فرض کنید ∞ ∪ c=c نمایش دهنده ی کره ی ریمان و p:c → c یک چندجمله ای از درجه ی d ≥ 2 روی کره ی ریمان باشد .کره ی ریمان می تواند به دو مجمو عه ی کاملا ناوردا نسبت به p تقسیم شود.یک مجموعه ی پایدار که دینامیک p روی آن قابل پیش بینی است و یک مجموعه ی ناپایدار که دینامیک p روی آن آشفته و بی نظم است.در زبان آنالیز مختلط یک مجموعه ی پایدار برای p مجموعه ی تمام نقاطی از c است که خانواده ی تکرارهای p در یک همسا یگی از آنها نرمال است.مجموعه ی پایدار چندجمله ای p مجموعه ی فاتو نامیده می شود.مجموعه ی آشفته ی p که همان متمم مجموعه ی فاتو در کره ی ریمان است مجموعه ی جولیای p نامیده می شود. مجموعه ی جولیا پندین مشخصه دارد : مجموعه ایست که در آن نرمالی اتفاق نمیافتد و بستار مجموعه ی مدارهای متناوب است و سرانجام مرز توپولوژیکی مولفه ی غیر کراندار فاتو است در سال 1984 دودی و هوبارد دینامیک گونه ای از چند جمله ایها که جولیای آنها موضعا همبند بود را توصیف کردند در سال 1990 یوکوز نشان داد که رده ی بزرگی از چندجمله ایها یی که فقط تعداد متناهی بار نرمالپذیرند دارای جولیای موضعا همبند هستند. در این متن روش یوکوز را برای اثبات موضعا همبندی جولیای چندجمله ایها گسترش می دهیم.

در این پایان نامه ابتدا مفهوم مجموعه خودتوان های مثلثی چپ برای یک حلقه را بیان می کنیم و رابطه بین خودتوان های مثلثی چپ یک حلقه و برخی از توسیع های آن حلقه را بررسی می کنیم. این خودتوان ها یک نمایش ماتریسی مثلثی تعمیم یافته برای یک حلقه تعیین می کنند. سپس حلقه های pwp را مورد مطالعه قرار می دهیم. این خانواده شامل حلقه های pwd (و بنابرین شامل همه حلقه های موروثی که نیم ابتدائی یا نوتری راست هستند) می باشد. برای یک حلقه pwp، توسیع هایی از آن را که یک نمایش ماتریسی مثلثی تعمیم یافته دارند به طوری که حلقه های روی قطر اصلی آنها اول هستند را مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه فضای پارامتری چند جمله ایهای دارای تک نقطه بحرانی z^d+c برای اعداد صحیحd?2 و پارامترc?c را مطالعه می کنیم. بویژه ما به مجموعه های مولتی برات "m_d " علاقه مندیم, یعنی مجموعه پارامترهایc که برای آنهاz^d+c دارای یک مجموعه ژولیای همبند است. مجموعه های مولتی برات تعمیم مجموعه های معروف مندلبرات هستند, که ابتدا بوسیله دودی و هوبارد [dh82] و یادداشت های مشهور اُرسی[dh85] مطالعه شدند. دو هدف عمده داریم, اولین هدف این است که می خواهیم یک برهان از قضیه ساختار برای مجموعه های مولتی برات ارائه دهیم, که یک توصیف ترکیبی از مجموعه های مولتی برات می دهد.برای مجموعه مندلبرات قضیه ساختار آشناست و چندین برهان دارد. ابتدا برهان ذکر شده در یادداشت های ارسی فراهم شد.بعلاوه در[s97] یک برهان قابل توجه ساده ترو مهم بوسیله شلچر وجود دارد. برهان دیگر در میلنور[m98] ارائه شده است. هر یک از این برهان ها با اندکی تغییرات قضیه ساختار برای مجموعه های مولتی برات را ثابت می کنند.هدف دوم ترکیب کردن بخش های برهان های شلچرو میلنور با روش های جدید و بدین وسیله ارائه یک برهان جدید برای قضیه ساختار است. قضیه ساختار برای مجموعه های مولتی برات : برای مجموعه مولتی براتm_d و پرتوهای پارامتر, عبارات زیر بر قرارند. 1-هر پرتو پارامتر متناوب در یک پارامتر سهموی از مولتی برات ختم می شود. 2-هر پارامتر سهموی غیر اساسی از مولتی برات , نقطه مختوم دقیقا یک پرتو متناوب است. 3-هر پارامتر سهموی اساسی ازمولتی برات , نقطه مختوم دقیقا دو پارامتر متناوب است. 4-هر پارامتر باتکرار متناوب در یک نقطه میسرویچ ازمولتی برات ختم می شود. 5-هر نقطه میسرویچ نقطه مختوم حداقل یک پرتو پارامتری با تکرار متناوب است. 6-هر مولفه هیپربولیک از مولتی برات دقیقا یک ریشه وd-2 باز ریشه دارد.

این پایان نامه در چهار فصل شامل دوازده بخش نوشته شده است که فصل آخر آن کارهای تحقیقاتی است که شخصا"انجام شده است . فصل اول که شامل بخشهای 0 ، 1 ، 2 ، می باشد، مفاهیم و تعاریف مقدماتی و قضایای لازم را بیان می کند. در فصل دوم که شامل بخشهای 3 و 4 می باشد، قضیه اساسی گروههای بطورکلی بازنویس پذیر را ثابت کرده و ساختار گروهها در p3 را بررسی می کند. در فصل سوم که شامل بخشهای 8-5 می باشد، خواص گروههای بازنویس پذیر را مورد مطالعه قرار می دهد. در فصل چهارم که شامل بخشهای 11-9 می باشد، حلپذیری و پوچتوانی را تعمیم می دهد.