چکیده : این پایان نامه شامل سه فصل است. فصل اول مقدمه می باشد که شامل تعاریف و مفاهیم مورد نیاز در دو فصل دیگر است. در فصل دوم حلقه های به طور کامل k- ابتدایی و حلقه های تقریبا? به طور کامل k- ابتدایی را بررسی خواهیم کرد.در ابتدا ایدآل های به طور کامل k-ابتدایی راست و چپ ونیز حلقه های به طور کامل k-ابتدایی راست و چپ را تعریف میکنیم . حلقه r را به طور کامل k- ابتدایی گوییم در صورتی که حلقه r به طور کامل k- ابتدایی راست و به طور کامل k- ابتدایی چپ باشد . در ادامه این فصل شرط لازم و کافی برای اینکه حلقه r به طور کامل k-ابتدایی راست (چپ) باشد را بیان می کنیم و نیز اثبات خواهیم کرد که هر حلقه به طور کامل k- ابتدایی راست (چپ) , یک ایدآل ماکسیمال منحصر به فرد دارد . علاوه بر این شرایطی را که حلقه های pi, حلقه های تعویض پذیر و حلقه های fbn به طور کامل k- ابتدایی راست (چپ) باشد را بیان می کنیم . در بخش دوم از این فصل در مورد حلقه های تقریبا? به طور کامل k-ابتدایی صحبت خواهیم کرد . در این بخش نشان می دهیم که حلقه تقریبا? به طور کامل k- ابتدایی راست r حداکثر دو ایدآل ماکسیمال دارد . و نیز نشان داده شده است که اگر حلقه r یک ایدآل غیر صفر مینیمال منحصر به فرد داشته باشد و 0= (r(j , حلقه r تقریبا? به طور کامل k- ابتدایی راست است اگر و تنها اگر به طور کامل k- ابتدایی باشد . در فصل سوم ساختار ایدآل های به طور یکنواخت ابتدایی را مورد مطالعه قرار خواهیم داد . . در گزاره 8.3 شرط لازم و کافی برای آن که ایدآلq به طور یکنواخت p- ابتدایی باشد را بیان می کنیم . در بخش دوم از این فصل تعدادی از ویژگی های عنصری ایدآل های به طور یکنواخت ابتدایی با رادیکال عمومی مشترک را مقایسه می کنیم . در انتها روابط موجود در بخش های قبل را در حلقه های نوتری بررسی می کنیم . به عنوان یک نتیجه , خواهیم دید که در حلقه های نوتری, « ایدآل به طور یکنواخت ابتدایی » , « ایدآل قویاً ابتدایی نوتر» , « ایدآل قویاً ابتدایی موری » و « ایدآل ابتدایی » معادل اند.

ایده عدد تحمیل کننده خطی روی مدولها از آنجایی پدید آمد که این سوال مطرح شد که چه زمانی یک تابع همگن تبدیل به یک همریختی مدولی می شود و سپس مجموعه تمام توابع همگن از یک مدول به خودش را ‎${cal m}_r(v)$‎ نامیدند و در حقیقت این سوال مطرح بود که چه زمانی تساوی ‎${cal m}_r(v)={ m end}(v)$‎ برقرار می شود. در مراحل بعدی این نتیجه حاصل شد که تنها کافیست موضوع را روی زیرمدول های یک مدول بررسی کرد و اینکار اکثر اوقات بسیار آسان تر از بررسی کل عناصر مدول اساسی است‎.‎ بنابراین عدد تحمیل کننده خطی یک نوع اندازه گیری است که نشان می دهد که چه مقدار خطی بودن موضعی لازم است تا خطی بودن عمومی نتیجه شود‎.‎ در این پایان نامه ابتدا یک تاریخچه کامل از کارهایی که از سال ‎1999‎ الی ‎2010‎ بر روی عدد تحمیل کننده خطی انجام شده ارائه می دهیم و در واقع یک دسته بندی جامع در مورد عدد تحمیل کننده خطی انجام می دهیم. سپس بعضی از مهمترین این مقالات، که اهمیت ویژه ای دارد، را مورد بررسی کامل قرار می دهیم.

