در این پایان نامه منظور از صفحه مطلق عام، فضای وقوعی است که با اصول موضوعه هلموت کارتسل مشخص شده است. واژه ی « عام » به معنای آن است که هیچ فرضی از پیوستگی در نظر گرفته نمی شود. نشان داده می شود که یک هندسه مطلق همواره دارای یک همنهشتی تکین، هذلولوی یا بیضوی است. سپس با این مفاهیم یک توصیف جامع برای حالات مختلف اندازه زاویه چهارم یک چهارگوش لامبرت-ساکری آورده می شود. به ویژه قضایای اول و دوم لژاندر به یک هندسه مطلق عام توسیع داده می شوند و یک اثبات مستقل از اصل ارشمیدس برای آن ها آورده می شود. در پایان چندین قضیه معادل برقراری اصل پنجم اقلیدس با استفاده از مثلث ها و چهارگوش های لامبرت-ساکری و با به کارگیری متر تعریف شده در صفحه مطلق خواهیم آورد.

در این پایان نامه ابتدا به بررسی خواص صفحات مطلق با رهیافت اصل موضوعی می پردازیم. سپس زیر گروه ویژه ای از خود ریختی های آن به نام حرکت ها را معرفی کرده و مجموعه ی حرکت های سره را مورد مطالعه قرار می دهیم. در ادامه به هر صفحه ی مطلق مانند یک گروه مرتب جابجایی نظیر می شود که w,+ یک زیر گروه از k- لوپ (e, +) نظیر صفحه ی مطلق است. به کمک رابطه ی ترتبیب روی صفحه ی مطلق مفاهیمی چون نیم خط، زاویه، اندازه ی زاویه و مجموع اندازه ی زاویه ها تعریف خواهند شد. همچنین یک گروه مرتب دوری جابه جایی مانند(e,c) به دست می آید که (e10) یکریخت با گروه دوران های با یک نقطه ی ثابت است. به کمک ( w,+,<) و e10 به ترتیب مفهوم فاصله ی x برای توصیف هم نهشتی با ویژگی مثلث و مفهوم اندازه ی µ برای زاویه ها تعریف می شود که هم نهشتی و ترویج زاویه ها به کمک آن توصیف می شود. در پایان نتیجه می گیریم مجموعه ی حرکت های سره را می توان به صورت حاصل ضرب شبه مستقیم نشان داد .

مفهوم شبه دامنه اولین بار توسط کارتسل در سال 1946 به منظور توصیف گروه های اکیدا دو متعددی معرفی شد. تمایز اصلی شبه دامنه از ساختار جبری موسوم به شبه میدان ساختار جمعی آن است که لزوما شرکت پذیر نیست. به عبارت دیگر یک شبه دامنه با جمع شرکت پذیر شبه میدان است اما تا کنون مثالی از شبه دامنه های سره یافت نشده است. در این پایان نامه با در نظر گرفتن یک کلاس خاص از گروه های فروینیوس که تعمیم کلاسی از گروه های اکیدا دو-متعدی هستند روش ساختن شبه دامنه به قسمی تعمیم داده می شود که منجر به ساختار یک k- لوپ گردد. خودریختی مناسب می باشد. نتیجه ی اساسی به دست آمده از این دیدگه اثبات وجود مثالی هایی است که امید می رود پرتو نوری بر حل مساله ی همچنان باز وجود شبه دامنه های سرد بیفکند. ?

فرض کنیم یک صفحه مطلفق باشد. در این پایان نامه ابتدا بررسی خواص صفحات مطلق با رهیافت اصل موضوعی می پردازیم. سپس زیرگروه ویژه ای از خودریختی های آن به نام حرکت ها را معرفی و با استفاده از آن ها صفحات مطلق را به دو گروه منفرد و عادی تقسیم بندی می کنیم. سرانجام، p، مجموعه ی نقاط صفحه را به یک عمل دوتایی + مجهز می کنیم و نشان می دهیم (+,p) ساختار جبری ویژه ای موسوم به k- لوپ است. در ادامه بحث مفاهیمی چون نیم خط، زاویه، جمع زاویه ها، گروه دوران مرتب دایره ای و جهت مثلث ها را با توجه به ترتیب موجودی روی صفحه مطرح می کنیم. همچنین مفهوم اندازه برای یک زاویه و دوران حول یک نقطه را تعریف می کنیم؛ به ویژه دو حالت منفرد و عادی، اندازه ی مجموع زاویه های داخلی یک مثلث را مورد مطالعه قرار می دهیم. در پایان، بعد از تعریف تابع کاستی صفحه ی مطلق، برای رده خاصی از مثلث ها، ارتباط کاستی صفحه را با ساختار k- لوپ وابسته ی صفحه بررسی خواهیم کرد.

