فرض کنیدe1 , e2 دو فضای باناخ و f:e1-- e2 نگاشتی تقریباً جمعی باشد. اولم با پرسیدن سوالی بدین مضمون که(شرایطی را ارائه دهید برای این که یک نگاشت تقریباً جمعی وجود داشته باشد) باعث شروع تحقیقات گسترده ای درباره ی مسائل پایداری و ابر پایداری شد، که تا کنون نیز ادامه دارد. در این پایان نامه ضمن بررسی برخی از تحقیقات تا رسیدن به جوابی معین درباره ی تقریب و پایداری همریختی ها، پایداری و ابرپایداری اشتقاق ها نیز مورد بررسی قرار می گیرد. در واقع فرض کنید که a یک جبر نرمیده یکدار و x یک a-مدول باناخ چپ یکانی باشد. اگر f:a----x یک اشتقاق چپ مدول تقریبی باشد در این صورت f:a ---x یک اشتقاق چپ مدول است. به علاوه اگر a=x یک جبر باناخ یکدار نیم اول و f(tx) در r?t برای هر x ثابت پیوسته باشد، در این صورت هر اشتقاق چپ خطی تقریبی f:a ---x یک اشتقاق خطی است که a را به اشتراک، مرکز a و رادیکال جیکوبسن a تصویر می کند. در حقیقت اگرa نیم ساده باشد در این صورت f متحد با صفر است.

معرفی ثابت دانکل ویلیام و بررسی رابطه ی آن باتحدب - همواری و ویژگی نقطه ثابت و ساختارنرمال می باشد.پیدا کردن کران های بالا و پایین برای ثابت دانکل ویلیام است. ونشان می دهیم فضای x نامربع یکنواخت است اگر و تنها اگر ثابت دانکل ویلیام فضای xاکیدا کوچکتراز 4 باشد. و در پایان هر بحث این نتیجه را می آوریم که هر فضای هیلبرت نامربع یکنواخت- محدب یکنواخت- دارای ویژگی نقطه ثابت برای نگاشت های ناگسترده و ساختار نرمال دارد.

در این پایان نامه خاصیت نقطه ی ثابت را برای نگاشت های ناگسترده چند مقداری بررسی می کنیم. به ویژه اندازه ی نافشردگی را تعریف می کنیم و با استفاده از آن وجود نقطه ی ثابت را برای نگاشت های ناگسترده ثابت می کنیم. هم چنین ثابت می کنیم فضای باناخ دارای شرط... خاصیت نقطه ی ثابت چند مقداری ضعیف دارد و سه شرط هم ارز: پیمانه ی نامتناهی بعد جهانی ضرایب نزدیک به محدب یکنواخت و پیمانه اپیال ساختار نرمال یکنواخت ضعیف را برای فضای باناخ نتیجه می دهد این شرایط هم ارز خاصیت نقطه ی ثابت را برای نگاشت های ناگسترده چند مقداری نتیجه می دهد. به علاوه فضای باناخ دارای خاصیت.. که شرطی ضعیف تر از شرط ..را داراست خاصیت نقطه ی هم ارز خاصیت نقطه ی ثابت را برای نگاشت های ناگسترده چند مقداری نتیجه می دهد. به علاوه فضای باناخ دارای خاصیت ..که شرطی ضعیف تر از شرط ..را داراست خاصیت نقطه ی ثابت چند مقداری ضعیف را نتیجه می دهد.

ابتداتابع میانگین را تعریف می کنیم. سپس تابع پیوسته f رادر نظر می گیریم وفرض می کنیم m و n هر دوتابع میانگین باشند، تحت شرایطی تابع f را m n -محدب می گوییم. در حالت خاص، وقتی که هردو میانگین، میانگین حسابی باشند تحدب معمولی خواهیم داشت. دراین پایان نامه شرایط لازم وکافی برای m n -محدب بودن یک تابع را ارائه می دهیم و رابطه بینm n -?محدب ها را بر حسب اینکه m وn میانگین های حسابی، هندسی و یا هارمونیک باشند، بررسی می کنیم. سپس نتایج مشابهی را برای سری های توانی، به خصوص توابع ابر هندسی و انتگرال های بیضوی نوع اول بیان می کنیم. همچنین در این پایان نامه شرایط کافی برای n m –تحدب توابع تعریف شده با سری مکلورن را ارائه می دهیم. محک ها بر اساس ضرایب مکلورن خواهد بود. نتایج منجر به یک رده نامساوی جدید برای چندین تابع خاص، ازقبیل تابع ابر هندسی گاوس ویک تابع بسل تعمیم یافته می شود.