فرض کنید r یک حلقه تعویض پذیر باشد، گراف مقسوم علیه صفرr، با نماد(r)?، گراف غیر جهت داری است که رأس های آن عناصر غیر صفر مقسوم علیه های صفر r هستند، چنانچه دو رأس x و y به وسیله یک لبه به هم متصل اند اگر و تنها اگر xy=0. حال چون صفر یک اید آل از حلقه r است، میتوان آن را در تعریف فوق با اید آل دلخواه i جابجا کرد و تعریف زیر را مطرح نمود. فرض کنید r یک حلقه تعویض پذیر و i اید آلی از r باشد. گراف غیر جهت دار (r)i? با رأس های {x ri | xy i , for some y ri} را این گونه تعریف می کنیم که دو رأس x و y به هم متصل اند اگر و تنها اگر xy i.

یک عضو از حلقه ی r تمیز است هرگاه به صورت جمع یک عضو یکه و یک عضو خودتوان باشد و زیرمجموعه ی a از حلقه ی r تمیز است هرگاه هر عضو آن تمیز باشد. در این رساله نشان می دهیم که حلقه ی گلفند نیم اولیه ی r تمیز است اگر و تنها اگر max(r) از بعد صفر باشد، اگر و تنها اگر برای هر ، اشتراک همه ی ایدآل های اول مشمول در m ، توسط یک مجموعه از خودتوان ها تولید شود. همچنین چندین حالت معادل برای حلقه های تابعی تمیز ارائه می دهیم. در حقیقت ، یک حلقه ی تابعی r تمیز است اگر و تنها اگر مجموعه عضوهای تمیز تحت جمع بسته باشند، اگر و تنها اگر هر مقسوم علیه صفر تمیز باشد، اگر و تنها اگر r یک ایدآل اول تمیز داشته باشد.

در این پایان نامه سعی برآن داریم که به معرفی حلقه های ویلامایر(یعنی هر حلقه ای که هر r -مدول ساده آن انژکتیو باشد) و ویژگی های آن و رابطه ی آن با حلقه های ماکس و حلقه های بس وحلقه های کاملا خودتوان می پردازیم. و نشان می دهیم یک حلقه تعویض پذیر؛ منظم است اگر و تنها اگر ویلامایر باشد. همچنین حلقه های یکتا اساسی راست (حلقه هایی با ساکل راست ماکسیمال) و ویژگی های آن را معرفی می کنیم و نشان می دهیم که حلقه نیم اول r یک حلقه یکتا اساسی است اگر و فقط اگر r حلقه ویلامایر منظم که ساکل آن ایدآل ماکسیمال راست باشد. اگر و فقط اگر توپولوژی ذاتی r یک توپولوژی ناگسسته هاسدورف و هر ایدآل محض چگال راست آن نیمساده باشد. و نشان می دهیم هر حلقه یکتا اساسی ماکس است و هر حلقه یکتا اساسی نیم اول؛ ویلامایر است. و اثبات می کنیم اگر حلقه یکتا اساسی راست r خود انژکتیو راست باشد؛آنگاه r هرگز نیم اول نیست و رادیکال جیکوبسن آن مدول نیمساده آرتینی است.همچنین مشاهده می کنیم مدول هایی با بعد کرول روی حلقه یکتا اساسی راست، هم آرتینی و هم نوتری هستند. و هر حلقه یکتا اساسی راست موضعی شامل یک زیرحلقه دو طرفه یکتا اساسی موضعی می باشد. و در ادامه برخی ویژگی های اساسی از حلقه های یکتا اساسی راست و نیز مثال هایی از این حلقه ها ذکر می شود. سرانجام مشاهده می کنیم که حلقه هایی چون c(x)، حلقه های گلدی راست نیم اول و بسیاری از حلقه های مشهور هرگز حلقه یکتا اساسی نیستند.

در نظریه ی حلقه ی توابع پیوسته یکی از اهداف اصلی ایجاد پلی میان فضای توپولوژیک ، حلقه ی جابه جایی c(x) و خواص آن ها می باشد.

چکیده ندارد.