به دلیل اهمیت زیاد ساختارهای جامع، به ویژه ساختار آزاد در این پایان نامه مفهوم آزاد بودن را که در مطالعه رسته های مختلف یک مفهوم مفید است، مورد مطالعه قرار می دهیم. همچنین، ‎-s‎عمل های توپولوژیک آزاد روی مجموعه ها، فضاهای توپولوژیک و ‎-s‎عمل ها بیان و بررسی می شوند.

ساختارهای جبری مرتب در بسیاری از شاخه های علوم نظیر آنالیز، منطق، فیزیک و علوم کامپیوتر نقش به سزایی را ایفا می کند. یکی از مفاهیم مهم در هر ساختار جبری مرتب، کمال است. هدف این پایان نامه، دسته بندی تکواره های مرتب s با استفاده از مفهوم کامل بودن، در رسته ی s- مجموعه های مرتب است. و در پایان کامل سازی s- مجموعه های مرتب که‏، قبلا در [14] برای‎ تکواره های مرتب بیان شده است، به روشی مشابهی‏، ارایه می دهیم. در این پایان نامه s را معمولا تکواره ی مرتب در نظر می گیریم مگر آنکه خلاف آن ذکر شود. یک s- مجموعه ی مرتب، مجموعه ای مرتب است که s روی آن به گونه ای عمل می‎‎ کند که ترتیب را حفظ کند. مفهوم کامل بودن همواره در هر ساختار جبری مرتب مورد توجه بوده است و می توان آنرا به دو روش یکی کامل بودن صرفا بر اساس ترتیب و دیگری علاوه بر ترتیب، پیوستگی عملگر سوپریمم نسبت به عمل ساختار تعریف نمود. در رسته ی s- مجموعه های مرتب نوع اول را کامل و نوع دوم را پیوسته-کامل می نامیم.

در این پایان نامه، ابتدا توصیفی از کیلی گراف های گروه های مستطیلی را ارائه می دهیم و در ادامه کیلی گراف های راس-متعدی گروه های مستطیلی را در نظر می گیریم. نشان می دهیم کیلی گراف ‎cay(s‎, ‎c) اتومورفیسم-راس-متعدی است، اگر ‎s‎ گروه مستطیلی باشد و زیر نیمگروه تولید شده به وسیله ‎c‎ نیمگروهی اورتودکس باشد ‎‎افزون بر این، توصیفی از گراف های راس-متعدی که کیلی گراف هایی از نیمگروه های متناهی هستند ارائه می کنیم و همه نتایج به دست آمده برای کیلی گراف های روی گروهها را در مورد کیلی گراف های روی نیمگروه ها بررسی می کنیم

دراین پایان نامه، تکواره هایی را که هر s-کنش راست دارای یک پوشش یکدستد قوی (شرط(p))است، دسنه بندی می کنیم. مشابه تکواره های کامل، چنین تکواره هایی توسط شرط(a)دسته بندی شده اندودارای پوشش یکدست قوی (شرط (p))برای هر s-کنش راست دوری هستند. همچنین یک دسته بندی جدید برای تکواره های کامل،تکواره هایی که هر s-کنش راست دارای یک پوشش تصویری است، ارائه می دهیم. مطالعه ی اولیه روی تکواره های کامل توسط isbelانجام شده است. او نشان داد که یک تکواره، کامل کامل راست است اگر و تنها اگر در شرط(a) و شرط (d) صدق کندواین برگرفته از این واقعیت است که حلقه های کامل حلقه هایی هستند که هرحدمستقیم از مدول های تصویری، تصویری است . در fountain نشان داده شده است که این ویژگی برای تکواره های کامل نیز برقرار است. به طور معادل،او اثبات ;رد که تکواره ی s کامل راست است اگر و تنها اگر هر s-کنش راست یکدست قوی،تصویری باشد. لذا ثابت می شود برای آنکه تکواره ی s کامل راست باشد کافی است نشان دهیم هر کنش یکدست قوی (دوریِ موضعی) پوشش تصویری دارد . با توجه به پوشش های تصویری برای مدول ها و این واقعیت که در نظریه حلقه ها تصویری، یکدستی را نتیجه می دهد، پوشش های یکدست برای مدول ها به دست آمد ه است. دراین راه با توجه به اینکه در نظریه نیمگروهها ، تصویری به ترتیب یکدست قوی و شرط (p) و یکدستی را نتیجه می دهد به طور همولوژیکی پوشش های یکدست قوی ( شرط(p)) برای s-کنش های راست روی تکواره ها به دست آمده است. برای رسیدن به این هدف، شرط معادلی برای شرط(a)معرفی می شود. به نظر می رسد که تنها خانم دکتر محمودی و آقای دکتر renshaw درباره پوشش های یکدست قوی ( شرط(p))کنش ها، در حالت خاص کنش های دوری مطالعاتی را به انجام رسانده اند.

در این پایان نامه، شرایط تعریف ساختار ابرمختلط روی گروههای لی بررسی می شود. سپس، انواع ساختارهای ابرمختلط ناوردا با متریک هرمیتی که توسط باربریس مطرح شده ارایه می گردد. همچنین ساختارهای ابرمختلط روی برخی گروه های لی (از جمله گروه های لی حل پذیر و پوچتوان) مجهز شده به متریک های هرمیتی و نوردن جداگانه مطالعه می شود. در نهایت، به وجود ساختارهای ابرمختلط روی جبرهای لی وابسته به گروه های لی متناهی بعد پرداخته می شود.

در این پایان نامه، فضای دگردیسی های گروه های لی حل پذیر، همبندوساده مطالعه می شود. هرگاه g یک گروه لی حل پذیر همبند ساده بوده و در عین حال یک ساختار مشبکه داشته باشد، فضای تمام نشاننده های مشبکه ای بتوی g را با نماد ?(?,g)و فضای تمام دگردیسی های g را با نماد d(?,g) نمایش می دهیم. نشان می دهیم که d(-,g)با فضای مداری وابسته به اثر aut(g)روی x(-,g)یکسان است. برخی از قضایای کلاسیک تئوری مشبکه، گروه های لی پوچتوان و حل پذیر تعمیم داده می شود. همچنین، ثابت می شود اگر زیر گروه نرمال حل پذیر ماکسیمال g همبند باشد، آنگاه فضای دگردیسی های مشبکه های زاریسکی-چگال در g متناهی است.