در این رساله n-امین مدول کوهمولوژی موضعی ازr-مدول m در یک زیرکاتگوری سر از کاتگوری r-مدولها از پایین (i<n) و از بالا (i>n)مطالعه می شوند. در حالت کلی عمق و رشته های منظم تعریف می شوند. رابطه آنها با کوهمولوژی موضعی نشان می دهد که مطالعه مدولهای کوهمولوژی موضعی یک r-مدول متناهی مولد از بالا در یک زیرکاتگوری سر از کاتگوری r-مدولها فقط به تکیه گاه مدول بستگی دارد.

مفهوم بعد گرنشتاین که توسط اسلاندر و بریدگر برای مدول های با تولید متناهی روی حلقه های نوتری تعریف شده است، در این پایان نامه برای مدول های با نمایش متناهی روی حلقه های مرتبط مطالعه می شود. همچنین تعمیمی از فرمول اسلاند ر ـ بریدگر ثابت می شود و بعنوان پایه برای توسعه نظریه حلقه های مرتبط گرنشتاین به کار گرفته خواهد شد.

فرض کنید a ,b ایده آلهایی از حلقه نوتری , m ,r- مدولی با تولید متناهی و همچنین a یک r مدول آرتینی باشد brodmann)1979 نشان داد که برای ایده آل i از حلقه r به ازای هر عدد طبیعی n دو دنباله از ایده آلهای اول وابسته برای مدولهای خارج قسمتی خاصی به ازای مقادیر بزرگ n ثابت هستند همچنین shorp)1989دوگان نتیجه فوق را برای مدولهای آرتینی به این صورت نشان داد که هر گاه به ازای مقادیر بزرگ att, ass ,n فانکتور های ext tor با تولید متناهی باشند آنگاه دوگانشان نیز با تولید متناهی خواهد بود همچنین نشان داده ایم که به ازای اعداد صحیح مثبت و ثابت n اثر فانکتر های ext , tor بر مدولهای کوهومولوژی موضعی با تولید متناهی است.

فرض کنیم (r, m)یک حلقه موضعی با بعد کرول n و a ایده آلی از r باشد. دستیابی به نتایجی در صفر شدن و ناصفر شدن مدول های کوهمولوژی موضعی برای هر r-مدول m در جبر جابجایی و هندسه جبری از اهمیت بسزایی برخودار است. با توجه به قضیه صفر شدن گروتندیک به ازای هر i>n , i-امین مدول کوهمولوژی موضعی m نسبت به ایده آل a برابر با صفر است. یک شرط لازم و کافی برای صفر شدن n- امین مدول کوهمولوژی موضعی r نسبت به a در قضیه لیختن باوم- هارت شورن بیان شده است. این مساله اولین بار توسط هارت شورن بیان و اثبات شده است. تعمیمی از این قضیه برای مدول های متناهی مولد نیز وجود دارد. فرض کنیم یک همریختی حلقه ای از حلقه موضعی (r, m) به حلقه s مانند f موجود باشد. r-مدول m را متناهی مولد روی f گوییم هرگاه m یک s-مدول متناهی مولد باشد و توسط f دارای ساختار r- مدولی باشد. در این پایان نامه تعمیمی از قضیه لیختن باوم- هارت شورن برای چنین مدول هایی بیان شده است. همچنین دو تعمیم از قضیه ناصفر شدن گروتندیک و کاربردهایی از این مطالب در بحث همبندی محمل (تکیه گاه)ارایه شده است. در فصل دوم از این پایان نامه تعمیمی از قضیه لیختن باوم- هارت شورن برای مدول های کوهمولوژی تعمیم یافته با استفاده از مفهوم یک دستگاه از ایده آل های حلقه r آورده شده است.

در این پایان نامه خواص حلقه های نوتری شامل پوچسازهای کوهمولوژی موضعی مطالعه خواهد شد و نشان داده خواهد شد که این حلقه ها باید زنجیروار و موضعا هم بعد باشند. همچنین یک شرط لازم و کافی در خصوص این حلقه ها اثبات خواهد شد و نهایتا ثابت می شود که اگر r یک حلقه موضعا هم بعد و تصویر همومورفیکی حلقه کوهن مکالی باشد آنگاه r پوچساز یکنواخت کوهمولوژی موضعی دارد. همچنین حدس هونیکه در مورد حلقه های با بعد نا بیشتر از پنج مورد بررسی قرار میگیرد.

