در مرجع [4] پروفسور northcott توانست تناظری یک به یک بین زیرمدولهای اولیه یک مدول و زیرمدولهای اولیه مدول خارج قسمتهای آن برقرار کند. سئوالی که پس از بیان موضوع بالا مطرح می شود این است که آیا می توان تناظری یک به یک بین زیرمدولهای اول یک مدول و زیرمدولهای اول مدول خارج قسمتهای آن برقرار کرد. در سال 1995 پاسخ این سئوالات یافت شد. در این پایان نامه پاسخ این سئوالات به اثبات رسیده است و برای حل سئوالات فوق در مورد مدولها و حلقه های خارج قسمت ها از تعاریف قضایا و اصطلاحات بیان شده و در فصل سوم از مرجع [4] استفاده می نمائیم. در این پایان نامه چند قضیه با حذف آزاد بودن مدولها مطرح و اثبات گردیده است.

مطالب مطرح شده در این پایان نامه در مورد گروههای جایگشتی است و ما نشان می دهیم اگر g یک گروه جایگشتی روی مجموعه با اندازه n باشد و g/g نمایش مرتبه بزرگترین گروه خارج قسمتی آبلی از g باشد آنگاه g/g 1 یا عدد اولی مانند p وجود دارد که p g/g و g/g < pn/p و تساوی زمانی رخ می دهد که g، p -گروه باشد که در این حالت g به صورت حاصلضرب سازه های انتقالی اش است و هر یک از این سازه ها دارای مرتبه p هستند به جز در حالتی که p 2 باشد که در این حالت گروههایی از مرتبه 4 و گروه تقارن از مرتبه 8 و درجه 4 (d8) و گروه extraspecial از مرتبه 32 و درجه 8 هستند. و در قسمت دوم این پایان نامه نشان می دهیم که اگر g را در sn نشانده باشد و h<g آنگاه (h)< (g) همچنین اگر n نرمال در g باشد ممکن است (g/n)> (g) که در این حالت g را گروه استثنایی (cxccptional) می نامیم و در ادامه قضایایی را در مورد گروههای استثنایی ثابت می کنیم.

در این رساله ابتدا تعاریف مقدماتی از گروههای جایگشتی و بعضی تعاریف از نظریه گرافها را ارائه می دهیم و سپس رده بندی زیرمجموعه های -2 شبه پایا را در دو حالت انتقالی و غیرانتقالی بررسی می کنیم. البته قبل از بررسی در حالت انتقالی و غیرانتقالی و قضیه اساسی زیرمجموعه های شبه پایا را بیان می کنیم که جهت بررسی در حالت فوق الذکر نه تنها مفید است بلکه دیدی جهت این تحقیق به ما می دهد.

این پایان نامه در چهار فصل تنظیم شده است: فصل اول، برخی مفاهیم و قضایا در نظریه گروهها.فصل دوم ، کیلی گرافها. فصل سوم ساختن کیلی گرافهای نرمال یال انتقالی از گرافهای خارج قسمتی. فصل چهارم، گرافهای دوری نرمال یال انتقالی

در این پایان نامه خواص گروههای استثنایی مورد تحقیق قرار گرفته است و چند خانواده از گروههای استثنایی ارائه شده اند.