مدل های مارکوف پنهان، مدل هایی هستند که در آن ها توزیعی که مشاهدات را تولید می کند به حالاتی از یک فرآیند مارکوف غیر قابل مشاهده بستگی دارد. به همین دلیل، آن ها را مدل های مارکوف پنهان نامیده اند. اغلب، در سری های زمانی مالی با پدیده بی ثباتی واریانس روبرو هستیم. بیشتر محققان، از مدل های اتورگرسیو ناهمگن شرطی تعمیم یافته(garch)، به منظور پیش بینی تغییرپذیری برای زمان های آتی استفاده می کنند. چنین مدل هایی معمولا برازش به نسبت بهتری در مقایسه با مدل های با واریانس ثابت به دست می دهند. اما اغلب نمی توان پیش بینی های موجه و قابل قبولی به وسیله این مدل ها به دست آورد. می توان دلیل عمده این موضوع را وجود تغییرات ناگهانی در پیش بینی با این مدل ها دانست. اخیرا با استفاده از مدل های مارکوف پنهان در ساختار این سری ها، مدل کاراتر مارکوف واریانس تبدلی، به عنوان شیوه ای دیگر برای بررسی اثرات garch در داده های اقتصادی به کار می رود. رفتار واریانس غیر شرطی، تفاوت اصلی میان مدل arch با ناهم واریانسی شرطی و مدل مارکوف واریانس تبدلی می باشد. در این پایان نامه، داده های نرخ رشد واقعی تولید ناخالص داخلی (gdp)ایالت متحده آمریکا را در نظر گرفته و نشان می دهیم مدل مارکوف واریانس تبدلی، برازش بهتری نسبت به مدل garch به دست می دهد. برای این کار، ابتدا مدل اتورگرسیو(ar) با خطاهای garch را به داده ها برازش داده و نتایج را با مدل مارکوف واریانس تبدلی مقایسه می کنیم. نتایج به دست آمده از برازش مدل ar با خطاهای garch نشان می دهد فرض صفر عدم همبستگی بین مربعات باقیمانده های استاندارد شده، در سطح معنی داری 0/05 پذیرفته شده و می توان نتیجه گرفت بین مربعات باقیمانده های استاندارد شده، همبستگی وجود ندارد در حالیکه فرض صفر نرمال بودن باقیمانده های استاندارد شده در سطح معنی داری 0/05 رد می شود. از طرف دیگر، مدل مارکوف واریانس تبدلی برازش داده شده به داده ها نشان می دهد که هر دو فرض صفر عدم همبستگی بین مربعات باقیمانده های استاندارد شده و فرض صفر نرمال بودن باقیمانده های استاندارد شده در سطح معنی داری 0/05 پذیرفته می شوند. مقایسه دو مدل نشان می دهد که باقیمانده های استاندارد شده مدل مارکوف واریانس تبدلی از توزیع نرمال پیروی می کنند درحالیکه باقیمانده های استاندارد شده مدل garch از توزیع نرمال تبعیت نمی کنند و این برتری مدل مارکوف واریانس تبدلی را نسبت به مدل garch نشان می دهد.

در این پایان نامه‏، توزیع گامای تعمیم یافته که یک توزیع انعطاف پذیر در علم آمار می باشد و همچنین توزیع های نمایی‏، گاما و وایبل به عنوان زیر خانواده های این توزیع و توزیع لگ نرمال به عنوان توزیع حدی معرفی شده است. گشتاورهای لگاریتمی و توانی برای این خانواده تعریف شده است‏، سپس با استفاده از این ویژگی ها یک روش برآورد گشتاوری جدید برای پارامترهای خانواده ‎گامای‎ تعمیم یافته ارائه شده ‎‎‎است‏، همچنین نمایشی از آنتروپی برای ‎‎توزیع‎ گامای تعمیم یافته و زیرخانواده هایش مورد مطالعه قرار گرفته است. در مجموع‏، اندازه های اطلاع که شامل نسبت لگاریتم درستنمایی‏، ‎معیار اطلاع آکائیک‏، معیار اطلاع بیزی‏،‎ تشخیص اطلاع بین ‎توزیع گامای تعمیم یافته و زیرخانواده هایش‏، تابع مینیمم تشخیص اطلاع‏، تبدیل توانی اطلاع و شاخص ماکسیمم آنتروپی مورد بررسی قرار داده شده است. استنباط بیزی برای برازش مدل ‎توزیع‎ گامای تعمیم یافته به هیستوگرام با استفاده از روش نیم‏ پارامتری که به عنوان ماکسیمم آنتروپی دیریکله در نظر گرفته شده‏، ارائه می گردد. در پایان اندازه های اطلاع ‎ ‎توزیع‎ گامای تعمیم یافته برای داده های طول مدت بیکاری و طول مدت دوران تصدی مدیر عاملی مورد استفاده قرار می گیرند.

