روشهای پیش شرط گذاری که مدت زیادی از به کارگیری آن ها نمی گذرد، بر روی روشهای تکراری برای حل دستگاه های معادلات خطی قابل اجرا هستند. به این صورت که با محاسبه یک پیش شرط گذار برای یک دستگاه معادلات خطی و به کار بردن آن، روش تکراری دارای دقت بالاتر در تعداد تکرار کمتری خواهد بود. در این میان پیش شرط گذارهای تابعی از اهمیت بیشتری برخوردارند زیرا محاسبه یک پیش شرط گذار عمومی، معمولا به راحتی انجام پذیر نیست. در این پایان نامه، ما یک ماتریس پیش شرط گذار جدید معرفی خواهیم کرد که برای حل ماتریس است مورد استفاده قرار می گیرد. ثابت خواهیم کرد با - h دستگاه های خطی که ماتریس ضرایب به شکل استفاده از این ماتریس، روش تکراری گاوس-سایدل، همگرا خواهد بود. سپس با چند مثال عددی معروف نشان خواهیم داد که شعاع طیفی ماتریس تکرار در روش گاوس-سایدل با استفاده از پیش شرط گذار جدید، کمتر از شعاع sor طیفی ماتریس تکرار در دیگر روشهای پیش شرط گذار قبلی و گاوس-سایدل معمولی و همچنین روش است.

امروزه حل دستگاه های معادلات خطی یکی از شاخه های مهم آنالیز عددی است . یکی از روش های حل چنین نوع معادلاتی استفاده از تجزیه ی ماتریس ها است . اما وقتی که ماتریس مورد نظر غیر مربعی بوده یا وارون پذیر نباشد با مشکلاتی رو به رو می شویم . تجزیه مقدار منفرد ، برای کلیه ی ماتریس ها می تواند مورد استفاده قرار گیرد . در این پایان نامه به بررسی تجزیه مقدار منفرد و نیز روابط بین مقادیر منفرد ماتریس های a ، a ، a+b وa+ib می پردازیم . در خاتمه برای اولین بار به بررسی روابط بین مقادیر منفرد ماتریس a+zb با ماتریس های a و b که در آن z عددی مختلط است ، می پردازیم .

روش تکراری استاندارد برای حل مسائل کم ترین مربعات بزرگ و تنک min???b-ax?_2 ?, a?r^(m×n) ، روش cgls است که از نظر ریاضی معادل به کارگیری روش گرادیان مزدوج روی معادله ی نرمال a^t ax= a^t b است. ما روش های جای گزین دیگری را با استفاده از ماتریس b?r^(n×m) و به کارگیری روش کم ترین مانده ی تعمیم یافته (gmres) روی min???b-abz?_2 ? یا min???bb-bax?_2 ? بررسی می کنیم. هم چنین، برای روش های gmres، یک شرط کافی در مورد b ارائه می کنیم تا یک جواب کم ترین مربعات را بدون شکست با b دلخواه به دست دهند. سپس تحلیل همگرایی روش های gmres را ارائه می کنیم. در ادامه، استفاده از روش متعامدسازی گیونز ناکامل(igo) را برای ساختن ماتریس b پیشنهاد می کنیم. سرانجام، با تعدادی آزمایش عددی روی مسائل فرامعیّن، نشان می دهیم که برای مسائل بدحالت، روش های gmres پیش شرط گذاری شده با روش igo سریع تر از روش cgls متناظر، جواب های کم ترین مربعات را به دست می دهند ولی در عمل، مشابه روش دوباره متعامدسازی شده ی cgls پیش شرط گذاری شده با روش igo هستند.

در این پایان نامه ابتدا معادلات انتگرال را معرف یمی کنیم و یک دسته بندی از آنها ارائه می دهیم. در ادامه بحث خود را روی معادلات انتگرال ولترای نوع دوم معطوف می کنیم. پمن معرفی یکح رده خاص از آنها، به نام معادلات انتگرال آبل، به بیان سه روش تحلیلی برای حل آنها می پدازیم. همچنین دو روش جدید، تحت عنوان روش تجزیه لاپلاس دو مرحله ای و روش تجزیه آدومین دو مرحله ای را برای حل مهادلات انتگرال ولترای نوع دوم خطی مور کطالعه قرار می دهیم. در ادامه، این دو روش را برای حل معادلات انتگرال ولترای نوع دوم غیرخطی، به ویژه معادلات انتگرال آبل نوع دوم غیرخطی، تعمیم می دهیم. همچنین به منظور بررسی سادگی و دقیق بودن روش تجزیه لاپلاس دو مرحله ای، مقایسه ای بین روش تجزیه لاپلاس دو مرحله ای و دو روش عددی صورت می گیرد.

یک ریشه یاب تکراری چندجمله ای معمولاً با یک فرآیند محاسبه ی یک تقریب اولیه اما به اندازه کافی نزدیک به ریشه شروع می کند و به سرعت آن را بهبود می بخشد. در واقع بهبود ریشه همان تظریف ریشه است. لازم به ذکر است که یکی از کاربردهای مهم تظریف ریشه، افزایش کارایی ریشه یاب های تکراری چندجمله ای است. از این رو بررسی و محاسبه کارایی ریشه یاب های تکراری چندجمله ای موضوع این پایان نامه است. اما چگونه می توان کارایی را محاسبه کرد؟ در واقع کارایی ریشه یاب های تکراری با توجه به رابطه محاسبه می شود. (q مرتبه همگرایی و d تعداد ارزیابی های تابع در هر تکرار است)، که متناسب با معکوس تعداد فلاپ های به کار رفته است. البته گاهی اوقات کارایی به صورت هم تعریف می شود. برای تقریب یک ریشه واحد یک چندجمله ای از درجه n، حداکثر کارایی پیش بینی شده به صورت است.

چکیده ندارد.