در این رساله به بررسی ویژگی واکر بودن روی فضاهای متقارن گسترش یافته سره 4 بعدی می پردازیم. بر اساس رده بندی که قبلا برای این فضاها ارائه شده همه متریک های متقارن گسترش یافته چهار بعدی سره در چهار کلاس ‎$a$‎، ‎$b$‎، ‎$c$‎ و ‎$d$‎ قرار می گیرد. به جز کلاس ‎$c$‎ که لورنتسی است در بقیه کلاسها متریک دارای علامت ‎$(4,0)$‎، ‎$(2,2)$‎ یا ‎$(0,4)$‎ است. نتیجه های به دست آمده از مطالعه ساختارهای واکر در این رساله نشان می دهد که همه متریک های متقارن گسترش یافته از نوع ‎$a$‎ با علامت خنثی، نوع ‎$b$‎ یا نوع ‎$d$‎ دارای دو توزیع تبهگون مکمل کاملا پوچ هستند. همچنین نوع ‎$c$‎ از این متریکها دارای یک توزیع تبهگون بخشی پوچ از نوع ‎$(1,2)$‎ است. بنابراین بجر حالت ریمانی نوع ‎$a$‎ که آشکارا واکر نیست، ‎همه متریک های شبه ریمانی متقارن گسترش یافته سره واکر هستند‎.}‎ همچنین به مطالعه ویژگی خود دوگانی‎ و پاد خود دوگانی‎ روی متریک های نوع ‎$a$‎، ‎$b$‎ و ‎$d$‎ پرداخته و ثابت می کنیم که همه خمینه های ناتخت همدیس متقارن گسترش یافته سره ‎(پاد)‎ خود دوگان، لزوما از نوع ‎$b$‎ هستند‎. مشابه آنچه برای فضاهای متقارن گسترش یافته انجام شد مطالعه هایی نیز روی فضاهای همگن ناکاهشی 4 بعدی انجام شده و نتایج ارائه می شود.

در این رساله به کاربرد نظری? تقارنی لی در هندس? منیفلدهای والکری به منظور حل دستگاه معادلات انیشتن، پرداخته شده است. در فصل نخست پیش درآمدی از مفهوم تقارن های لی برای معادلات دیفرانسیل بیان شده است. همچنین طریق? محاسب? تقارنهای یک معادله بیان شده و برای ملاحظه کاربردی آن، تقارن های لی معادله شار ریچی دو بعدی محاسبه شده است. فصل دوم شامل معرفی مفاهیم مقدماتی منیفلدهای والکری و قضایای مرتبط با آن است. با استفاده از قضایای مذکور شرایطی را که مترِ یک منیفلد والکری انیشتنی چهار بعدی اختیار می کند بررسی می کنیم. در قسمت پایانی این فصل به محاسب? گروه تقارنی معادلات انیشتن پرداخته ایم. در فصل سوم، روش کاهش مرتبه را برای معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی بیان کرده و جوابهای ناوردای گروهی معادل? شار ریچی محاسبه و دستگاه بهینه زیرجبرهای یک بعدی آن به طور کامل محاسبه گردیده است. در فصل چهارم، جوابهای ناوردای گروهی برای معادلات انیشتن محاسبه و طبقه بندی شده است. همچنین روش محاسب? جوابهای ناوردای جزئی برای معادلات ارائه شده است. در پایان با محاسب? جوابهای ناوردای جزئی غیر کاهشی برای معادلات انیشتن تفاوت اینگونه جوابها با جوابهای ناوردای جزئی بیان شده است.

در سال 1988 از ترکیب دو روشنظریه اختلال و گروه های تقارنی توسط ابراگیموف 1 و شاگردانش [6, 7]، نظریه گروه های تقارنی تقریبی بوجود آمد و در حل برخی معادلات دیفرانسیل اختلالی بکار گرفته شد. روش دیگری نیز با همین عنوان ابتدا در سال 1989 توسط فوشچیچ و اشتلن [16] ارائه گردید و سپس توسط اویلر و همکارانش [ 12 ،11 ] در سالهای 1992 و 1994 پیگیری شد. این رساله در هفت فصل مجزا تنظیم گردیده است. در سه فصل اول به معرفی گروه های لی، تقارن های معادلات دیفرانسیل، جواب های ناوردای گروهی و دستگاه بهینه می پردازیم. در فصل چهارم روش های ،[ مختلف محاسب? تقارن های تقریبی معرفی شده و سپس بر اساس محاسبات انجام شده در مرجع [39] به تحلیل تقارن های تقریبی معادل? گاردنر می پردازیم. در فصل پنجم، روش گروه های تبدیلاتی تقریبی به دستگاه های همیلتونی و دوهمیلتونی تعمیم می یابد. بویژه به عنوان کاربردی از این مفهوم، تحلیل جامعی از مسال? قوانین بقای تقریبی و عملگرهای بازگشتی تقریبی معادل? گاردنر با پارامترهای کوچک ارائه می شود.

