نانو دندریمرها گروهی از نانو ذرات هستند که امروزه در بسیاری از زمینه های زیست پزشکی مرد توجه قرار گرفته اند.هر گروه از این ذرات از نظر اندازه، شکل، سطح ذره و همچنین ساختمان کلی ذره (چه ساختمان داخلی و چه خارجی) بسیار بسیار به هم شبیه هستند. شاخص توپولوژیک، کمیتی عددی وابسته به گراف است که تحت خودریختی های آن گراف پایاست. طی چند دهه اخیر شاخص های زیادی تعریف و مورد استفاده قرار گرفته اند. برخی از این شاخص ها بر اساس فاصله بین رئوس و برخی دیگر بر اساس درجه رئوس تعریف شده اند. شاخص وینر اولین شاخصی است که در سال 1947 توسط هارولد وینر معرفی و خواص آن تعیین گردید. دیگر شاخص که کاربرد زیادی در علم شیمی دارد، شاخص سگد است که توسط ایوان گوتمن معرفی شد. در این پایان نامه سعی بر این است که برخی از این شاخص ها را برای خانواده هایی از دندریمرها محاسبه کنیم. کلمات کلیدی: ?. نانو دندریمر ?. شاخص توپولوژیک ?. شاخص وینر ?. شاخص سگد.

انرژی و انرژی لاپلاسین (بدون علامت) کمیت هایی هستند که به ترتیب برحسب مقادیر ویژه و مقادیر ویژه لاپلاسین )بدون علامت ( تعریف می شوند. مقادیر ویژه و مقادیر ویژه لاپلاسین )بدون علامت) گراف g که همان مقادیر ویژه ماتریس مجاورت و ماتریس لاپلاسین (بدون علامت) هستند، اهمیت زیادی در مطالعه ویژگی های گراف دارند. در این پایان نامه سعی بر این است که برخی از کران های انرژی لاپلاسین و لاپلاسین بدون علامت را بررسی کنیم. در این مباحث گراف را ساده در نظر می گیریم. انرژی لاپلاسین گراف جهت دار را انرژی لاپلاسین اریب می نامیم .

یکی از راه های مطالعه ی گراف ها بررسی چندجمله ای هایی است که به آن ها نسبت داده می شوند. تاکنون چندجمله ای های گوناگونی به گراف ها نسبت داده شده اند و مورد بررسی و مطالعه قرار گرفته اند. برای نمونه می توان به چندجمله ای های رنگی، چندجمله ای های غالب و چندجمله ای های استقلال اشاره کرد. یک مجموعه ی استقلال از گراف ‎$ g $‎، عبارت است از یک زیر مجموعه ی ‎$ s $‎ از مجموعه رئوس گراف $ g $‎، به طوری که هیچ دو رأسی در ‎$ s $‎ مجاور نباشند. اگر ‎$ g $‎ یک گراف ساده باشد و ‎$ i‎_{k}‎ $‎ تعداد مجموعه های استقلال ‎$ k $‎ رأسی از گراف ‎$ g $‎ باشد، آن گاه چندجمله ای استقلال ‎$ g $‎ برابر است با: ‎egin{align*} i(g,x) = 1 + sum olimits_{k = 1}^{alpha (g)} {mathop i olimits_k } x^k . end{align*}‎ یکی از مفاهیم مهمی که در بررسی چندجمله ای های وابسته به گراف ها به آن پرداخته می شود، مفهوم تک مدولی است. دنباله ی متناهی ‎$ c‎_{n},c‎_{n-1},...,c‎_{1},c‎_{0}‎‎‎‎ $‎‎ تک مدول‎ نامیده می شود، هرگاه اندیس ‎$ r $‎ وجود داشته باشد، به گونه ای که: vspace*{-1.25cm} ‎egin{center} .‎$ c‎_{0} ‎leq c‎_{1} ‎leq ... ‎leq c‎_{r-1} ‎leq‎ c‎_{r} ‎geq‎ c‎_{r+1} ‎geq ... ‎geq c‎_{n}‎‎‎ $‎ end{center}‎ اندیس ‎$ r $‎ مد این دنباله نامیده می شود. چندجمله ای ‎$ sumlimits_{i = 1}^n {c_i } x^i $‎ تک مدول نامیده می شود هرگاه دنباله ی ضرایب $ c‎_{n},c‎_{n-1},...,c‎_{1},c‎_{0}‎‎‎‎ $‎ تک مدول باشد. در این پایان نامه تک مدولی بودن چندجمله ای های استقلال گراف ها مورد مطالعه قرار می گیرد.

