در پایان نامه ی حاضر به مطالعه و بررسی روش های پیشگو- اصلاح گر از نوع رانگ-کوتا تصادفی برای حل معادلات دیفرانسیل تصادفی به-صورت: dy(t) = g0(y(t)) dt+g1(y(t)) ? dw(t), y(t0)=y0, t ? [t0,t] پرداخته می شود، که در آن g_0 و g_1 به ترتیب ضریب رانش و انتشار و w(t) یک فرآیند وینر استاندارد است. شرایط مرتبه برای این روش ها از مرتبه قوی یک و یک ونیم بیان شده و در ادامه دو روش رانگ کوتای ضمنی دو مرحله ای از مرتبه قوی یک با مینیمم ثابت خطا و چهار مرحله ای از مرتبه قوی یک و نیم ارئه می شود. در پایان کارایی این روش ها توسط چند مثال عددی نشان داده شده است.

هدف اصلی این تحقیق بررسی نامساوی های هاردی و هولدر برای انتگرال فازی ساگنو روی فضای اندازه فازی مجرد می‍ باشد. در این تحقیق، انتگرال فازی ساگنو معرفی و خواص آن مورد بررسی قرار می گیرد، سپس نامساوی هاردی و نامساوی هولدر برای انتگرال فازی ساگنو بررسی می شود، که در آن f,g:[0,1]?[0,?) توابع انتگرال پذیر بوده، p?1 و همچنین 1/p+1/q=1.

معادله دیفرانسیل تصادفی از نوع استراتونویچ زیر را در نظر بگیرید: dy(t) = g0(y(t)) dt + g1(y(t)) ?d(w(t)), y(t0) = y0, t ? [t0,t], که در آن w(t) یک فرایند وینر است. در این پایان نامه یک روش رانگ- کوتای تصادفی صریح دو مرحله ای با ناحیه ی پایداری (به مفهوم مربع میانگین) بزرگ، دو روش رانگ- کوتای تصادفی نیمه ضمنی، یکی با ثابت های خطای اصلی مینیمم و دیگری با ناحیه ی پایداری (به مفهوم مربع میانگین) بزرگ و یک روش رانگ- کوتای تصادفی ضمنی با ثابت های خطای اصلی مینیمم و یک روش رانگ- کوتای تصادفی ضمنی دیگر برای حل عددی معادله دیفرانسیل مذکور مورد بحث قرار گرفته است. همه ی این روش ها دارای مرتبه ی قوی یک هستند. در ادامه دو روش رانگ- کوتای تصادفی مرکب که ترکیبی از روش های ضمنی و نیمه ضمنی هستند بررسی شده است و در پایان نتایج عددی برای مقایسه ی خواص پایداری و خواص همگرایی آورده شده است.

در این پایان نامه به معرفی ماتریس های فاصله اقلیدسی و خواص آن ها پرداخته و رابطه بین مقادیر ویژه ی ماتریس های فاصله اقلیدسی و مقادیر ویژه ی ماتریس های نیم معین مثبت متناظر مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین ترتیب احاطه سازی گروهی معرفی می شودو نیز خواصی از ماتریس های فاصله اقلیدسی کروی بیان می گردد.

در این پایان نامه دو زیر کلاس از روش های خطی کلی با عنوان dimsims و desire که برای حل معادلات دیفرانسیل سخت استفاده می شوند، معرفی و ساخته خواهند شد. روش های dimsims به گونه ای ساخته می شوند که a-پایدار و l-پایدار با پیاده سازی آسان باشند. همچنین به دلیل مطلوب بودن ناحیه پایداری روش های رانگ- کوتا با اعمال خاصیت پایداری رانگ- کوتا ذاتی به این روش ها، ناحیه ی پایداری این روش ها با ناحیه پایداری روش های رانگ- کوتا یکسان در نظر گرفته خواهد شد. به علاوه، با معرفی یک تبدیل و اصلاح شرایط مرتبه، روش های ضمنی و صریح به گونه ای به هم پیوند داده می شوند که روش های ضمنی می توانند از روش های صریح تبدیل یافته، یا روش های صریح از روش های ضمنی تبدیل یافته ساخته شوند. روش های desire نیز به گونه ای ساخته می شوند که همزمان از مرتبه موثر به عنوان تقلیل دهنده شرایط روی روش و مرحله های ضمنی قطری اضافی به منظور پایین آوردن ثابت خطا استفاده می کنند. به عبارت دیگر این روش ها، از ترکیب روش های desi و esire ساخته می شوند. همچنین نتایج عددی مربوط به روش های ساخته شده ذکر شده است.