در این پایان نامه رابطه ایده آل کامل و ایده آل های m- کامل را بررسی می کنیم. ملاحظه می شود که هر ایده آل m- کامل، یک ایده آل کامل است. همچنین شرط کافی برای اینکه ایده آل های کامل، ایده آل m- کامل باشند ارائه می شود. همچنین شرایط معادل بودن ایده آل کامل، m- کامل، بطور صحیح بسته، انقباض یافته و نرمال، برای کلاسی از ایده آلهای پارامتری بیان می شود و شرایطی را که تحت آن هر ایده آل پارامتری اساساً کامل، یک ایده آل کامل می شود بیان خواهد شد. بالاخره، در این پایان نامه، بعضی از نتایج روی ایده آل های کامل و بعضی از کلاسهای وابسته به این نوع ایده آل ها در حلقه های منظم موضعی با بعد2 را به حلقه های منظم موضعی با بعد بالاتر توسعه داده می شود. این کلاس از ایده آل ها را با کلاسهایی از ایده آلهای m- کامل، ایده آل های اساساً کامل و ایده آلهای انقباض شده در حلقه منظم موضعی با بعد بالاتر مقایسه می شود.

در این رساله با استفاده از مفهوم a – می نیماکس مدول ها ثابت می کنیم به ازای هر زیرمدول a – می نیماکس n از m))h_a^t مجموعه ی ایده آل های اول وابسته ی n/m))h_a^t متناهی می باشد. فرض کنیم r یک حلقه ی جابه جایی و نوتری و a یک ایده آل از r باشد. همچنین فرض کنیم m یک r – مدول a – می نیماکس و t یک عدد صحیح نامنفی باشند. در این صورت ابتدا نشان می دهیم که برای هر i<t، m))h_a^i مدول a – می نیماکس می باشد و سپس برای هر زیرمدول a – می نیماکس n از مدول m))h_a^t نتیجه می گیریم که r/a ,h_a^t(m)/n ) )?hom?_r، r – مدولی a – می نیماکس است و لذا بعد گلدی مدول n/m))h_a^t متناهی می باشد. با توجه به این امر مجموعه ی ایده آل های اول وابسته مدول n/m))h_a^t متناهی می باشد.

فرض کنید iایده آلی از حلقه ی جابجایی و نوتری r باشد به طوری که ara(i)=t ? 2. هدف از این پایان نامه این است که نشان دهیم دنباله ی منظم –iصافی y1،...، yt از ایده آل i وجود دارد به طوری که rad(i)=rad(y1,…,yt) و به ازای هر 1? i? t، cd((y1,…,yi),r)=i که یک نتیجه ی مهم از کرونکر1 [17] است. بعلاوه، در این پایان نامه نشان می دهیم که برای هر –rمدول باتولید متناهی مانند m و به ازای هر i ? r که r ? 1، اگر hii(m) یک مدول مینیماکس باشد، آنگاه hii(m) یک مدول آرتینی است. همچنین، نشان می دهیم که اگر به ازای هر i ? r، hii(m) یک مدول کواتمیک باشد، آنگاه به ازای هر i ?r ، hii(m) یک مدول باتولیدمتناهی است. بعلاوه، شرایطی را برای یک مدول موضعاً مینیماکس پیدا می کنیم تا یک مدول مینیماکس باشد.

فرض کنیم ‎$( r‎, ‎mathfrak{m}) $‎ حلقه ی موضعی، صوری یکسان بعد و از بعد ‎$ d $‎ باشد. فرض کنیم ‎$ phi $‎ یک دستگاه ایده آلی غیر صفر از ‎$ r $‎ باشد بطوریکه به ازای هر ایده آل اول مینیمال ‎$ mathfrak{p} $‎ از ‎$ r $‎ و هر ‎$ mathfrak{a}in phi $‎، ‎$ mathfrak{a}+mathfrak{p} $‎ ایده آل ‎$ mathfrak{m} $-‎اولیه باشد. در این پایان نامه هدف اصلی این است که نشان دهیم به ازای هر ایده آل ‎$ mathfrak{b} $‎ از ‎$ r $‎، بستار صحیح ‎$ mathfrak{b}^*^{(h_phi^d (r))} $‎ از ‎$ mathfrak{b} $‎ نسبت به ‎$ r $-‎مدول آرتینی ‎$ h_phi^d (r) $‎ برابر است با ‎$ mathfrak{b}_a $‎، بستار صحیح کلاسیک نورثکات-ریس.

