هدف اصلی این پایان نامه بررسی ابرگروه های وابسته به روابط دوتایی و ارتباط این مبحث با مباحث فضاهای الحاقی و ساختارهای بازه ای است. در فصل اول مفاهیم و تعاریف اولیه ای که در سراسر پایان نامه مورد نیاز هستند را بیان می کنیم. ابرگروه های وابسته به روابط دوتایی، منظم بودن این ابرگروه و همچنین ابرگروه های وابسته به روابط دوتایی خاص از قبیل اجتماع، اشتراک و ... در فصل دوم مورد بررسی قرار می گیرند. در فصل سوم به معرفی ابرگراف ها و ابرگروه های وابسته به ابرگراف ها، گراف های همبند و درخت ها خواهیم پرداخت. سرانجام در فصل چهارم گفتاری در باب فضاهای الحاقی و به دست آوردن فضاهای الحاقی از ابرفضاهای برداری خواهیم داشت. همچنین در این فصل با مفهوم ساختار بازه ای آشنا خواهیم شد و تناظری که این مفهوم با مفاهیم مطرح شده در فصل های قبل دارد را تشریح می کنیم.

فرض کنید ‎$r$‎ حلقه‎ ‎ی تعویض‎‎ پذیر,‎ یکدار و ‎$m$‎ یک ‎$r$-‎مدول یکانی است. مدول ‎$m$‎ را مدول ضربی می‎ نامند,‎ هرگاه برای هر زیرمدول ‎$n$‎ از مدول ‎$m$‎ ایده آل ‎$i$‎ از حلقه ی‎ ‎‎‎‎‎‎$r$‎ وجود داشته باشد به طوری که ‎$mi=n$‎. در این پایان‎ ‎نامه برای ‎$r$-‎مدول ضربی ‎$m$‎ حلقه‎ ‎ی ‎$m^{ast}$‎ شامل درون‎ ریختی ‎های ‎$m$‎ بررسی می‎ شود.‎ رابطه بین زیرمدول‎ ‎های اول(ماکسیمال) از مدول ‎$m$‎ با ایده آل‎ ‎های اول(ماکسیمال) از حلقه‎ ‎ی ‎$m^{ast}$‎ بیان می‎ گردد.‎ هم چنین در این پایان‎ ‎نامه دو رده‎ ‎بندی از ایده آل‎ ‎های حلقه‎ ‎ی ‎$m^{ast}$‎ یعنی ایده آل‎ ‎های ‎$g_{m^{ast}}(m,n)$‎ و ‎$g_{m^{ast}}(n,0)$‎ را برای هر زیرمدول ‎$n$‎ از مدول ‎$m$‎ بیان می‎ کنیم.‎ در نهایت نشان می‎ ‎دهیم که ‎$g_{m^{ast}}(m,n)$‎ یک ایده آل راست از حلقه‎ ‎ی ‎$m^{ast}$‎ است در حالی که ‎$g_{m^{ast}}(n,0)$‎ یک ایده آل چپ از حلقه‎ ‎ی ‎${m^ast}$‎ است. ‎‎‎

در این پایان نامه ابتدا گاما-نیم گروه ها و گاما-نیم گروه های n-تایی معرفی می شوند. در ادامه با معرفی مفاهیم گاما-زیرنیم گروه ها و گاما-ایده آل های گوناگون از دو ساختار فوق به بررسی مجموعه های شهودی فازی در این زیر ساختارها می پردازیم. سپس با معرفی نوعی گاما-حلقه ی فازی جدید گاما-اید ه آل ها و گاما-حلقه ی خارج قسمتی این ساختا را مطالعه می کنیم. در پایان ساختار جبری جدیدی به نام گاما-حلقه ی n-تایی که تعمیمی از دو ساختار (n,m)-حلقه و گاما-حلقه است را تعریف می کنیم. گاما-اید ه آل های گوناگون این ساختار را تعریف کرده به بررسی خواص این ساختار می پردازیم.

هدف اصلی این پایان نامه، بررسی مفهوم بعد ابرفضاهای برداری روی میدانها و ابرمیدانها و در باشد. در فصل اول مفاهیم کلیدی و مورد نیاز در این پایان نامه ذکر می شوند. در فصل دوم ضمن ارائه مفهوم ابذفضای برداری روی یک میدان مفروض (با شرط تالینی)، استقلال و وابستگی خطی، پایه، بعد یک ابرفضای برداری و تبدیلات خطی بررسی می گردند. همچنین مفهوم ابرفضای برداری خارج قسمتی و یکریختی ابرفضاهای برداری ارائه و رابطه اساسی روی یک ابرفضای برداری تعریف و برخی از خواص آن مورد بررسی قرار می گیرد. در فصل سوم به جای استفاده از ابرگروه آبلی از پلی گروه آبلی و به جای میدان از ابرمیدان کراسنر استفاده می شود و با تعریف جمع مستقیم دو زیر ابرفضای برداری، بعد آن به دست می آید. سر انجام در فصل چهارم به جای میدان از ابرمیدان کراسنر و به جای گروه آبلی از ابرگروه کانونی n تایی استفاده شده و مفاهیم استقلال و وابستگی خطی، پایه و بعد در این ابرفضا تعمیم می یابد و در پایان با ارائه قضایای یکریختی در مورد دو زیر ابرفضای برداری n تایی، به اثبات این قضایا پرداخته می شود.