دراین پایان نامه در باره کاربرد نظریه مجموعه های ناهموار در سیستم های اطلاعاتی بحث می کنیم. در واقع در این پایان نامه نظریه ی مجموعه های ناهموار را با نظریه مجموعه های فازی با تابع مقدار فاصله ای ترکیب می کنیم و به معرفی سیستم های اطلاعاتی فازی با تابع مقدار فاصله ای می پردازیم. همچنین تقریب ناهموار یک مجموعه ی فازی با تابع مقدار فاصله ای روی مجموعه مرجع u را به عنوان یک فضای تقریب پاولاک مورد مطالعه قرار داده و فضای تقریب پاولاک را تعمیم می دهیم و چند نتیجه خاص از این عملگر های تقریب را بررسی می کنیم. در ادامه به معرفی برخی کاربرد های نظریه مجموعه های ناهموار می پردازیم و در باره ساده سازی سیستم های اطلاعاتی فازی با تابع مقدار فاصله ای بحث کرده و با ارائه مثال هایی روشی برای کسب دانش و آگاهی بیشتر از این سیستم های اطلاعاتی فازی بیان می کنیم.

گراف های وابسته به ساختارهای مختلف جبری تعریف شده واخیراً نتایج بسیار جالبی هم بدست آمده است. فرض کنیم $x$ یک زیرمجموعه از اعداد صحیح مثبت است و $xin x$. منظور از $(pi(x$، مجموعه ی شمارنده های اول $x$ است. قرارمی دهیم ${1}x*=x$. در این صورت گراف اول، گراف مقسوم علیه مشترک و گراف دوبخشی مقسوم علیه مشترک $x$ را به ترتیب با نمادهای $(delta(x)$، $gamma(x$ و $(b(x$ نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم. گراف اول گرافی است غیر جهت دار با مجموعه ی رأسی متشکل از اجتماع شمارنده های اول همه ی اعضای $x$ ، به طوری که دو رأس در این گراف مانند $p$ و $q$ مجاورند هرگاه عضوی از $x$ مانند $x$ موجود باشد که $pq$ شمارنده ی $x$ باشد. گراف مقسوم علیه مشترک گرافی است غیر جهت دار با مجموعه ی رأسی اعضای غیربدیهی $x$، به طوری که دو رأس از این گراف مجاورند هرگاه نسبت به هم اول نباشند. گراف دوبخشی مقسوم علیه مشترک گرافی است غیر جهت دار که مجموعه ی رأسی اش اجتماع مجزا از مجموعه های رأسی گراف اول و گراف مقسوم علیه مشترک است. یک عضو مانند $p$ از بخش اول با یک عضو مانند $x$ از بخش دوم مجاورند، هرگاه $p$ شمارنده ی $x$ باشد. هدف اصلی از این بحث معرفی گراف دوبخشی مقسوم علیه مشترک برای حاصل ضرب دو زیرمجموعه از اعداد صحیح مثبت و بررسی خواص ترکیبیاتی آن و استفاده از این خواص در نظریه گروه های متناهی است. یک تعمیم بسیار جالب از گراف مقسوم علیه مشترک $ip$-گراف نامیده می شود. درقسمت دوم این رساله ما فرم دوبخشی از $ip$- گراف را معرفی کرده و برخی خواص این گراف را مورد مطالعه قرار می دهیم.

در این پایان نامه به مطالعه ی مقادیر ویژه ی گراف ها پرداخته و کران های بالا و پائین برای مقادیر ویژه ی گراف را مطالعه خواهیم کرد. هم چنین به اختصار به بررسی کران های بالا و پائین مقادیر ویژه ی لاپلاسین گراف خواهیم پرداخت.

