در این رساله مفهوم مدل برای یک فضای توپولوژیک مانند شبه تقریب و شبه یکنواختی و فضای پیوستگی معرفی می شوند. در ادامه شرایط لازم و کافی برای وجود مدل و چگونگی ارتباط آن با ساختارهای توپولوژیک فوق ارایه می شود و در انتها ثابت می شود که فضاهای متریک پذیر کامل دارای مدل می باشند.

در این پایان نامه مسیله محاسبه گروههای هموتوپی گویای فضاهای g/h را که g یک گروه لی ساده همبند فشرده و h زیر گروه بسته همبند g است مورد بررسی قرار می دهیم. به عنوان یک نتیجه مهم فرمول کاملی برای گروههای هموتوپی گویا در حالتی که h زیر گروه نقطه ثابت از یک خودریختی مرتبه متناهی g باشد بیان می کنیم. چنین فضاهایی را فضاهای متقارن تعمیم یافته می نامیم. مرجع اصلی ما در این پایان نامه مقاله زیر است : s.terzic "rational homotopy of generalized symmetric spaces" mathematische zeitschrift, 2003

در این پایان نامه یک کامل سازی یوندای تعمیم یافته بر حسب تورها بدست آمده است و نشان داده شده است که این کامل سازی در حالت کلی، بسنده ی دنباله ای نیست پاسخی برای پرسش بونسانگ و بروگل درباره ی رده ی فضاهایی که کامل سازی یوندا روی آنها خودتوان است ارایه گردیده است و مشاهده شده است که بزرگ ترین رده از فضاهای شبه متریکی که کامل سازی یوندا روی آنها خود توان است از فضاهای شبه متریک اسمیت کامل شدنی تشکیل می شود. کامل سازی یوندا و کامل سازی اسمیت روی این رده که شامل فضاهای کلا کراندار نیز می باشد به کامل سازی مضاعف تبدیل می شود. همچنین نشان داده شده است که هر دو نوع کامل سازی یوندا و اسمیت، کلا کراندار بودن تو فشردگی را نسبت به توپولوژی متقارن وابسته حفظ می کنند. این مطلب که هر دو نوع کامل سازی اسمیت و یوندا در مورد نظریه ی فضاهای کلا کراندار یکسان هستند. بیان می کند که این نظریه با دشواری خاصی همراه نیست و احتمال مطرح شدن بحث های پیچیده نسبت به فضاهایی که این دو نوع کامل سازی روی آنها یکسان نیستند کمتر است. نتایجی که توسط کامل سازی یوندا و کامل سازی اسمیت روی رده ی فضاهای کلا کراندار بدست آمده است یکسان است و می توان آنها را به عنوان گسترش جایگزین کامل سازی مضاعف برای فضاهای غیر اسمیت کامل شدنی در نظر گرفت. مشاهده خواهیم کرد که در حالت کلی، کامل سازی یوندا خودتوان نیست. با وجود این مطلب، ویژگی های توپولوژیکی پیش فشردگی و فشردگی توسط کامل سازی یوندا و کامل سازی اسمیت حفظ می شود. البته نباید انتظار داشت که هر ویژگی که برای یک کامل سازی کلاسیک مانند کامل سازی مضاعف برقرار است توسط کامل سازی یوندا یا کامل سازی اسمیت نیز حفظ شود. این موضوع با مثال نقضی برای ویژگی پیش فشردگی موروثی نشان داده شده است.

با استفاده از تعریف کلاف جتی مکانیک کلاسیک وابسته به زمان ، نشان می دهیم که برخی اجزاء هندسی ساختار لاگرانژین وابسته به زمان و ساختار همیلتونین ، همچون تابع انرژی لاگرانژی در ساختار لاگرانژین و خود ساختار همیلتونین ، به التصاقی که روی کلاف قرار می دهیم وابسته اند . همچنین ثابت خواهیم کرد که این دو ساختار از نقطه نظر دینامیکی مستقل از انتخاب می باشند.