فرض کنید (r,m)‎‎ ‎‎‎یک حلقه ی موضعی (نوتری) وi وj ‎ دوایده آل واقعی از‎ ‎r باشند. فرض کنید‎‎ ‎‎m‎‎ ‎یک ‎-r‎‎مدول غیرصفر با تولیدمتناهی باشد. دراین پایان نامه خواص آخرین مدول کوهمولوژی موضعی‎‎‎ ‎‎‎‎h_(i,j)^dim?m (m) ‎بررسی می شود و بعضی نتایج در مورد ایده آل های اول چسبیده ی مدول های کوهمولوژی موضعی ‎‎‎ ‎‎‎‎h_(i,j)^dim?m (m) را به دست می آوریم. به عنوان نتیجه‎‎‎ یک مدول خارج قسمتی مانند ‎ ‎l‎‎‎ از m ‎ را پیدا می کنیم بطوری که‎‎‎h_i^dim?m (l) h_(i,j)^dim?m (m) ? همچنین تعمیمی از قضیه ی صفرشدن لیختنباوم-هارتشورن برای مدول های کوهمولوژی موضعی نسبت به دو ایده آل را بیان و ثابت می کنیم.

فرض کنید r یک حلقه ی نوتری جابجایی‏،‎ i یک ایده آل از r‎ و m یک‎-rمدول باشد.‎‎‏ در این پایان نامه نشان می دهیم که اگر ‎ mیک-r مدول با تولید متناهی باشد و dim??m/im>1 ? و t?gdepth (i,m)، آنگاه r-مدول ‎?{n| n?h_i^t (m),dim??n?1? } i-هم مینیماکس است و xی در r وجود دارد که rx+i-هم متناهی است. فرض کنید t عدد صحیح نامنفی باشد بطوریکه برای هر i<t، dim??h_i^i (m)?1?. در این صورت نشان می دهیم که اگر r حلقه نیم موضعی و m یک مدول لاسکرین ضعیف باشد، آنگاه برای هر زیرمدول n از h_i^t (m) که dim??n?1? ایده آل های اول وابسته از h_i^t (m)/n متناهی است. در نهایت نشان می دهیم که اگر(r,m) یک حلقه ی موضعی و m یک r-مدول با تولید متناهی باشد و همچنین t یک عدد صحیح نامنفی باشد بطوریکه برای هر i<t، dim??h_i^i (m)?1? و dim??h_i^t (m)>1?، آنگاه رشته منظم x_1 ,…,x_t?i روی m موجود است بطوریکه ?ass?_r h_i^t (m){m}??ass?_r (m/(x_1 ,…,x_t )m){m}. بعلاوه اگر p ??ass?_r (m/(x_1 ,…,x_t )m){m} و dim??r/p>1?، آنگاه ?ass?_r (m/(x_1 ,…,x_t )m){m}??ass?_r h_i^t (m){m}.

فانکتورهای کوهمولوژی موضعی و حد معکوس و کامپلیشن و مدول ها و حلقه های کوهن-مکالی یادآوری شده m-رشته های غیر شرطی در بعد بزرگتر از sو متناهی بودن ایده آل های اول وابسته برخی مدول های کوهمولوژی موضعی بررسی می شوند. سپس مدول های کوهن-مکالی در بعد بزرگتر از sبررسی شده و برخی نتایج از محمل ها و متناهی بودن ایده آل های اول وابسته مدول های کوهمولوژی موضعی را ارائه می دهیم برخی از قضیه های هلاس 2001 و زمانی 2003 و نهان و مورالز 2006 را توسیع می دهیم. بویژه نتایجی را برای مدول های کوهن-مکالی در بعد بزرگتر از s بدست می آوریم که مشابه نتایج بیان شده برای مدول های کوهن-مکالی هستند.

در این پایان نامه به بررسی ویژگی های عمق صافی، عمق تعمیم یافته و ایده آل های اول وابسته مدول کوهمولوژی موضعی می پردازیم. همچنین رفتار مجانبی مجموعه ایده آل های اول وابسته ی مدول های ‎ ext ‎ را مورد مطالعه قرار می دهیم‎.