فرض‎ کنید ‎ ‎g=(v,e)‎ ‎ یک گراف ساده و ‎‎‎|v|=p و ‎|e|=q است. این گراف را با ‎ ‎(p,q ‎-گراف نشان می دهیم. منظور از یک جورسازی (تطابق) زیرمجموعه ی ‎ ‎m‎ ‎ از e‎ ‎ می باشد به طوری که هر دو عضو از ‎ m ‎ در ‎ ‎g‎ ‎ غیر مجاور باشند. شاخص هوسویای گراف ‎ ‎g‎ ‎ به صورت زیر تعریف می شود: ‎z(g)=?_(k=0)^?n/2???m(g,k),? ‎ m(g,‎k)‎ ‎ تعداد جورسازی های ‎ ‎g‎ ‎ با اندازه ی ‎k است. ‎ هم چنین چندجمله ای هوسویای ‎ ‎g‎ ‎ را با نماد ‎ ‎h(g,x)‎ ‎ نشان داده و برابر است با: h(g,x)=?_({u,v}?v(g))?x^(d(u,v)) ‎‎ ‎‎‎ ‎ d(u,‎v)‎ ‎ فاصله ی بین دو رأس ‎ ‎u‎ ‎ و ‎ ‎v‎ ‎ است. ‎‎ در این پایان ‎‎‎ نا‎‎‎مه خواص شاخص هوسویا را برای گراف‎ ها مطالعه می کنیم و این شاخص را برای برخی گراف های خاص به دست می آوریم. هم چنین چندجمله ای هوسویا برای بعضی از نانوساختارها محاسبه می کنیم.

در این پایان نامه، با استفاده از مفاهیم تساوی فازی و تابع فازی، مفهوم عمل گر هموار تعریف می شود. سپس یک ساختار جبری به نام گروه هموار تعریف شده و ویژگی های اساسی این ساختار بررسی می شود. همچنین مفاهیمی مثل زیرگروه و همریختی هموار تعریف شده و ویژگی های اساسی آن ها مورد مطالعه قرار می گیرد. در پایان زیرگروه تولید شده توسط یک زیرمجموعه ی معمولی از یک گروه هموار مورد مطالعه قرار می گیرد.

پس از معرفی مختصری از نظریه گره در فصل اول، در فصل دوم ساده ترین و در عین حال پایه ای ترین چندجمله ای در مبحث گره ها یعنی چندجمله ای براکت کافمن را معرفی خواهیم کرد. در ادامه به روشی برای محاسبه این چندجمله ای اشاره می کنیم که به طرز چشمگیری خطای محاسبه را کاهش می دهد. در فصل سوم به چندجمله ای جونز خواهیم پرداخت. این چندجمله ای با پاسخ به مسائلی که تا مدت ها بدون پاسخ مانده بودند به مانند انقلابی در نظریه گره بوده و تا امروز نیز نقش بسیار مهمی در نظریه گره ایفا می کند. در فصل چهارم قدیمی ترین چندجمله ای در نظریه گره یعنی چندجمله ای الکساندر را معرفی می کنیم. این چندجمله ای که دارای پیشینه ای جبری می باشد به خوبی در قالب مفاهیم همولوژی بیان و درک شده و کاربردهای بسیاری در زمینه های علمی مختلف دارد. همچنین چندجمله ای الکساندر دسته ای خاص از گره ها به طور عمده مورد بررسی قرار گرفته اند؛ این گره ها برای تبدیل شدن به گره های ‎$ 10_{132} $‎ و ‎(5,2)-‎چنبره یا ‎$ 5_1 $‎ به تنها یک تغییر تلاقی نیاز دارند. در فصل پنجم و ششم به دو تعمیم دو متغیره از چندجمله ای جونز یعنی چندجمله ای های هامفلی و کافمن خواهیم پرداخت. علاوه بر این برهان وجود این چندجمله ای ها ذکر شده است. نحوه استتار چندجمله ای های جونز و الکساندر در چندجمله ای های هامفلی و کافمن نیز بیان گردیده است. نهایتاً در فصل هفتم علاوه بر معرفی جنبه های قابل بررسی دیگر در مورد چندجمله ای های گرهی، اشاره ای کوتاه به دیگر چندجمله ای های ناوردا و دارای اهمیت در نظریه گره خواهیم کرد که مجال پرداختن به همه آن ها در این پایان نامه نبوده است.

