در این پایان نامه به بررسی و گسترش چندین روش تکراری برای حل دستگاه معادلات خطی و معادله لیاپانو تصویری می پردازیم. این پایان نامه را می توان به سه فصل تقسیم کرد. در فصل اول تعاریف و قضایایی را که در فصول بعد نیاز است مرور می کنیم و روش تصویری روی زیر فضای کریلف را معرفی می نماییم و روش هایی برای ساختن پایه برای زیر فضای کریلف ارائه می دهیم. با استفاده از این روش ها به معرفی روش های تکراری fom و gmres می پردازیم. حل همزمان چندین دستگاه معادلات خطی در فصل دوم مورد بحث قرار خواهد گرفت. در ای قسمت فرم های gl-fom و gl-gmres را برای زیر فضای کریلف معرفی خواهیم کرد.سپس مقایسه ای بین این دو روش ارائه می کنیم. در فصل سوم به حل معادلات لیاپانو تصویری می پردازیم و روش های زیر فضای کریلف بلوکی و آرنولدی کلی را تعمیم می دهیم

در فصل اول این پایان نامه تعاریف، نکات و قضایایی که در فصول بعدی لازم است را مرور می کنیم. در فصل دوم روش نیوتن و برنولی را برای یک معادله ماتریسی درجه دوم تعمیم می دهیم. با در نظر گرفتن ماتریس های ضرایب به شکل m-ماتریس، شرایط کافی برای وجود جواب دقیق را فراهم می آوریم. علاوه بر این نشان می دهیم که روش نیوتن و برنولی تحت شرایط کافی پیشنهادی با یک ماتریس صفر اولیه به جواب دقیق همگرا خواهد شد. در فصل سوم یک روش تکراری برای جواب متقارن مرکزی تعمیم یافته و متقارن با گام نیوتن برای حل یک چندجمله ای ماتریسی پیشنهاد می کنیم. در پایان تعدادی مثال عددی ارائه خواهیم داد که نتایج تئوری را تایید می کند.

در این پایان نامه با استفاده از روش های تکراری دستگاه خطی ax=b و در حالت بلوکی دستگاه ax=b که ماتریس ضرایبش نا متقارن تنک بزرگ است، حل می شوند. در سال های اخیر، بیشتر روش های تکراری که ارائه شده اند بر مبنای زیر فضای کریلف هستند و تعمیم این روش ها برای حل مسائل با سمت راست چندگانه استفاده شده اند. دستگاه های معادلات خطی تنک بزرگ یا مسائل مقدار ویژه ماتریسی تنک بزرگ در اکثر کاربردهای محاسبات علمی ظاهر می شوند.( تنک بودن یعنی اکثر درایه های ماتریس صفر باشد). در حال حاضر روش های زیر فضای کریلف در میان موفق ترین روش های موجود در جبر خطی عددی هستند. اخیراً اسنوولد و ون جیزن به بررسی این مسائل با روش کاهش بعد القا شده پرداختند. روش های تکراری که امروزه برای حل دستگاه های خطی مقیاس بزرگ اعمال شده، عمدتاً روش های حل از نوع زیر فضای کریلف پیش شرط شده هستند. حال برای این منظور ابتدا به تعریف زیر فضای کریلف ‏پرداخته می شود, سپس روش تصویری متعامد بر روی زیر فضای کریلف بررسی می شود. در فصل اول این پایان نامه تعاریف و قضایای مورد نیاز در فصول بعد ذکر می شود. در فصل دوم، روش idr(s) بیان می شود و بر پایه آن روش idr(s)-biortho معرفی می گردد. در فصل سوم نیز، روش idr(s) برای حل دستگاه های خطی نامتقارن تنک بزرگ با سمت راست چندگانه توسعه می یابد که روش پیشنهادی تحت عنوان idr(s) بلوکی است. سپس نتایج عددی برای نشان دادن کارایی روش ها مطرح می شوند.