فرض کنیم r یک حلقه ی جابجایی و نوتری، m یک r‎-مدول با تولید متناهی و i و j ایده آل هایی از r باشند بطوریکه i شامل j است. ‎یکی از مسائل مهم در جبر جابجایی یافتن شرایط معادلی برای با تولید متناهی بودن مدول کوهمولوژی موضعی m نسبت به i است. در این رساله نشان داده شده است که اگر(r,m‎) یک حلقه موضعی کامل باشد، در اینصورت nامین بعد متناهی m نسبت به i برابر کوچکترین عدد صحیح نامنفی مانند i‎ است بطوریکه i امین مدول کوهمولوژی موضعی در بعد کمتر از ‎ n‎ نیست. با استفاده از مطلب فوق نشان داده شده است که زیرمجموعه ای از ایده آلهای اول وابسته جمع مستقیمی از مدولهای کوهمولوژی موضعی یک مجموعه متناهی است. در فصل آخر ثابت می کنیم اگر مجموعه ایده آلهای اول وابسته خاصی از مدول کوهمولوژی موضعی ‎متناهی باشد، آنگاه اصل موضعی- کلی در هر مرحله برای مدول m برقرار است. ‎ این مطلب تعمیمی برای اصل موضعی-کلی فالتینگز می باشد.

در این پایان نامه i یک ایده آل از r و m یک r-مدول است. هدف، اثبات قضایای زیر است: 1)فرض کنیم r حلقه موضعی و p ایده آل اول از r و n>=0 یک عدد صحیح باشد. ثابت می کنیم hii(m) برای هرi<n،آرتینی است اگر و فقط اگر hii(m))p برای هر i<n آرتینی باشد. 2) f-عمق i نسبت به m کوچکترین عدد صحیح مانند r است که مدول کوهمولوژی موضعی ( hri(m برای هر i<n آرتینی باشد. 3)یک اثبات ساده برای i-هم متناهی بودن مدول های کوهمولوژی ( hii(m برای هر ایده آل i با بعد یک و برای هر r-مدول با تولید متناهی m وبرای هر عدد صحیح i>=0. 4) اگر r موضعی و nوl دو r-مدول i-هم متناهی و f : n ? l یک r-همومورفیسم باشد،cokerf و i imf ،kerf-هم متناهی هستند.

پوچسازها و ایده آلهای اول چسبیده ی مدولهای کوهمولوژی موضعی را در نقطه ی بعد مشخص کرده ایم و برای نقطه ی قبل از بعد نشان داده ایم که وقتی حلقه حوزه ی صحیح می باشد پوچساز مدول کوهمولوژی موضعی در نقطه ی قبل از بعد حلقه صفر است و به کمک آن ایده آلهای اول چسبیده ی مدولهای کوهمولوژی موضعی را در نقطه ی قبل از بعد حلقه مشخص کرده ایم.

فرض کنید r حلقه جابه جایی و m یک r- مدول باشد. هدف این پایان نامه ایجاد تجزیه موثر برا یک زیرمدول سره n از m به صورت اشتراک زیرمدول های پریمال می باشد.وجود یک تجزیه متعارف پریمال n را نشان می دهیم که در آن اشتراک روی مولفه های ایزوله از n که از هم جدا هستند. ثابت می کنیم زیرمدول برابر اشتراک زیرمدول های p-پریمال است که p یک ایده آل اول وابسته می باشد اگر وتنها اگر، عناصر r یه جز p ایده آل اول وابسته n اول باشند. بعلاوه نشان می دهیم که m یک r- مدول حسابی است اگر وتنها اگر هر زیرمدول اول m تحویل ناپذیر باشد. بالاخره از نقطه نظر تجزیه متعلرف پریمال، تجزیه غیرزاید یا مولفه های ماکسیمال را شناسایی می کنیم و برای تجزیه منحصربه فرد n، یک اشتراک غیر زاید مولفه های منفرد را ارائه خواهیم نمود.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه بستار راتلیف_ راش یک ایده آل وابسته به یک مدول در یک حلقه جابجایی بررسی شده است. این بستار خود یک فیلترسازی ایده آل هاست. اگر مدول همان حلقه باشد در این صورت این بستار به بستار معمول راتلیف - راش بدل می شود. این بستار به شکل اجتماع نامتناهی از ایده آل هاست. اگر حلقه نوتری باشد کرانی برای این اجتماع بدست می آید. در این پایان نامه مقدار این کران تحت شرایط خاص بررسی شده است. در این پایان نامه همچنین کاربرد این بستار در توابع هیلبرت بیان شده است.