در سال 1966، بوچر روش های خطی عمومی را به عنوان یک چارچوب واحد برای روش های عددی متعارف، به منظور مطالعه ی خواص سازگاری، پایداری، همگرایی و فرموله کردن روش های جدید که برتری هایی نسبت به این روش ها داشته باشند، معرفی کرد. توسیعی از روش های خطی عمومی معروف به روش های خطی عمومی با مشتق دوم در حالتی که مشتق دوم نیز مانند مشتق اول قابل محاسبه باشند، توسط بوچر و حجتی معرفی شد. در این پایان نامه، تعاریف سازگاری، پایداری و همگرایی یک روش خطی عمومی با مشتق دوم بیان شده است و نشان داده می شود که در این روش ها، پایداری و سازگاری با هم، معادل همگرایی می باشند. سپس، روش هایی از مرتبه ی سوم و چهارم از این نوع روش ها ساخته می شود که علاوه بر دارا بودن خاصیت پایداری رانگ-کوتا، a-پایدار نیز بوده و برای اجرای موثرتر، ساختار ضمنی قطری دارند. در ادامه، با معرفی یک زیر کلاس از روش های خطی عمومی با مشتق دوم، روش هایی a-پایدار، تا بالاترین مرتبه از انواع ضمنی این زیر کلاس ها که دارای خاصیت پایداری رانگ-کوتا نیز می باشند، ساخته می شود. همچنین، با تقسیم بندی روش های خطی عمومی با مشتق دوم با توجه به نوع معادله دیفرانسیلی (سخت یا غیرسخت) که باید حل شود و نوع کامپیوتری (متوالی یا موازی) که برای حل مسئله از آن استفاده می شود، به چهار نوع، بیشترین مرتبه برای دو نوع از این روش ها، با خاصیت پایداری رانگ-کوتا، به دست آورده می شود و سپس روش هایی a-پایدار از این انواع، با خاصیت پایداری رانگ-کوتا ساخته می شود. در انتها، کارآیی روش های ساخته شده با برخی نتایج عددی نشان داده می شود.

در این پایان نامه، دو الگوریتم بر اساس روش گالرکین با توابع پایه ای موجک ارائه می گردد که کارایی روش های عددی را برای حل مسائل کنترل بهینه مقید به معادلات تکاملی سهموی را مشخص می کند. در این مسائل، تابعک هزینه مسأله کنترل، شامل عباراتی از متغیرهای حالت و کنترل است به طوری که در قالب نرم های سوبولوف بیان گردیده اند. اولین الگوریتم توسط کنات و گانزبرگر در سال ‎2011‎ ارائه گردیده است که در آن قیود با استفاده از شکل تغییراتی مرتب شده اند. در حقیقت، آن ها با استفاده از معادلات الحاقی و عملگر ریس کل مسأله را به شکل یک دستگاه معادلات خطی برحسب متغیر کنترلی فرموله کردند. آن ها توسط روش تکراری گرادیان مزدوج این مساله را حل کردند که همگرایی آن نشان داده شده است. اگرچه، الگوریتم کنات و گانزبرگر برای حل بسیاری از مسائل خوب کار می کند ولی دارای اشکالات زیر است: ‎1)‎ عملگر اثر به آسانی محاسبه نمی گردد‎;‎ ‎2)‎ نیاز به ذخیره سازی ماتریس هایی پر دارد. الگوریتمی را معرفی می کنیم که بر اشکالات بالا فائق می آید. در اینجا، ما نیز از روش گالرکین با توابع پایه ای موجک استفاده می کنیم. در این الگوریتم، مسأله را گسسته سازی زمانی می کنیم، از این رو برای هر زمان ‎ t_{i} ‎، i=1,...,n ‎، یک دستگاه خطی برحسب عباراتی از متغیر حالت و کنترل را داریم. در ادامه، با استفاده از تفاضلات متناهی و تغییرات تابعک، دستگاه بالا را تنها بر حسب متغیر کنترل تبدیل می کنیم. در پایان، با روش های عددی دستگاه منتج را حل می کنیم.