در این پایان نامه، گردایه های مهتری از ماتریس های صحیح و چند وجهی مهتری را معرفی می کنیم. ‏به این منظور ‏این پایان نامه را به چهار فصل تقسیم می نماییم: در فصل اول، تعاریف و قضایایی که در فصل های بعد مورد نیاز می باشد، مرور می کنیم. در پایان فصل‏ اول یک چندوجهی ‎m(v) ‎، وابسته به مهتری را معرفی می کنیم. در فصل دوم به معرفی یکی از گردایه های مهتری از ماتریس های صحیح، یعنی گردایه ی a (b|s)‎ ، خواصی از این گردایه، تعاریف‏، شرط ناتهی بودن گردایه، قضایای مربوط به آن می پردازیم والگوریتمی را برای یافتن یک ماتریس در گردایه ی ‎ a(b|s)‎ ارائه می دهیم. در فصل سوم به معرفی گردایه ی مهتری دیگری از ماتریس های صحیح، یعنی گردایه ی ‎ a (r,s)‎، تعاریف، شرط ناتهی بودن گردایه‏، قضایا، خصوصیاتی از این گردایه می پردازیم. همانند گردایه ی پیشین‏، الگوریتمی را جهت یافتن یک ماتریس در گردایه ی ‎a (r,s) ‎، ارائه می دهیم. همچنین در این فصل ارتباط بین دو گردایه ی فوق را مورد بررسی قرار می دهیم. در ‏فصل چهار‎‎ (‏پیوست)‎ برنامه هایی درمطلب‎ برای یافتن ماتریسی در گردایه های مهتری از ماتریس های صحیح ارائه می دهیم.

در این پایان نامه، هدف بررسی معادلات سیلوستر تعمیم یافته-‏مزدوج با استفاده از روش گرادیان مزدوج می باشد. همچنین به مطالعه روش گرادیان مزدوج پیش شر‏ط شده برای معادلات سیلوستر تعمیم یافته پرداخته و پیش شرط های ژاکوبی، گاوس سایدل اصلاح شده و ‎‎ssor‎‎ بررسی می شو‏ند. سرانجام برخی نتایج عددی همراه با مقایسه بین روش ها ارائه می گردد.

در این پایان نامه بررسی و مقایسه چند روش تکراری برای حل معادلات سیلوستر که کاربردهای وسیعی در نظریه کنترل و ارتباطات دارند، در نظر قرار گرفته است. این پایان نامه شامل چهار فصل می باشد. در فصل اول تعاریف و قضایایی که در فصول بعد مورد نیاز است بیان می شود. همچنین به بیان روش های تصویری روی زیرفضای کرایلف همانند روش های گرادیان مزدوج و تندترین کاهش پرداخته می شود. در فصل دوم یک روش تکراری برای حل معادله سیلوستر تعمیم یافته c=x-axb ارائه می شود، این روش با روش gmres مقایسه می شود و مزیت های این روش با بیان مثال های عددی در انتهای فصل ذکر خواهد شد. در فصل سوم الگوریتم های تکراری بر پایه گرادیان برای حل معادله سیلوستر c=xb+ax معرفی خواهند شد و در نهایت در فصل آخر به بیان یک روش تکراری جدید بر پایه تجزیه هسنبرگی برای حل معادله سیلوستر c=bx+xa پرداخته خواهد شد. روش های تکراری ذکر شده با روش های متناهی نیز مقایسه شده اند و مزیت های هر روش بر روش های دیگر بیان خواهد شد.

در این پایان نامه، انواع روش های gmres برای حل دستگاه معادلات خطی نامتقارن تنک بزرگ بررسی می شوند. در ابتدا، بعد از بیان تعاریف و قضایای مورد نیاز ، روش gmres و روش wz-gmres برای حل دستگاهمعادلات خطی ax=b مطرح می شوند. سپس روش gmres ساده تر افزوده با بردار های ویژه تقریبی (sgmres-e) برای حل دستگاه ax=b بیان می شود. این روش برای تولید روش های gmres ساده تر با شروع دوباره ناقص(sgmres-dr) و gmres ساده تر مبنی بر ماندهبا شروع دوباره ی ناقص (rb-sgmres-dr) بهبود داده می شود. در پایان، روش gmres سرتاسری (gl-gmres) و روش چند جمله ای پیش شرط مبنی بر gmres سرتاسری(pgl-gmres) برای حل چندین دستگاه معادلات خطی با سمت راست چندگانه بررسی می شوند. همچنین مقایسه عددی بین روش ها نیز ارائه می شود.

در این پایان نامه ، به بررسی چندین روش تکراری برای معادلات ماتریسی سیلوستر می پردازیم.و به چهار فصل تقسیم بندی می شود.در این پایان نامه ، به بررسی چندین روش تکراری برای معادلات ماتریسی سیلوستر می پردازیم. این پایان نامه را می توان به چهار فصل تقسیم کرد. در فصل اول تعاریف و قضایا و روش هایی را که در فصول بعد موردنیاز است مرور می شود.در فصل دوم روش gl-gmres و پیش شرط های ilu و ssor برای حل معادله سیلوستر مورد بررسی قرار می گیرد.سپس با مثال های عددی مقایسه ای بین این روش ها انجام می شود. در فصل سوم دو الگوریتم تکراری برای حل معادلات ماتریسی مزدوج سیلوستر ارایه داده می شود،که بر مبنای گرادیان مزدوج است. در فصل چهارم روش های فصل دوم را برای معادله ماتریسی سیلوستر تعمیم یافته axb-x=c را به کار خواهیم برد.