در این پایان نامه با استفاده از چند گروه آبلی، ابرگروه هایی ساخته می شود. ارتباط بین همریختی های گروهی این گروه ها با همریختی های ابرگروهی ابرگروه های ساخته شده بررسی می گردد. در ادامه ابرگروه m‎ -پلی متقارن معرفی شده، همریختی های ابرگروهی بین ابرگروه های ‎ -m‎‎پلی متقارن و ابرگروه های ‎ -m‎‎پلی متقارن مونوژن مورد مطالعه قرار می گیرد. در پایان با معرفی پلی گروه ها و پلی گروه های فازی، یکر‎‎یختی فازی و زیرپلی گروه های فازی خارج قسمتی مطالعه و بررسی می شود.

حلقه جابجاییrرایک حلقه تمیز گویند هر گاه هر عضو x ? r را بتوان به صورت مجموع یک عضو یکه و یک عضو خودتوان نوشت. هرگاه هر عضو x ? r را بتوان به طور یکتا به صورت مجموع یک عضو یکه و یک عضو خودتوان نوشت r را یک حلقه ی تمیز یکتا تعریف می کنند. در این پایان نامه ارتباط مفاهیم حلقه های تمیز و یکتای تمیز را با مفاهیم جبر جابجایی نظیر حلقه های شبه موضعی , حلقه های خارج قسمتی , حاصل ضرب مستقیم حلقه ها و ... را بررسی کرده و به بررسی و اثبات قضایایی پرداخته می شود که اهمیت حلقه های تمیز را نشان می دهند . در پایان نیز به معرفی حلقه های تمیز ضعیف , حلقه های تقریبا تمیز و حلقه های r-تمیز و بررسی برخی از ویژگی های انها پرداخته می شود .

در این پایان نامه ضمن تعریف عضوهای تمیز و نیم تمیز از یک حلقه، حلقه های تمیز و نیم تمیز معرفی و با ارائه مثال هایی ارتباط میان این حلقه ها بررسی می شودو نشان داده می شود که مجموعه ی یک حلقه ی تمیز یک زیر مجموعه های سره ازحلقه ی نیم تمیز است. در ادامه ایده آل نیم تمیز به عنوان تعمیمی از حلقه های نیم تمیز معرفی و بررسی می شود. در پایان ارتباط میان حلقه های تمیز-پوچ، نیم تمیز- پوچ،مناسب، نیم مناسب و قوی بررسی می شود.

یکی از مدل های ارائه شده برای کشف دانش از داده های دورگه مدل مجموعه ناهموار است. چندین مدل مجموعه ناهموار فازی و یک مدل مجموعه ناهموار همسایگی در طی سال های اخیر ارائه شده اند. این مدل ها برای پردازش داده های دورگه با اهداف بخصوصی به کار می روند‏، بنابراین انتخاب مدل مناسب از بین مدل های موجود امر مهمی است. در این پایان نامه دانه های اطلاعاتی معرفی و ارتباط بین مدل های موجود برای پردازش دانه های اطلاعاتی دورگه بررسی می شود. تجزیه و تحلیل روابط بین مدل های موجود نشان می دهد که تقریب ناهموار فازی هو حالت خاصی از تقریب ناهموار فازی وانگ و همسایگی است. علاوه بر این تناظر یک به یکی بین تقریب ناهموار همسایگی و فازی وانگ وجود دارد.

‎-r‎ ‎‎ مدول‎ ‎m ‎ یک ‎cs‎ ‎ مدول (یا مدول گسترش یافته) نامیده می شود هرگاه هر زیرمدول ‎ ‎m‎ داخل یک جمعوند از ‎‎m‎‎ اساسی باشد. ‎m‎ پیوسته نامیده می شود هرگاه ‎ ‎m‎‏یک ‎ ‎cs‎ ‎مدول باشد و همچنین هر زیرمدول ‎ ‎m‎‎ که یکریخت با یک جمعوند از ‎ ‎m‎است‏، خودش نیز یک جمعوند از ‎m‎ باشد. ثابت می شود حلقه درون ریختی از یک مدول پیو‎‎سته یک حلقه تبادل می باشد[25]. ‎حلقه r‎ تمیز گفته می شود هرگاه هر عنصر از ‎r را بتوان به صورت حاصل جمع یک یکه و یک خودتوان بیان نمود. کلاس حلقه های تمیز بسیار بزرگ است و برای مثال شامل حلقه های نیمه کامل (حلقه های متناهی)، و حلقه های تبدیلات خطی روی فضاهای برداری است. ثابت می شود که حلقه درون ریختی ها از هر مدول پیوسته تمیز است.