با معرفی چندین انتگرال و بررسی خواص آنها به خصوص انتگرال چوکویت این انتگرالها را به عنوان عملگرهایی تجمعی بررسی کرده و با معرفی مقادیر فازی شهودی و فازی شهودی بازه ای مقدار انتگرال چوکویت را به انتگرال چوکویت فازی شهودی تعمیم می دهیم و از آن به عنوان عملگر تجمعی در تصمیم گیری چند معیاره استفاده می کنیم.

در پایان نامه ی حاضر به مطالعه و بررسی روش های تفاضل متناهی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی تصادفی از نوع ایتو به صورت: ‎v_t (x,t)=?v_xx (x,t)+??(v(x,t) ) w ?(x,t), 0?t?t پرداخته می شود، که در آن ‎w(x,t)‎ حرکت براونی دوبعدی است و w ?(x,t)=?^2 w/?x?t(x,t) مشتق ترکیبی حرکت براونی است. همچنین تکنیک تفاضل متناهی با دو روش صریح و ضمنی برای معادله ی دیفرانسیل جزئی تصادفی از نوع ایتو در حالت کلی، به صورت زیر بررسی می شود: v_t (x,t)+av_xx (x,t)+bv_x (x,t)+cv(x,t)+(dv_x (x,t)+?v(x,t) ) w ?(t)=0 v(x,0)=f(x) 0?x?1 که در آن w(t) ‎ حرکت براونی یک بعدی است و‎ w ?(t)=dw/dtمشتق فرآیند وینر است‎.‎ روش های تفاضل متناهی از جمله موضوعات مهم در حل عددی رده ی وسیعی از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی قطعی به شمار می رود. از این رو گسترش و تعمیم این روش ها در تقریب معادلات با مشتقات جزئی تصادفی از اهمیت ویژه ای برخوردار است. اساس این پایان نامه بسط و تعمیم روش ها از حالت قطعی به تصادفی است و رویکرد اصلی در اینجا، گسسته سازی مشتقات موجود در معادلات با مشتقات جزئی چه در حالت قطعی و چه در تصادفی برای تولید یک روش تفاضلی است. سپس مفاهیمی همچون سازگاری، پایداری و همگرایی را در معادلات قطعی و تصادفی مورد بررسی قرار می دهیم. در پایان کارایی این روش ها توسط چند مثال عددی نشان داده شده است.

بسیاری از پدیده های فیزیکی و مهندسی به وسیله ی معادلات دیفرانسیل جزئی مدل بندی می شوند بطوری که در بسیاری از موارد، عدم قطعیت در تعیین این معادلات وجود دارد. بهرحال با اعمال یک نوفه ی تصادفی‏‎‎ در این معادلات می توان توصیف کامل تری از رفتار چنین پدیده هایی بدست آورد. در این پایان نامه به بررسی معادلات دیفرانسیل جزئی تصادفی (spde) ‎) از نوع ایتو‎ با فرآیند وینر‎‎ یک بعدی پرداخته می شود. از آنجایی که بسیاری از این معادلات را نمی توان به طور تحلیلی حل کرد، لذا برای حل این معادلات روش های عددی بکار می روند. در اینجا روش های تفاضل متناهی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی تصادفی از نوع ایتو مورد بررسی قرار می گیرد و این معادلات به وسیله ی این روش ها شبیه سازی می شوند. ‏سرانجام بعضی از مثال های عددی کارایی این روش ها را نشان می دهد.

