در سیستم ها ی رمزنگاری که بر اساس خم های بیضوی می باشند،هسته ی اصلی محاسبات، محاسبه ی ضرب عددی یک نقطه از خم است. از این رو پژوهشگران در طی سال های گذشته همواره در پی افزایش سرعت محاسبه ی آن بوده اند. در این پایان نامه روشی را برای محاسبه ی ضرب عددی یک نقطه از خم بیان خواهیم کرد که با در نظر گرفتن تجزیه ی دو بعدی آن با استفاده از مشبکه ها و درون ریختی های با قابلیت محاسباتی مناسب انجام می شود. سپس روشی که تعمیمی از این روش روی کلاس بزرگتری از خم ها می باشد گفته خواهد شد. در نهایت با ترکیب این دو روش، یک تجزیه ی چهار بعدی از محاسبه ی ضرب عددی یک نقطه از خم با استفاده از دو درون ریختی با قابلیت محاسباتی مناسب بدست خواهیم آورد. این روش در عمل نسبت به تجزیه ی دو بعدی، محاسبه ی ضرب عددی یک نقطه از خم را تا 1.5 برابر سریعتر انجام می دهد.

گروه g ساده است ، اگر و فقط اگر زیر گروه قطری gxg، یک زیر گروه ماکسیمال باشد. این خصوصیت جالب بسیار ساده اثبات می شود و انگیزه ای برای پاسخ به این سوال ایجاد می کند که چگونه می توان همه زیرگروههای ماکسیمال gn را تعیین کرد، در حالی که منظور از gn، حاصلضرب مستقیم n نسخه از g می باشد. هدف اول این پایان نامه پاسخ دادن به این سوال می باشد. بخصوص نشان خواهیم داد که اگر g یک گروه کامل باشد، آنگاه هر زیر گروه ماکسیما gn، تصویر معکوس یک زیر گروه ماکسیمال g2 وابسته به یک نگاشت تصویر چون :gn--->g2 بر روی دو عامل می باشد. اگر g یک گروه متناهی باشد، ما تعداد زیرگروههای ماکسیمال gn را با m(gn) نشان می دهیم. اگر gcp گروه دوری از مرتبه p باشد، آنگاه m(cnp)pn-1/p-1 بنابراین m(cnp) یک تابع نمایی از n می باشد، از این مطلب براحتی نتیجه می شود که اگر g کامل نباشد، آنگاه m(gn) به طور نمایی رشد می کند. بالعکس ، اگر g کامل باشد، این واقعیت که هر زیر گروه ماکسیمال gn حاصل از g2 می باشد متضمن این نکته است که m(gn) یک چند جمله ای درجه دوم بر حسب n می باشد. ما یک فرمول صریح برای m(gn) بدست خواهیم آورد (بر حسب متغیرهایی که تنها به g بستگی دارند). حداقل تعداد مولدهای یک گروه متناهی h که با d(h) نشان می دهیم، قویا وابسته به تعداد زیر گروههای ماکسیمال h می باشد. به طور مثال اگر h تنها یک زیر گروه ماکسیمال داشته باشد، آنگاه h دوری است (مرتبه اش یک عدد اول می باشد) و d(h)1 بنابراین چندان تعجب آور نیست که نتایج فوق مبین این مطلب هستند که d(gn) لگاریتمی رشد می کند و وقتی g کامل نیست d(gn) خطی رفتار می کند. این نتایج اساسا از [w1, w2] wiegold می باشند، ولی [t] thevenaz حلی جدید ارائه داده است که مبتنی بر مطالعه و بررسی زیر گروههای ماکسیمال می باشد. یک روش عمومی برای پیدا کردن زیر گروههای ماکسیمال یک گروه متناهی را aschbacher و [a-s] scott ارائه کرده اند. البته بررسی ما در ارتباط با زیرگروههای ماکسیمال به کار مهم آنها وابسته نیست . یک تصوری که ممکن است وجود داشته باشد، این است که اگر g یک گروه متناهی مولد باشد با بزرگ شدن n، d(gn) نیز به سمت بینهایت می گراید. در فصل سوم با ارائه مثالی که از [h] hirshon است ، نشان می دهیم که این تصور اشتباه است ، مثالی که ارائه خواهیم کرد دارای این خاصیت است که d(gn) برای هر n ثابت و برابر چهار است . در این بررسی نیازمند یک سری تعاریف ، قضایا و مسائل و مفاهیم مقدماتی هستیم که در فصل پیشتازها به آنها خواهیم پرداخت .