هدف از این کار، ساختن الگوریتمهائی جهت ارائه ی جوابهای تقریبی سازگار برای معادله ی عملگری است. که در آن، و یک فضای هیلبرت جدایی پذیر با فضای دوگان است. به عنوان مثال می توان معادلات دیفرانسیل خطی یا معادلات انتگرالی در شکل تغییراتی را در نظر گرفت. با استقاده از موجکها یا قابها مسئله را به یک مسئله ی معادل در فضای تبدیل کرده و الگوریتمهایی سازگار برای جواب ارائه می دهیم. سپس چگونگی تقریب بهینه و خواص پیچیدگی این الگوریتمها را مورد بررسی قرار خواهیم داد. محتوای این رساله در چهار فصل ارائه می شود. ابتدا، مروری بر مفهومهای موجک، قاب و تقریب n-جزء برای بدست آوردن مسئله های معادل خواهیم داشت. در فصل دوم، قاب ها را جهت ساخت فضاهای آزمایشی یک روش گالرکین سازگار به کار گرفته و الگوریتمی برای بدست آوردن یک جواب تقریبی سازگار مسئله خواهیم ساخت. در فصل سوم، قاب های موجکی را جهت ساخت یک الگوریتم سازگار استفاده کرده و تقریب بهینه و پیچیدگی محاسباتی الگوریتم را مورد بررسی قرار خواهیم داد. در فصل پایانی، به عنوان یک مثال موجک های دیورژانس آزاد را برای طراحی یک الگوریتم سازگارجهت ارائه ی جوابی سازگار به مسئله ی استوکس تعمیم یافته به کار می بریم. با استفاده از این موجک ها، مسئله را به یک سیستم برداری ماتریسی که به یک سیستم معین مثبت محدود به سرعت منجر می شود تبدیل می کنیم. همچنین نشان خواهیم داد که این روش پیچیدگی محاسباتی بهینه دارد .

در این پایان نامه حل عددی معادلات lu = f را برای عملگر خودالحاق، کراندار و معکوس پذیر l روی فضای هیلبرت جدایی پذیر h مورد برسی قرار می دهیم. ابتدا این مساله را به معادله ی ماتریسی هم ارز در فضای l2‎ تبدیل می کنیم. با فرض این که ماتریس متناظر در کلاس ماتریس های جافارد باشد‏، الگوریتمی سازگار را برای به دست آوردن جوابی تقریبی ارائه می دهیم. الگوریتم پیشنهاد شده به جوابی شبه-بهینه همراه با پیچیدگی متناسب با کلاس های برداری موضعی همگراست. به علاوه‏، الگوریتم به طور خودکار در برخی نرم های قوی تر از فضاهای lp وزن دار همگراست. به عنوان یک کاربرد‏، از این روش برای تقریب قاب دوگان استاندارد یک قاب موضعی استفاده می کنیم.

هدف از اعمال تبدیل فوریه بر روی یک سیگنال، به دست آوردن اطلاعاتی از آن سیگنال است که در حوزه ی زمان قابل دسترس نیست. اما ما نیاز به ابزاری داریم که بتوان اطلاعات یک سیگنال را هم در حوزه ی زمان هم در حوزه ی فرکانس مشاهده کرد. در سال های اخیر تبدیل موجک به عنوان یک ابزار تحلیلی فرکانس – زمان قوی برای تحلیل سیگنال های ناایستای مختلط پدیدار شده است. کاربرد تبدیل موجک برای تحلیل سیگنال های زیستی مانند تصاویر پزشکی، امواج الکتروانسفالوگرام، امواج الکتروکاردیوگرام و ... بر دیگر سیگنال ها پیشتاز بوده است. در این پایان نامه ما با استفاده از تبدیل موجک و سپس به کمک تبدیل فوریه ی سریع به تحلیل امواج الکتروکاردیوگرام می پردازیم. داده هایی که در این پروژه مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته اند مربوط به پایگاه داده بیمارستان کودکان بوستون می باشد که از سایت physionet.org گرفته شده اند.

در این پایان نامه استفاده از قاب های زیرفضایی را برای حل عددی معادله ی lu=f, که در آن l عملگری خودالحاق، کران دار و معکوس پذیر روی فضای هیلبرت جدایی پذیر h، می باشد را مورد بررسی قرار می دهیم. ابتدا با استفاده از قاب های زیرفضایی الگوریتم هایی براساس روش های گالرکین و ریچادسون جهت بدست آوردن جواب های تقریبی برای این معادله اراه خواهیم کرد. سپس قاب های زیرفضایی را به منظور بدست آوردن یک معادله ی هم ارز با معادله ی اولیه به کار خواهیم گرفت و الگوریتمی سازگار طراحی خواهیم کرد که یک جواب تقریبی سازگار را به دنبال داشته باشد، سپس چگونگی تقریب بهینه و پیچیدگی محاسباتی این الگوریتم را مورد بررسی قرار خواهیم داد.

هدف این پایان نامه حل معادلات عملگری است که از قابهای مجکی استفاده میکند

در این پایان نامه استفاده از قاب های زیر فضایی را برای حل معادله ی عملگری ‎ l u =f, ‎ مورد بررسی قرار می دهیم‏، که در آنl ‎ عملگری خودالحاق، کران دار و معکوس پذیر روی فضای هیلبرت جدایی پذیر ‎h‎ می باشد. با استفاده از قاب های زیر فضایی الگوریتم هایی براساس روش های ریچاردسون‏، چبیشف و گرادیان مزدوج به منظور به دست آوردن جواب های تقریبی برای این معادله ارائه خواهیم کرد.

دراین پایان نامه با بهره گیری از یک فرمول بازگشتی برای ماتریس های تبدیل پایه های b-اسپلاین روشی برای ساخت موجک های b-اسپلاین غیریکنواخت دومتعامد براساس نرم گسسته ارائه دهیم.

این پایان نامه چند روش تکراری برای حل یک معادله ی عملگری روی یک فضای هیلبرت جدایی پذیر h که مجهز به یک g-قاب می باشد، ارائه می کند.

ین پایان نامه، کاربرد قاب ها در برخی روش های تکراری مهم جهت حل یک معادله ی عملگری ‎ l u =f‎ , روی یک فضای هیلبرت جدایی پذیر ‎h‎ را مورد بررسی قرار می دهد. با استفاده از اطلاعات مربوط به یک قاب در ‎h‎ و براساس روش های ریچاردسون، چبیشف و گرادیان مزدوج الگوریتم هایی بدین منظور طراحی کرده و سپس همگرایی و بهینگی این الگوریتم ها را مورد بررسی قرار می دهیم.