در پایان نامه حاضر به مطالعه و بررسی خانواده کلی از روش های رانگ – کوتا تصادفی که نسبت به روش های موجود قبلی کارآمدتر است برای حل معادله دیفرانسیل تصادفی به صورت پرداخته می شود. شرایط مرتبه برای خانواده ای از روش های رانگ – کوتا تصادفی از مرتبه قوی یک با مینیمم ثابت خطا بیان شده و در ادامه خانواده ای از روش های رانگ – کوتا تصادفی از مرتبه قوی یک و نیم که اساس مولفه قطعی آن روش رانگ – کوتا کلاسیک است ساخته می شود. در پایان کارایی این روش ها توسط چند مثال عددی نمایش داده شده است.

در بسیاری از شاخه های علوم کاربردی و مهندسی رفتار یک سیستم را می توان به صورت یک معادله دیفرانسیل جزئی تصادفی مدل بندی نمود. از این رو به منظور توصیف رفتار این چنین سیستمی تعیین جواب تحلیلی آن از اهمیت ویژه ای برخوردار است. نظر به اینکه جواب تحلیلی دسته محدودی از این معادلات را می توان تعیین نمود لذا بدست آوردن روشهای عددی تصادفی با دقت خوب می تواند تقریب خوبی برای جواب دقیق مساله باشد. در این پایان نامه روشهای تفاضل متناهی برای معادلات دیفرانسیل جزئی تصادفی از نوع سهموی، بیضوی و هذلولوی با ضرایب تصادفی معرفی می شود و در ادامه آنالیز سازگاری و پایداری و سرانجام همگرایی این روشها مورد بررسی قرار می گیرد.

در این پایان نامه از روش اویلر ترکیبی برای حل عددی این دسته از معادلات استفاده می شود و در پایان کارایی روش اویلر ترکیبی با توجه به خطای محاسبه شده برای این روش و ناحیه پایداری آن نسبت به روش اویلر ضمنی و نیمه ضمنی، همچنین همگرایی روش اویلر ترکیبی نشان خواهیم داد.

معادله ی انتشار غیرخطی نقش مهمی را در فیزیک، زیست شناسی، شیمی و اقتصاد داشته است. همچنین معادله ی تلگراف نقش مهمی را در مهندسی برق ایفا کرده است. در این پایان نامه طرح تفاضلات متناهی غیراستاندارد را برای معادلات برگر، برگر-فیشر و فیتشیو-ناگوما -که از جمله معادلات مهم زیر مجموعه ی معادله ی انتشار به حساب می آیند- و معادله ی تلگراف ارائه می کنیم. ابتدا یک طرح تفاضلات متناهی دقیق جدید برای این معادلات با استفاده از جواب تحلیلی می سازیم. سپس طرح تفاضلات متناهی غیراستاندارد برای معادلات برگر، برگر-فیشر و فیتشیو-ناگوما بدست آورده می شود. در پایان، به منظور بررسی کارایی و دقت طرح های تفاضلات متناهی غیراستاندارد بدست آمده مثال های عددی را ارائه می کنیم.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه روش تقریب متناهی چند جمله ای قطعه به قطعه هموار مرتبه اول و دوم را برای محاسبات اندازه پایا از یک رده از تبدیلات اندازه پذیر نامنفرد روی بازه یکه از اعداد حقیقی ارائه می دهیم. این روشها براساس روش تصویر گالرکین برای فضاهای l1 هستند و همگرایی آنها برای رده عملگرهای فروبنیوس - پرون ثابت می شود.