مطالب این پایان نامه مربوط به مطالعه ایده آلهای اول از جبرهای ویل کوانتیده ؟ و جبر ویل کوانتیده متناوب ؟ می باشد. این حلقه های غیر جابجائی می تواند روی یک میدان k به عنوان پایه، با تکرار ساختار حلقه های چند جمله ای اریب که به جردن منسوب است ساخته شوند. جبر ویل کوانتیده متناوب ؟ نخستین بار توسط دکتر محمد اخوی زادگان [1] مطالعه شده است و روابط موجود در آن دارای تقارن بیشتری می باشد. هر یک از جبرهای ؟ و ؟، -k جبرهای تولید شده با 2n تا متغیر می باشند که در روابط مشخصی صدق می کنند. روابط تعریف شده در هر یک از این جبرها مستلزم پارامترهائی است . تحت فرضهای متفاوت روی پارامترها، ایده آلهای اول از جبرهای مذکور مطالعه شده است . برای این منظور به دو تا موضعی سازی از حلقه های عامل مشخص از این جبرها نیاز هست . اولین موضعی سازی نسبت به عناصر نرمال می باشد و دومین موضعی سازی با جبر مک کانل - پتیت یکریخت میباشد. هر یک از جبرهای ؟ و ؟، ظاهرا شبیه به هم به نظر می رسند اما رفتار کاملا متفاوتی دارند. برای مثال اسپکتروم اول ؟ تحت مفروضات مشخصی روی پارامترها می تواند متناهی باشد در صورتیکه اسپکتروم اول ؟ نامتناهی است . نشان داده که اسپکتروم اول هر یک از جبرهای ؟ و ؟ دارای افرازی به زیر مجموعه هائی هستند که با شبکه ای از اسپکتروم اول حلقه های ساده تر یکریخت می باشند.