دراین پایان نامه معادله سیلوستر با زمان پیوسته‎ax+xb+ef^t=0‎ که ‎$ainmathbb{r}^{n imes n}$‎ ،‎ $binmathbb{r}^{s imes s}$‎ ماتریس های نامنفرد ‎$einmathbb{r}^{n imes r}$‎ و ‎$finmathbb{r}^{s imes r}$‎ دارای رتبه ستونی کامل با ‎$r<<n,s$‎ درنظرگرفته شده است. معادله ماتریسی سیلوستر یک نقش کلیدی را بازی می کند و کاربردهای زیادی در نظریه کنترل و ارتباطات، مساله های کاهش مدل، پایداری بازخوردی مساله های مکان قطبی دارد. جواب معادله سیلوستر در قطری سازی بلوکی یک ماتریس با یک تبدیل متشابه در تکنیک های گسسته سازی برای معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای ، درتصفیه و ترمیم تصویرمورد نیاز است. همچنین، یک روش تصویری جدید بر مبنای الگوریتم آرنولدی کلی برای حل معادلات ماتریسی سیلوستر ‎$ax+xb+cd^t=0$‎ ومعادلات ماتریسی سیلوستر تعمیم یافته بزرگ ‎$axb+x+cd^t=0$‎ پیشنهاد شده است. نشان داده شده است که چگونه جواب های تقریبی رتبه پایین معادله ماتریسی سیلوستر و معادله ماتریسی سیلوستر تعمیم یافته به دست می آیند. فرض شده است که شرط وجود و یکتایی جواب برای معادله های سیلوستر برقرار است. وقتی که اندازه ماتریس ضرایب ‎$a$‎ و ‎$b$‎ کوچک باشد از روش های عددی مشهور و پرکاربرد مانند الگوریتم شورهسنبرگ استفاده می شود دراین روش بزرگترین ماتریس بین دو ماتریس ‎$ a $‎ و ‎$ b $‎ هسنبرگی و دیگری به فرم شورحقیقی کاهش پیدا می کند. یادآوری می شود که روش شورهسنبرگ یک اصلاح کارا از الگوریتم بارتل استوارت است برای بحث روی پایداری عددی و کارایی روش های شور هسنبرگ و بارتل استوارت و بقیه الگوریتم ها به ‎cite{15}‎ مراجعه کنید. در سال های اخیر تعدادی روش های تصویری بر پایه روش های زیرفضای کرایلف ارائه شده است. ایده اصلی توسعه یافته دراین روش ها، ساخت پایه مناسب برای زیرفضای کرایلف و تصویر مساله بزرگ به مساله کوچک است. بطور طبیعی روش مستقیم برای حل مساله تصویر شده استفاده می شود. گام آخر در فرآیند تصویری شامل بازگردانی جواب مساله اصلی از جواب مساله کوچکتر است. در پایان هر فصل چند مثال عددی ذکر شده است که کارایی روش ها را نشان می دهد.

هدف استفاده روش زیر فضای کرایلف در حل معادلات ماتریسی بزرگ، از جمله معادلات اشتاین و سیلوستر تعمیم یافته است.روش های تصویری به کار رفته روش زیر فضای کرایلف و روش های کلی هستند.

چکیده ندارد.

در این رساله که بر دو فصل مشتمل است به بررسی روشهایی برای حل دستگاههای چندجمله ای می پردازیم. در فصل اول از روشی به نام "روش هموتوپی" استفاده می کنیم. بنابراین روش ابتدا یک دستگاه هموتوپی از معادلات را تعریف نموده و نشان می دهیم که جوابهای این دستگاه معادلات را تعدای متناهی خم تشکیل می دهد. این خمها، خمهای انتگرال یک دستگاه معادلات دیفرانسیل (که از دستگاه هموتوپی به دست می آیند) بنام دستگاه معادلات دیفرانسیل اساسی، می باشند. در اثبات قضایای فصل اول ابتدا از دو فرض "منطم بودن" و "مشتقپذیری" استفاده کرده ایم و سپس در پایان قضایا را بدون این دو فرض ثابت نموده ایم. در فصل دوم به بیان روش تمدید هموتوپی مخلوط پرداخته ایم و در آخر، کاربردهای این روش را در علوم دیگر نشان می دهیم.