مساله ساخت یک ماتریس خاص، با توجه به اطلاعات طیفی داده شده به گونه ای است که حافظ ساختار معین و شرایط طیفی مفروض باشد. ماتریس نوسانی، یک ماتریس تماماً نامنفی است که به ازای عدد صحیح مثبت m ماتریس a^m تماماً مثبت باشد. در این پایان نامه مساله ساخت ماتریس نوسانی سه قطری متقارن با اطلاعات طیفی داده شده بررسی می شود. سپس یک روش پایدار با هزینه محاسباتی کم برای ساخت ماتریس نوسانی متقارن مثبت بیان می شود. علاوه بر آن ویژگیهای ماتریس نوسانی پنج قطری متقارن بررسی شده است. در نهایت مثالی از کاربرد این ماتریسها ارائه می شود.

یکی از مسائلی که همواره در جبر خطی عددی مورد بحث قرار می گیرد، حل دستگاه های خطی ax=b می باشد. تاکنون روش های مختلفی برای حل دستگاه ها که به دو دسته ی تکراری و مستقیم تقسیم می شوند، ابداع شده است. فقدان توانمندی یک عیب شناخته شده در روش های تکراری است. این مشکل مانع از پذیرش روش های تکراری در کاربردهای صنعتی، برای حل دستگاه های خطی بسیار بزرگ می شود. اما در روش های تکراری هم کارایی و هم توانمندی می تواند توسط پیش شرط سازی بهبود یابد. این پایان نامه که از پنج فصل تشکیل می شود به این مسأله می پردازد. در فصل اول به بیان یک سری تعاریف و پیش نیازهای مورد نیاز در فصل های بعدی پایان نامه پرداخته می شود. در فصل دوم عمل پیش شرط سازی و انواع پیش شرط سازهایی از نوع تجزیه ی ناقص lu بیان می شود. در فصل سوم روش هایی برای بهبود تجزیه های ilu، به وسیله ی استخراج راهبرد های معکوس تقریبی و سپس یک مجموعه از تکنیک های پایه روی فرآیند های تکراری برای اصلاح یک تجزیه ilu، بیان خواهد شد. در فصل چهارم به معرفی روش هایی برای حل دستگاه های خطی از جمله روش های تصویری gmres و fom و همچنین gmres پیش شرط سازی شده پرداخته می شود و در پایان در فصل پنجم پیاده سازی عملی و نتیجه گیری کلی ارائه می گردد.