فرض کنید $ g $ یک گراف ساده همبند است. شاخص همبندی خروج از مرکز گراف مولکولی $ g $ به صورت $ xi^{c}(g)=sum_{{v}in{v(g)}}deg(v)ecc(v) $ تعریف می شود، که در آن $ deg(v) $ و $ ecc(v) $ به ترتیب درجه و خروج از مرکز رأس $ v $ می باشد. چند جمله ای همبندی خروج از مرکز گراف مولکولی $ g $، $ ecp(g,x) $، به صورت $ ecp(g,x)=sum_{vin{v(g)}}deg(v)x^{ecc(v)} $ تعریف می شود. بنابراین شاخص همبندی خروج از مرکز گراف مولکولی $ g $، برابر با مشتق اول $ ecp(g,x) $ به ازای $ x=1 $ است. ما در این پایان نامه ضمن بررسی ویژگی های شاخص و چندجمله ای همبندی خروج از مرکز، این دو اندیس را برای برخی از نانوساختارها محاسبه می کنیم.

رنگ آمیزی گراف یکی از معروفترین و پرکاربردترین مباحث در نظریه گراف است. رنگ آمیزی گراف ابتدا در سال 1880 با حدس چهارنگ مطرح شد. این حدس بیان می کرد که هر نقشه را می توان با چهار رنگ، رنگ آمیزی کرد. چندین رنگ آمیزی گراف وجود دارد که رنگ آمیزی رأسی یا یالی گراف بیشترین توجه را به خود جلب کرده اند. در فصل اول این پایان نامه ابتدا مقدماتی از نظریه گراف، که در طول پایان نامه مورد نیاز است، بیان می گردد. در فصل دوم که شامل چهار بخش است به تعاریف و مفاهیم مربوط به رنگ آمیزی گراف می پردازیم. بخش اول رنگ آمیزی رأسی را معرفی می کنیم. در بخش دوم که پایه این پایان نامه می باشد، رنگ آمیزی یالی را تعریف کرده و قضایا مربوط به آن که در فصل سوم مورد استفاده قرار می گیرد را اثبات می کنیم. در بخش سوم، رنگ آمیزی تام گراف را معرفی می کنیم و در واقع این رنگ آمیزی اجتماع دو رنگ آمیزی رأسی و یالی می باشد. در بخش آخر، تنها چند تعریف از دیگر رنگ آمیزی های گراف را مطرح می کنیم. در فصل سوم کلاس بندی گراف را تعریف می کنیم و در این رابطه چندین گراف را تعریف و کلاس آن ها را بیان می کنیم.

‏ یک‎$l(2‎ , ‎1)$ ‎ -برچسب گذاری از گراف ‎$g$‎، یک تابع ‎$f$‎ از مجموعه رأس ها ‎$(v(g))$‎ به مجموعه همه اعداد صحیح غیر منفی است به طوری که ‎$|f(x)‎ - ‎f(y)| geq 2$‎ اگر ‎$d(x‎ , ‎y) = 1$‎ و ‎$|f(x)‎ - ‎f(y)| geq 1$‎ اگر ‎$d(x‎ , ‎y) = 2$‎، که ‎$d(x,y)$‎ نشان دهنده فاصله بین ‎$x$‎ و ‎$y$‎ در ‎$g$‎ هست.‎ یک ‎$‎k‎$‎ - ‎$l(2‎ , ‎1)$‎ - برچسب گذاری از گراف ‎$g$‎، یک نگاشت ‎$f:v(g) longrightarrow lbrace 0,1,2,...,k brace$‎ است به طوری که برای هر دو رأس مجاور و ‎متمایز‎ ‎$‎u‎$‎‎‎‏ و‏ ‎$‎v‎$‎‏ از ‎$‎g‎$‎‎‏‏، ‎‎‎$|f(u)‎ - ‎f(v)| geq 2$‎‎‏ و اگر فاصله دو رأس متمایز ‎$‎u‎$‎‏ و ‎$‎v‎$‎‏ دقیقاً ‎$‎2‎$‎‏ باشد آن گاه ‎‎‎$|f(u)‎ - ‎f(v)| geq ‎1$‎‎‎‎‏. ‎کوچکترین عدد صحیح مثبت ‎$‎k‎$‎‏‏ به طوری که ‎$‎g‎$‎‏ یک ‎$‎k‎$‎‏- ‎$‎l(2,1)‎$‎‏- برچسب گذاری را بپذیرد‏، ‎$‎lambda‎$‎- عدد ‎$‎g‎$‎‏ نامیده می شود. در این پایان نامه ‎$‎lambda‎$‎- عدد را برای گراف کیلی مکعبی (به غیر از گراف منشور) بر روی گروه های دو وجهی مطالعه می کنیم‏، که حاصل ضرب بریک گراف ها یا گراف های حلقوی لانه زنبوری نامیده می شود. ‎‏همچنین ‎$‎lambda‎$‎ - عدد برخی از گراف های خاص را مطالعه می کنیم. برخی کران های بالا و پایین را برای این پارامتر بررسی می کنیم. به‎ خصوص گراف مسطح بیرونی‏، ‎$‎lambda‎$‎ - عدد و کران های آن را در نظر می گیریم.