پدیده خوشه بندی واریانس شرطی در بسیاری از سری های زمانی ‏مالی مشاهده می شود و این پدیده را می توان براساس مدل بندی واریانس و کواریانس شرطی متغیر در زمان تحلیل نمود. ‎‎یکی از اعضای این کلاس مدل خود بازگشتی واریانس شرطی مشاهده نشده ‎‎‎‎(u-arch)‎ ‎‏ است‏، که به وسیله شفارد (1996) معرفی شد. در این مدل مولفه های ‎‎‎‎arch‎‎‏ با خطا مشاهده می شوند و یا ممکن است به عنوان یک فرآیند پنهان دیده شوند. برای برآورد پارامتر های این مدل به روش بیزی با مشکلاتی روبرو هستیم و در حالت پیوسته محاسبه انتگرال های چند گانه بسیار مشکل و وقت گیر است. برای رهایی از این مشکلات با استفاده از روش مونت کارلو به شبیه سازی از این توزیع ها می پردازیم. با استفاده از آزمون ریشه واحد بررسی می کنیم آیا مدل ایستا یا نا ایستا است؟ این آزمون با استفاده از نسبت پسین انجام می شود که از حاصلضرب نسبت پیشین و عامل بیز به دست می آید. وقتی نسبت پیشین برابر با یک باشد عامل بیزی با نسبت پسین برابر است. در پایان با معرفی پیشین آمیخته برای پارامتر مورد آزمون‏، آزمون بیزی ریشه واحد را انجام داده ایم. این آزمون با استفاده از عامل بیز انجام می شود‏. زمانی که لگاریتم عامل بیز بزرگتر مساوی صفر به دست آید‏‏، فرض ریشه واحد پذیرفته می شود.

تغییر پذیری نقشی اساسی در مدیریت ریسک مالی دارد. مدلی که می تواند تغیر پذیری را در سری های زمانی مالی بررسی کند مدل اتورگرسیو ناهمگن شرطی است.‎ مدل‎‎ های اتورگرسیو ناهمگن شرطی تعمیم یافته ابزاری گسترده و ضروری در اقتصاد سنجی مالی محسوب می شوند‏ و تا همین اواخر با روش های ماکزیمم درستنمایی کلاسیک برآورد می شدند. ‎‎‎‏ابتدا‎ کارکرد و نمایی کوتاه از الگوی بیزی را بررسی ‏کرده و در قسمت بعد برآورد های مدل اتو رگرسیو نا همگن شرطی تعمیم یافته با نوآوری نرمال را توضیح داده می شود. ‏برای‎‎ این مدل‏، روش های بیزی و ماکزیمم درستنمایی را بر اساس داده های مالی واقعی مقایسه می کنیم.‎ و ‎‎در آخر کاربرد های مالی برآورد بیزی مدل های اتورگرسیو نا همگن شرطی تعمیم یافته ارائه می شود و ‏‎ نشان می دهیم که چطور جوانب مختلف ریسک می تواند برآورد نقطه ای ارزش در معرض ریسک بهینه را انتخاب کند و ثابت کند که تفاوت های بین افراد در الگوی تنظیم سرمایه مهم است. ازدیدگاه آماری‏، ‎‎ارزش‎ در معرض ریسک ‏چیزی جز یک درصد ارائه شده از توزیع سود و زیان‎‎ ‎‎‎‎تحت کران ثابت‎‏‏، نیست.