مکانیک کوانتمی و نسبیت عام مهمترین دستاوردهای بشر در فیزیک اند. اولی با دستگاههایی سروکار دارد که ابعاد اتمی دارند و دومی ساختار جهان در مقیاسهای بزرگ را بررسی می کند. اما تاکنون نظریه ای که هم در ابعاد کوچک معتبر باشد و هم در ابعاد بزرگ ، به وجود نیامده است ، چنین نظریه ای را قاعدتا" باید "گرانی کوانتمی" بنامیم . برای ساختن نظریه گرانی کوانتمی کوششهای زیادی شده است ولی به نظر نمی رسد که این کار چندان ساده باشد. هدف از متن حاضر، بررسی اجمالی طرحهایی است که برای گرانی کوانتمی داده شده است . ابتدا در فصل اول به طور مختصر به نسبیت و مکانیک کوانتومی اشاره می کنیم .در فصل دوم، به طور توصیفی پیشنهادهایی را که برای نظریه گرانی کوانتمی داده شده است بررسی می کنیم . این پیشنهادها کم و بیش قالبهایی سنتی دارند، یعنی سعی شده است بااصلاح نظریه های پیشین نتایجی بدست آید. در فصلهای سوم و چهارم دیدگاههایی جدیدتر اتخاذ شده است و دقیقا" به همین دلیل هنوز این دیدگاهها به پیشرفت قابل ملاحظه ای نایل نشده اند . در فصل سوم، فضا - زمان را یک " مجموعه علی " می گیریم - یک نوع مجموعه جزئا"مرتب - که خمینه های هموار تقریبی از آن اند و کوشش می کنیم تا خواص این خمینه ها را از مجموعه علی اولیه استخراج کنیم . در فصل چهارم که آخرین فصل است ، بر روی مشبکه تمام توپولوژیها بر روی مجموعه ای چون x یک نظریه کوانتمی بنا می کنیم. هدف از این فصل آن است که ببینیم با در نظر گرفتن حالتهای کلی تر، که در نهایت نسبیت عام را شامل شوند، تاچه حد می توان ایده های مکانیک کوانتمی را به کار برد.

در این پایان نامه ارتباط نزدیکی بین خاصیت میانگین پذیری یک نمایش یکانی (پی) از یک گروه ‏‎g‎‏خاصیت تمرکز دستگاه دینامیکی متناظر با آن یعنی ‏‎(s , g)‎‏ برقرار می کنیم که در آن ‏‎s‎‏(پی) کره واحد در فضای نمایش هیلبرت می باشد.ثابت می کنیم که (پی) میانگین پذیر است . اگر و فقط اگر یا (پی) شامل یک زیر نمایش با بعد متناهی باشد یا فشرده سازی یکنواخت ماکسیمال از ‏‎s‎‏(پی) شامل یک ‏‎g‎‏- نقطه ثابت باشد.این معادل با این است که ‏‎‏‎-g‎‏ فضای ‏‎(s ,g)‎‏ خاصیت تمرکز دارد.به عنوان یک نتیجه میانگین پذیری (پی) با وجود یک میانگین ‏‎-g‎‏ پایا بر توابع بطور یکنواخت پیوسته و کراندار بر ‏‎s‎‏(پی) معادل است.به عنوان نتیجه دیگر یک گروه موضعا فشرده ‏‎g‎‏ میانگین پذیر است اگر و تنها اگر برای هر نمایش یکانی قویا پیوسته از ‏‎g‎‏در یک فضای هیلبرت با بعد نامتناهی ‏‎h‎‏ دستگاه دینامیکی ‏‎(s,g)‎‏ خاصیت تمرکز داشته باشد.در فصل هفت چند نتیجه دینامیکی بیان و اثبات می کنیم.

در این رساله فضاهای توپولوژیک همبندی را مطالعه می کنیم که با حذف هر یک از نقاط آن زیرفضایی ناهمبند بر جای می ماند. چنین فضاهایی را فضاهای نقاط برشی نامیده ایم. پس از مقدمه (فصل اول)، در فصل دوم نشان داده ایم که چنین فضاهایی دارای بینهایت نقطه بسته و همچنین فضاهایی نافشرده اند. علاوه بر این، یک مشخص سازی برای خط خالیمسکی بر حسب فضاهای برشی ارائه شده است. در فصل سوم کوشیده ایم تا از فضاهای نقاط برشی و به کمک روشهای ساخت فضاهای توپولوژیک، به فضاهای نقاط برشی جدیدی دست پیدا کنیم. در فصل چهارم فضاهای نقاط برشی ای را که ساختارهای توپولوژیک یا جبری خاصی دارند (مثلا متریکپذیر، دارای توپولوژی ترتیبی یا گروه توپولوژیک اند) بررسی کرده ایم. تعدادی از قضایای این فصل با بیانی دیگر قبلا در سایر مراجع ظاهر شده اند. در فصل پنجم به طور مختصر درباره بعد پوششی فضاهای نقاط برشی بحث شده است.