در مسئله طولانی ترین مسیر، هدف یافتن یک مسیر با بیشترین تعداد راس در یک گراف داده شده است. این مسئله‎‎ یک نسخه ی بهینه سازی از مسئله مسیر همیلتونی است‎.‎ . تاکنون تنها برای تعداد اندکی کلاس از گراف ها الگوریتم چندجمله ای برای مسئله طولانی ترین مسیر ارائه شده است. یک گراف مقایسه پذیری است اگر بتوان روی مجموعه رئوس این گراف یک ترتیب جزئی تعریف کرد؛ بطوریکه هر دو راس مجاور در گراف در این ترتیب قابل مقایسه باشند. یک گراف را مقایسه ناپذیری گویند‏، اگر مکمل آن یک گراف مقایسه پذیری باشد. گراف جایگشتی‏، گراف اشتراک پاره خطهای محصور بین دو خط موازی است. گراف جایگشتی که دوبخشی باشد را یک گراف جایگشتی دوبخشی می نامند. در فصل اول بعد از تعاریف مقدماتی مانند تعاریف مربوط به گراف‏، رابطه دودویی و ترتیب جزئی‏، تعاریف دقیق و کامل گراف های مقایسه ناپذیری‏ و جایگشتی دوبخشی را بیان می کنیم. در فصل دوم به بیان و بررسی الگوریتم ارائه شده برای مسئله طولانی ترین مسیر در گراف های مقایسه ناپذیری می پردازیم. این الگوریتم یک الگوریتم برنامه ریزی پویا است که در آن از یک ترتیب بندی خاص روی رئوس استفاده می شود. کلاس گراف های جایگشتی دوبخشی زیرمجموعه ی کلاس گراف های مقایسه ناپذیری است. در فصل سوم به بیان الگوریتم یافتن طولانی ترین مسیر در گراف های جایگشتی دوبخشی می پردازیم. این الگوریتم با تجزیه گراف جایگشتی دوبخشی‏ به زیرگراف های کوچکتر یک طولانی ترین مسیر از گراف را محاسبه می کند.