یکی از مباحث مهم در آمار‏، برآورد تعداد و مکان نقاط تغییر می باشد. در این راستا‏، مدل بیزی دارای ویژگی های محاسباتی و آماری جالبی است که فرمول های بازگشتی صریح برای برآوردهای بیزی پارامترهای تکه ای ثابت ارائه می دهد.‎ در این پایان نامه‏، یک مدل بیزی برای نقاط تغییر چندگانه‏ در خانواده های نمایی معرفی می شود. سپس با استفاده از روش بیز تجربی‏، پارامترهای مدل مذکور برآورد می شود. علاوه بر این روشی برای آزمون فرضیه ی عدم وجود نقطه ی تغییر معرفی می شود. در پایان‏، برآوردهای بیزی نقاط تغییر در کنترل کیفیت با استفاده از روش مذکور به دست می آید.

یکی از مباحث علم آمار بررسی داده های سری زمانی است. مشاهداتی از داده های مختلف که در طول زمان به دست می آیند، یک سری زمانی را تشکیل می دهند که این سری زمانی می تواند به صورت خطی یا غیرخطی باشد. در دو دهه ی اخیر، شـاهد رشد سریع مدل های سری زمانی غیرخطی بوده ایم. البتـه مدل هـای غیرخطی نیز مدل های ایده آلی نبوده و محدودیت های خاص خود را دارند. مدل مارکوف تبدّلی که توسط همیلتون در سـال 1989 مطرح شد و به مدل تغییر رژیم نیـز شناخته می شود، یکی از مشهورترین مدل های سری زمانی غیرخطی می باشد. این مدل از چندین معادله برای توضیح رفتار متغیرها در رژیم های مختلف استفاده می کند. حالت اصلی مدل مـارکوف تبدّلی که توسط همیلتون مطرح گردید بـرای میانگین متغیـرها می باشد. این حالت و همچنین حالت های دیگر مدل مارکوف تبدّلی به طور گسترده برای بررسی متغیرهای اقتصادی و مالی استفاده شده است. در این پایان نامه هدف، مروری بر مدل های سری های زمانی غیرخطی و معرفی مدل خاصی با عنوان مدل رده-تبدّلی و ذکر مثال هایی از این مدل و کاربردهای آن می باشد. در فصل اول به معرفی مدل های غیرخطی در سری های زمانی می پردازیم و مقدماتی از مدل مارکوف تبدلی را ارائه می دهیم. در فصل دوم روشهای مونت کارلو، زنجیر مارکوف و روش نمونه گیری گیبس را معرفی نموده و استنباط بیزی برای برآورد مدل های غیرخطی سری زمانی را ارائه می نمائیم. همچنین مثال ها و کاربردهایی را ذکر می کنیم. در فصل سوم مدل مارکوف تبدّلی را که می تواند به خوبی سری های زمانی غیرخطی را مدل بندی کند، معرفی می کنیم و با استفاده از روش های نمونه گیری چندحرکتی و تک حرکتی، داده های شبیه سازی شده را تحلیل نموده و مثال ها و کاربردهایی از مدل های تبدلی را ارائه می دهیم. در فصل چهارم مطالب تئوری مورد بحث در این پایان نامه را در عمل به کمک داده های واقعی بررسی می نمائیم.

رکوردها در یک دنباله از مشاهدات مقادیری هستند که از مشاهدات ماقبل خود کوچکتر ویا بزرگتر هستند. شماره ی سریالی که در آن یک رکورد رخ می دهد به زمان رکورد معروف است. مطالعه ی آماری رکوردها نخستین بار توسط چاندلر ‎(1952)‎ آغاز شد. از آن زمان تا کنون مقالات زیادی در این زمینه منتشر شده است و نظریه ی رکورد و آماره های رکورد از جنبه های گونا گون مورد بررسی قرار گرفته است.‎رکوردها در مسائلی مثل آزمون طول عمرقطعات، آزمون مقاومت مصالح ساختمانی، قابلیت اعتماد یک سیستم، کنترل کیفیت ‏و تحقیق در عملیات نقش قابل توجهی دارند. همچنین آنالیز داده های مربوط به هواشناسی زلزله نگاری، مسابقات ورزشی، ژنتیک و... از طریق رکوردها نتایج قابل قبولی را ارائه کرده است و پیش بینی وضعیت آینده را به نحو مطلوب فراهم نموده است