انحناء پرچمی در هندسه فینسلری، توسیع طبیعی انحناء مقطعی در هندسه ی ریمانی است که ابتدا توسط ل بروالد معرفی شد. برای منیفلد فینسلری (m,f)، انحناء پرچمی یک تابع k(p,y) از صفحات مماس و جهت های است. گوئیم f دارای انحناء اسکالر است هر گاه انحناء پرچمی (x,y) k= (p,y) k مستقل از پرچم های p مربوط به هر میله ی پرچمی ثابت y باشد. متر فینسلری با انحناء اسکالر توسیع طبیعی مترهای ریمانی با انحناء مقطعی ثابت می باشند. یک مسئله مهم در هندسه فینسلری، مطالعه و مشخص کردن ویژگی منیفلدهای فینسلری با انحناء اسکالر است. می دانیم که مترهای فینسلری موضعا سازگار تصویری دارای انحناء اسکالر می باشد. عکس آن در حالت کلی درست نیست. تعداد زیادی متر فینسلری که دارای انحناء اسکالر هستند ولی سازگار تصویری نیستند وجود دارند{21}. بهترین شناختمان از مترهای فینسلری که سازگار تصویری نیستند و دارای انحناء اسکالرند این است که آن ها به شکل f=a=b می باشند. که در آن a متر ریمانی و b یک 1- فرمی بر منیفلد می باشد{18}. چنین مترهایی را متر راندرز می نامند. در این پایان نامه پس از معرفی مفاهیم اساسی در هندسه ی فینسلری، ثابت می که بر یک منیفلد فینسلری فشرده با بعد 3 n دارای انحناء اسکالر باشد آنگاه f یک متر راندرز مر باشد. و همچنین ثابت می کنیم که بر یک منیفلد فشرده با انحناء منفی و بعد 3 f, n موضعا سازگار تصویری است اگر و تنها اگر f = a+ b متر راندرز بطوریکه a دارای انحناء مقطعر ثابت و b، یک 1- فرمی بسته بر منیفلد باشد.

درمیان متریک های شبه ریمانی دسته خاصی ازاین متریکها که به متریکهای واکر معروفند، ازاهمیت ویژه ایی برخورداربوده وبسیاری ازتفاوتهای هندسه های ریمانی وشبه ریمانی دربین این گونه متریکها مشهوداست.سوال طبیعی که اینجاممکن است پیش بیایداین است که آیا یک متریک شبه ریمانی والکراست یاخیر. لذا بررسی متریکهای والکر روی فضاهای همگن از لحظه پیدایش به بعد همیشه یک مساله قابل توجه بوده است. سئوال اصلی این تحقیق بعد از بررسی برخی از فضاهای همگن وخاصیت والکربودن دربین آنها می باشد. ساختارهای واکر را بر روی فضاهای همگن همدیس تخت مشخص می کنیم.

این رساله در ارتباط با هندسه دیفرانسیل غیرخطی است ، نظریه ای که به جهت حل مسایل غیرخطی در هندسه دیفرانسیل ابداع شده است . این اثر از یک مقدمه، چهار فصل و چهار ضمیمه تشکیل شده است . در مقدمه، ضمن بیان تاریخچهء این موضوع و نیز پیشینهء تحقیقاتی آن، انگیزهء تحقیقات اخیر و نیز تبعات آن را کاملا روشن می کنیم. در فصل اول، اصول هندسهء دیفرانسیل غیرخطی را تشریح می نماییم. به این ترتیب که پس از مقدمه ای کامل فضای مماس مرتبه k ام را ابتدا بر rn و سپس بر یک منیفلد دلخواه تعریف نموده ایم. سپس ، به تعریف کلاف جت ها پرداخته ایم و آنگاه میدان برداری و براکت میدان های برداری را در این حالت تشریح نموده ایم. در آخر ضمن بیان مفهوم کنج از مرتبه بالا و کلاف این اشیاء، ترفیع به این کلاف را نیز بیان می نماییم. در فصل دوم، به معرفی یکی از اصولی ترین مفاهیم هندسه، یعنی ساختار هندسی می پردازیم. به این ترتیب که پس از مقدمه ای کامل، با معرفی مفاهیم کنج متحرک و یک اطلس از این کنج ها، مفهوم -g ساختار را به طبیعی ترین صورت خود بیان کرده ایم. سپس ، به ذکر شش مثال پرداخته ایم و در ادامه به تشریح ساختار گروه gp2n و در نتیجه اثبات طبیعت حاصل ضربی ساختارهای مرتبه دوم پرداخته ایم و آنگاه از این روش برای ارائه یک تجزیه از ساختار تصویری مفروض استفاده کرده ایم. در فصل سوم، به تعریف -k فضای مماس ، -k میدان برداری -g منظم و اثبات تناظر یک به یک میان -k میدان های برداری -g منظم و گروه های -g پارامتری از دیفئومورفیسم های موضعی می پردازیم. در این بین به مفهوم فانکتور -k مماس نیز پرداخته ایم. در فصل چهارم، به معرفی مسالهء هم ارزی و به عنوان کاربردی از مطالب فصول قبل می پردازیم. در اینجا ضمن بیان الگوریتم جذب سازگار با مقدار جبر لی، به ارائه یک مثال از روش فوق الذکر می پردازیم. یعنی، یک مساله کلاسیک که قبلا توسط الی کارتان برای حالت n2 حل شده است [20] را برای حالت n دلخواه حل می کنیم.