مفهوم جریان در یک گراف، مدلی مفید در تحقیق در عملیات و هم چنین معادل با مفهوم شدت جریان برق شبکه های الکترونیک است. بنابراین جای تعجب نیست که نظریه جریان، موضوعی کلاسیک و مهم در نظریه گراف محسوب می شود، که البته منجر به توسعه ای در نظریه بهینه سازی ترکیبیاتی، ترکیبیات چند وجهی و نظریه مترویدها شده است.indent جریان ها در نظریه گراف، به دلیل ارتباطشان با مسائل نگاشت رنگی گراف ها، از اهمیت ویژه ای برخوردارند. مسئله ی نگاشت رنگی به عنوان یکی از مهم ترین عوامل گسترش نظریه گراف در تاریخ 270 ساله ی آن مورد توجه قرار گرفته و به همین دلیل است که نظریه رنگ پذیری گراف ها و مسائل مربوط به آن همیشه به عنوان اصلی ترین زمینه ی تحقیقات در نظریه گراف محسوب می شوند.indent در سال 1954، ویلیام تات در مقاله ی [ ef{r12}] مطرح کرد که مسئله ی رنگ پذیری وجهی گراف های مسطح را می توان با مفهوم جدیدی به نام جریان های صحیح در این گراف ها بیان کرد؛ و از آن زمان به بعد، تئوری جریان های صحیح یکی از جذاب ترین مسائل در نظریه گراف هستند. گوییم گراف $g$ دارای $k$-جریان هیچ جا صفر است، هرگاه بتوانیم اعداد صحیح بین $-k$ و $k$ (بجز 0) را به یال های گراف جهت دار اختصاص دهیم به طوری که مجموع مقادیر یال های ورودی برابر با مجموع مقادیر یال های خروجی باشد. به عنوان مثال، می توان نشان داد که قضیه ی چهار رنگ معادل است با این که هر گراف جهت دار مسطح بدون یال برشی، دارای جریان هیچ جا صفری با مقادیر از مجموعه ی ${pm1,pm2,pm3}$ می باشد. برای گراف های بی جهت جریان جمع صفر روی گراف $g$ اختصاص اعداد صحیح ناصفر به یال های $g$ تعریف می شود، به گونه ای که مجموع یال های واقع بر هر رأس صفر باشد.indent با مطالعه ی این قبیل مسائل، به تعمیمی در مفهوم جریان دست می یابیم که در آن، مقادیر جریان به جای اعداد صحیح، از یک گروه آبلی انتخاب می شوند. تات سه حدس مشهور در نظریه ی جریان دارد که به حدس های $3$-جریان، $4$-جریان و حدس $5$-جریان معروف هستند. تحقیقات بسیاری در زمینه ی این سه حدس انجام شده و نتایج زیادی به دست آمده است که در این پایان نامه برخی از آن ها را بیان می کنیم. هم چنین حدسی در زمینه ی جریان ها در گراف های دوجهتی توسط بوچت مطرح شده است و حدسی مشابه با حدس بوچت برای گراف های بدون جهت نیز مطرح شده است که هیچ یک از این حدسیات هنوز به اثبات نرسیده اند و تنها برای برخی گراف ها با شرایط خاص به اثبات رسیده اند.

‏فرض کنید ‎$ ‎g‎ $‎‏ یک گراف ساده‏‏، ‎$ ‎c(x)‎ $‎ ‏ حلقه ای از تمام توابع پیوسته ی حقیقی مقدار روی فضای کاملاً منظم هاسدورف ‎$ ‎x‎ $‎‏ و ‎$ ‎gamma(c(x))‎‎ $‎‏ گراف مقسوم علیه-صفر در حلقه ی ‎$ ‎c(x)‎ $‎‏ باشد‏، در این پایان نامه ارتباط بین ویژگی های گراف ‎$ ‎gamma(c(x))‎‎ $‎‏‏، ویژگی های حلقه ی ‎$ ‎c(x)‎ $‎‏ و ویژگی های توپولوژیکی فضای ‎$ ‎x‎ $‎‏ بررسی می‏ شود. ‎‎سپس نشان داده می شود عدد خوشه ای گراف ‎$ ‎gamma(c(x))‎‎ $‎‏‏، عدد سوزولین فضای ‎$ ‎x‎ $‎‏ و بعد گلدی حلقه ی ‎$ ‎c(x)‎ $‎‏ باهم معادل اند. مجموعه ی رئوس مرکزی گراف ‎$ ‎gamma(c(x)) $‎‏، یک مجموعه ی غالب است اگر و تنها اگر مجموعه ی نقاط تنهای ‎$ ‎x‎ $‎‏ در ‎$ ‎x‎ $‎‏ چگال باشد اگر و تنها اگر ساکل حلقه ی ‎$ ‎c(x)‎ $‎‏ یک ایده ال اساسی باشد.