در این رساله، ‏‎‎بعد از یک مرور تاریخی بر هندسه ی نااقلیدسی، به یادآوری بنداشت های هیلبرت برای صفحه ی اقلیدسی می پردازیم. سپس، صفحات مطلق با رهیافت کارتسل یادآوری می شوند. صفحات مطلق عام، یعنی صفحات مطلق ناپیوسته و غیرارشمیدسی، به روش های گوناگونی رده بندی شده اند‎. در این رساله با معرفی مفهوم ‎ ‎ شبه-انتها یک رده بندی دیگر برای صفحات مطلق عام ارائه می کنیم. ‎یک شبه-انتها عبارتست از یک بافه از خطوط که دو به دو نقطه ی اشتراک و عمود مشترک نداشته باشند. اگر ? عدد اصلی تمام شبه-انتهاهایی باشد که یک خط مفروض در آن ها وجود دارد، در این صورت ‎? برای تمام خطوط برابر است و در نتیجه هر صفحه ی مطلق ?، دارای یک عدد اصلی منحصربه فرد ? است که می توان برای رده بندی صفحات مطلق به کار برده شود. برای حالت ? ? 0 همواره .? ? 2 به ویژه حالت ? = 2 را صفحات شبه-هذلولوی می نامیم و نشان خواهیم داد که صفحات هذلولوی، به ویژه مدل بلترامی-کلاین در این رده قرار می گیرند. ‏مفاهیم k-لوپ و جایروگروه معرفی می شوند. سپس با معرفی فضاهای جایروبرداری‏، رهیافت فضای جایروبرداری آبراهام اونگار معرفی می شود. فضاهای جایروبرداری در هندسه ی هذلولوی دقیقاً همان نقش فضاهای برداری را در هندسه ی اقلیدسی بازی می کنند. ‎‎هندسه ی هذلولوی کلاسیک (یعنی با در نظر گرفتن بنداشت پیوستگی) و چهار مدل معروف آن، مدل بلترامی-کلاین، مدل های پوانکاره و مدل لورنتس ارائه خواهند شد و نشان می دهیم که همه ی این مدل ها با هم یکرخت هستند. ‎‏ثابت‎ می شود که تمام مدل های این هندسه یکریخت‎ هستند.‎‎ آبراهام اونگار مفهوم جایرومساحت را بر اساس کاستی تعریف کرده است. اما با این رهیافت مساحت ویژگی جمع پذیری ندارد. رهیافت دیگر برای مساحت بر اساس ایده های کارتسل بر اساس کاستی قابل بیان است. در این رساله بر اساس رهیافت کارتسل‏، مدل بلترامی-کلاین را به صورت تحلیلی روی دیسک باز واحد از اعداد مختلط بیان کرده و به ویژه فرمولی برای بازتاب نقطه ای و جمع نسبیتی اینشتین به روش هندسی به دست می آوریم‎. همچنین با ترکیب رهیافت های اونگار و کارتسل یک ‏روش دقیق برای کاستی و مساحت در مدل بلترامی-کلاین خواهیم آورد. با توجه به ویژگی کاستی‏، با این رهیافت مساحت خاصیت جمع پذیری دارد. در ادامه با به کار بردن یکریختی بین میدان های مرتب (r,+,.) و ((-1,1),?,?) به مثلثات در مدل بلترامی-کلاین می پردازیم که به طور کامل شبیه مثلثات در هندسه ی اقلیدسی است. در پایان برخی کاربردهای هندسه ی هذلولوی را در نظریه ی نسبیت خاص اینشتین بیان می کنیم.

رویه ی m در e3 را رویه وین گارتن گوییم هرگاه رابطه ژاکوبین بین انحنای گاوسی آن k و انحنای متوسط آن h برابر صفر باشد. هرگاه اعداد حقیقی a,b,c که هر سه همزمان صفر نیستند انحنای گاوسی k و انحنای متوسط h از رویه در رابطه خطی ak+bh = c صدق کند آنگاه m را رویه خطی وین گارتن نامیم. رویه های فوق الذکر را به ترتیب با w-رویه و lw-رویه نشان میدهیم. اگر دومین فرم اساسی رویه m در e3 ناتباهیده باشد، آنگاه دومین فرم اساسی روی m یک متر ریمانی جدید القا میکند که برای متر جدید خمینه ریمانی (m,ii) بدست می آید. میتوان برای این خمینه ریمانی، انحنای گاوسی و انحنای متوسط جدیدی بدست آورد.این انحناها را به ترتیب دومین انحنای گاوسی kii و دومین انحنای متوسط hii رویه مینامیم. در این پایان نامه ابتدا فرمول کلی انحنای گاوسی، انحنای متوسط، دومین انحنای گاوسی، دومین انحنای متوسط رویه ها در e3 را بدست می آوریم. سپس برای نوع خاصی از رویه ها در e3 به نام رویه لوله ای نیز انحنای گاوسی،انحنای متوسط، دومین انحنای گاوسی، دومین انحنای متوسط محاسبه کرده و به مطالعه انواع w-رویه های لوله ای و lw-رویه های لوله ای در e3 می پردازیم. همچنین نوع خاص دیگری از رویه ها در e3 به نام رویه درجه دو را معرفی کرده و در پایان انواع w-رویه های درجه دو در e3 را مطالعه می کنیم.

