه حرکت را بدست می آوریم. به عنوان روش دیگر برای محاسبه ی عملگرهای تکانه، از تعریف خمش متوسط استفاده می کنیم. مشاهده می شود کاربرد این نمایش ها منجر به یک ترم اضافه در عملگر انرژی جنبشی می شود. بنابراین با استفاده از مسئله ی ترتیب عملگری و توابع غیر بدیهی فرم عملگر انرژی جنبشی را اصلاح می کنیم

با انجام تبدیل فوریه بر روی یک مختصه از عملگر کازیمیر جبرلی ، یک هامیلتون دو بعدی باتقارن شکل ناوردا بر روی کره ‏‎s2‎‏ بدست آورده شد.بطور خلاصه می توان گفت که این پایان نامه از 5 فصل تشکیل شده است : فصل اول ، مدلهای حل پذیر دوبعدی با تقارن شکل ناوردا. فصل دوم مدلهای حل پذیر دوبعدی با تقارن شکل ناوردای تعمیم یافته.فصل سوم حل جبری مدلهای حل پذیر سه و چهار ذره ای در یک بعد. فصل چهارم، مدلهای حل پذیر و شبه حل پذیر بس ذره ای از دیدگاه تابع اصلی . بالاخره فصل پنجم به نتیجه گیری می پردازد.