هدف ما در این رساله، برقراری ارتباط بین ابرگراف ها و ابرگروه ها است. در این راستا،انواع همریختی را برای ابرگروه هایn -تایی معرفی کرده و سپس ضرب حلقوی پلی گروه های n-تایی را مورد مطالعه قرار خواهیم داد. همچنین چند ارتباط بین ابرگراف ها، ابرگراف های تعمیم یافته و ابرگروه وارها برقرار ساخته و سپس نوع جدیدی از ابرگراف های فازی را معرفی می کنیم. در پایان، برخی از ابرساختارهای فازی نظیرf-ابرگروه ها از نوع u، fn-ابرگروه ها fn-ابرگروه های انتقالی، fn-پلی گروه ها، f(m,n)-ابرحلقه های کراسنر و ضربی و f(m,n)-ابرمدول ها را معرفی می کنیم.

یکی از مسائل مهم در نظریه ی گره، تشخیص و تمایز گره ها از یکدیگر است. تاکنون روش های متعددی به این منظور ابداع شده و به کار رفته است. یکی از آنها معرفی چندجمله ای هایی مرتبط با ساختار گره ها و زنجیر هاست که این چندجمله ای ها به عنوان ناورداهای گره ها و زنجیرها در نظر گرفته می شوند؛ به این معنا که هر نمایش از یک گره یا زنجیر دارای چندجمله ای یکسان است.اما آنچه که در معرفی چندجمله ای ها نقش اساسی دارد آن است که دو گره با چندجمله ای های نامساوی، برابر نیستند. دامنه این مبحث بسیار گسترده است و چندجمله ای های بسیاری در نظریه گره مطرح شده اند، برخی از آن ها عبارت اند از: چندجمله ای جونز، چندجمله ای الکساندر، چندجمله ای، a-چندجمله ای وc-چندجمله ای. به علاوه، بررسی برخی ویژگی های این دسته از چندجمله ای ها، مانند توزیع ریشه های چندجمله ای های جونز و الکساندر در صفحه، مورد توجه محققین بوده است که بخشی از این پایان نامه به این موضوع پرداخته است.

در این رساله ساختار گراف بخش پذیری روی مجموعه اندازه کلاس های تزویج دسته هایی از گروه های متناهی بررسی شده است.

فرض کنید ‎$g=(v,e)$‎ گراف ساده است. عدد بل گراف ‎$g$‎ را با ‎$b(g)$‎ نشان داده و برابر است با تعداد افرازهای مجموعه ی رئوس ‎$g$‎ به بلوک ها(رده ها) که هر بلوک ‎(رده)‎ مجموعه های مستقل گراف ‎$g$‎ می باشند، که منظور از مجموعه ی مستقل گراف ‎$g$‎ زیرمجموعه ای از رئوس ‎$g$‎ است که هیچ دو عضو آن مجموعه، مجاور نباشند. عدد استرلینگ گراف ‎$g$‎ که با ‎$s(g,k)$‎ نشان داده می شود برابر است با تعداد افرازهای مجموعه ی رئوس ‎$g$‎ به ‎$k$‎ زیرمجموعه ی ناتهی و مجزا است. ‎ در این پایان نامه اعداد بل و استرلینگ را برای برخی از گراف ها مانند گراف های مسیر، دور، چرخ، درخت و... محاسبه می کنیم. هم چنین توابع مولد دنباله ی اعداد استرلینگ گراف ‎$g$‎ را در نظر گرفته که این تشکیل یک چندجمله ای می دهد و آن را با ‎$sigma(g,x)$‎ نشان می دهیم و ارتباط این چندجمله ای را با چندجمله ای رنگی گراف به دست خواهیم آورد.

جنبش مردم مصر در 25 ژانویه2011 تحت تأثیر حرکت مردمی تونس شکل گرفت و با گذشت مدت زمان کمی به سرنگونی حسنی مبارک رییس جمهور این کشورمنجر شد .از علل بروز جنبش مردم مصر می توان به عدم توسعه سیاسی، وضع نامناسب اقتصادی و افزایش آگاهی و بسیج سیاسی مردم مصر در نتیجه رواج تکنولوژی های ارتباطی نوین اشاره نمود.