گراف ?‎ را یک گراف دو-کیلی روی گروه ‎ gگوییم هرگاه زیرگروهی از ‎ aut(?)‎ یکریخت با ‎g‎ وجود داشته باشد که روی مجموعه ی رئوس ‎ ?به طور نیمه منظم عمل کند و دارای 2 مدار هم اندازه باشد. هر گراف دو-کیلی را می توان به صورت زیر نیز توصیف کرد: فرض کنید ‎$t$‎، ‎$s$‎، و ‎$r$‎ زیر مجموعه هایی از گروه ‎$ g $‎ باشند به طوری که ‎$ s^{-1}=s $‎ و ‎$ r^{-1}=r $‎ و ‎$ rcup s $‎ شامل عضو همانی ‎$ g $‎ نباشد، گراف ‎$ { m bicay} (g;r,s,t)$‎ به صورت زیر تعریف می شود. مجموعه رئوس آن ‎$ g imes {0,1} $‎ است و دو راس ‎$ (h,i) $‎ و ‎$(g,j),$‎ مجاورند اگر و تنها اگر یکی از سه حالت زیر رخ دهد ‎$ (1)$ $i=j=0$‎ ، ‎$gh^{-1}in r $‎ ‎$ (2)$ $ i=j=1$‎، ‎$gh^{-1}in s $‎ ‎$ (3)$ $ i=0,j=1 $‎، ‎$ gh^{-1}in t $‎. ‎‎ تعریف فوق بیان می کند هر گراف دو-کیلی ‎$ { m bicay} (g;r,s,t) $‎ شامل دو گراف کیلی ‎$ { m cay} (g,r) $‎ و ‎$ { m cay} (g,ُُُs) $‎ است به طوری که گراف های کیلی ‎$ { m cay} (g,r) $‎ و ‎$ { m cay} (g,s) $‎ بدون طوقه و غیرجهت دار هستند. برخی از محققین مجموعه های ‎$r$‎ و ‎$s$‎ را مجموعه های تهی درنظر می گیرند. این گراف را با ‎${ m bcay}(g,t)$‎ نشان می دهیم. از این رو ‎${ m bcay} (g,t)={ m bicay} (g;emptyset‎ ‎,emptyset,t)$.‎ بنابراین گراف دو-کیلی ‎${ m bcay}(g,t)$‎ از گروه ‎$g$‎ نسبت به مجموعه ی ‎$t$‎ یک گراف با مجموعه ی رئوس ‎$g imes{0‎, ‎1}$‎ و مجموعه یال های ‎$ lbrace {(x‎, ‎0),(tx‎, ‎1)} mid x in g‎, ‎ t in t brace$‎ است. این گراف یک گراف دوبخشی با دوبخشی سازی ‎$(g imes{0}‎, ‎g imes{1})$‎ است. گراف دو-کیلی ‎${ m‎ ‎bcay}(g,‎ ‎s)$‎ را یک گراف ‎${ m bci}$‎ یکریخت دو-کیلی، می نامیم، هرگاه به ازای هر گراف دو-کیلی ‎${ m bcay}(g‎, ‎t) $‎ که ‎$ { m‎ ‎bcay}(g,‎ ‎s) cong{ m‎ ‎bcay}(g,‎ ‎t) $‎ اعضای ‎$gin g$‎ و ‎$alphain { m aut} (g)$‎ وجود داشته باشند که ‎$t=gs^{alpha}$‎. فرض کنید ‎$m$‎ یک عدد صحیح مثبت باشد. گروه ‎$g$‎ را ‎$ { m bci}mbox{-}m$‎ گروه می نامیم، هرگاه همه ی گراف های دو-کیلی با ظرفیت حداکثر ‎$m$‎، یعنی ‎$vert s vertleq m$‎، گراف ‎${ m bci}$‎ باشند. %برای گروه متناهی ‎$g$‎ و زیر مجموعه ی ‎$s$‎ از ‎$g$‎ به طوری که ‎$ 1 otin s $‎ نباشد، %گراف کیلی جهت دار‎ $x=cay(g,s)$‎ ، ‎$g$‎ نسبت به ‎$s$‎ گرافی است با مجموعه رئوس ‎$g$‎ و مجموعه کمان های % ‎$$arc(x)=lbrace (x,sx)vert xin g vert‎ ,‎sin s brace$$‎ فرض کنید ‎n‎ یک عدد صحیح باشد. یک گراف ‎? که یک جورسازی کامل را داشته باشد را ‎n‎ توسعه پذیر می نامیم هرگاه دارای حداقل ?(2n+2) راس باشد، و هر جورسازی با اندازه ی ‎n‎ را بتوان به یک جورسازی کامل از ‎? ‎ گسترش داد. توسعه پذیری ‎ (?) ‎ برابر ماکسیمم عدد صحیح ‎n‎ است که ?‎، ‎ n‎توسعه پذیر باشد‎.‎ در این پایان نامه برخی خواص اساسی گراف ها ی دو-کیلی را بررسی می کنیم. گروه های ‎${ m bci}mbox{-}3$‎ را مطالعه می کنیم و هم چنین نشان می دهیم تنها گروه ناآبلی ساده و ‎$ mbox{-}{ m‎ ‎bci}mbox{-}3$‎ گروه ‎$a_5$‎ است. علاوه بر آن توسعه پذیری گراف ها ی دو-کیلی روی گروه آبلی متناهی را بررسی می کنیم، بویژه ‎$2$-‎توسعه پذیری و ‎$3$-‎توسعه پذیری گراف ها ی دو-کیلی از گروه های آبلی متناهی را توصیف می کنیم. مقاله های زیر منابع اصلی این پایان نامه هستند. کلمات کلیدی: عمل منظم و نیمه منظم، گراف کیلی، گراف دو-کیلی، جورسازی کامل، توسعه پذیری.

قضیه استوکس روی خمینه ها بیان می کند که انتگرال یک k-فرم دیفرانسیل روی مرز خمینه فشرده جهتدار و دیفرانسیل پذیر m برابر با انتگرال مشتق خارجی آن k-فرم روی خمینه است. از نکات مورد توجه دراین قضیه این است که خمینه m باید جهتدار بوده و فرم دیفرانسیل مربوطه دارای تکیه گاه فشرده باشد. هم چنین مرز خمینه دارای جهت مرزی القا شده از m است. جهت خمینه m توسط یک فرم دیفرانسیل ناصفر تعیین می گردد. هم چنین خمینه m جهت پذیر است اگر و تنها اگر دارای یک اطلس جهتدار باشد. در حقیقیت یک جهت روی خمینه مرزدار m به طور طبیعی یک جهت روی مرز m القا می کند. مفهوم مرز یک خمینه بااستفاده از نیم فضای بالایی تعریف میشود. یکی از جدیدترین رویکردها در اثبات قضیه استوکس رهیافت کورزویل-هنستوک است. برای این کار از روش انتگرال گیری کورزویل-هنستوک برای انتگرال گیری روی خمینه هااستفاده میگردد. تعریف این نوع انتگرال با استفاده از مفهوم افرازهای واحد و تقسیمات دلتا-متناهی هنستوک انجام می شود. انتگرال کورزویل-هنستوک هم ارز با انتگرال لبگ روی فضای اقلیدسی است.

یکی از ابزارهای کاربردی برای حل دستگاه های معادلات چندجمله ای در هندسه ی جبری محاسباتی مفهومی به نام منتج است. از جبرخطی می دانیم که یک دستگاه شامل ‎‎n‎‎‎‎‎‎‏ معادله ی خطی ‎n‎‎‎‎‎‏ مجهولی جواب غیربدیهی دارد اگر و تنها اگر دترمینان ماتریس ضرایب آن صفر باشد. در واقع‏، منتج تعمیم دترمینان برای چندجمله ای های غیرخطی است. برای دو چندجمله ای تک متغیره‏، یک ماتریس بر حسب ضرایب آن ها معرفی می کنیم که دارای دترمینان صفر است اگر و تنها اگر این چندجمله ای ها جواب داشته باشند (دترمینان این ماتریس را منتج دستگاه می نامیم). سپس با تعمیم این روش‏، محکی ارائه می کنیم که آیا دستگاهی همگن شامل ‎n+1‎‎‎‎‎‎‏ معادله ی ‎n+1‎‎‎‎‎‏ مجهولی جواب نابدیهی دارد یا خیر. در ادامه‏، با معرفی روش زیرمنتج‏، به حل و بررسی دستگاه های معادلات چندجمله ای صفربعدی (دستگاه هایی با تعداد جواب های متناهی) می پردازیم. برای این منظور‏، مجموعه ای از چندجمله ای ها را به دست می آوریم که ایده آل آفین دستگاه متناظر را تولید می کنند و جواب های این دستگاه جدید همان جواب های دستگاه داده شده است با این تفاوت که به راحتی می توان این دستگاه جدید را حل کرد.