در این نوشته سعی شده است با مروری بر روش های انتگرال گیری عددی و تعمیم آن به نواحی چندوجهی ‏‎dn‎‏ از ‏‎rn‎‏ به انتگرال های چندگانه و حل عددی آنها از منظری دیگر نگریسته شود. با وجود روشهای بسیار در حل عددی انتگرال های چندگانه روی نواحی مختلف و ارائه دستورات متعدد روی هر کدام از این نواحی ، رویکرد ما درارائه دستورات ، صرفا قاعده سیمپسون می باشد. یکی از روشهای بدست آوردن قاعده سیمپسون ، درونیابی و روش دوم با استفاده از ترکیب محدب دو قاعده ذوزنقه و نقطه میانی می باشد . در این نوشته هر چند به درونیابی و استفاده از دستورات آن نیز برای مقایسه با دستورات دیگر پرداخته می شود ولی هدف اصلی تعمیم قاعده سیمپسون از روش دوم است . ابتدا با استفاده از همین روش و با ایده توسعه قاعده سیمپسون ، برای چند جمله ای های از درجه پنجم یک فرمول دقیق می سازیم و در فصول بعدی با تعمیم قاعده های ذوزنقه و نقطه میانی به نواحی چندوجهی ‏‎dn‎‏ از ‏‎rn‎‏ و ترکیب محدب آنها قاعده سیمپسون را به نواحی چندگانه تعمیم خواهیم داد.

در سالهای اخیر روی جوابهای نامنفی مسایل مقدار مرزی کار شده و نتایج خوبی هم برای آن حاصل شده است . این مبحث بر روی جوابهای نامنفی بحث می کند . در یافتیم که برای یکتایی جوابهای مثبت بایستی محدب باشد و برای جوابهای مثبت چناگانه بایستی قدری مقعر باشد. همچنین ثابت می کنیم جوابهای نامنفی با صفرهای درونی وجود دارد مگر در مسائل مثبت گون که در آن حالت صفرهای درونی نداریم. نیز ثابت می کنیم جوابهای نامنفی مساله دیریشله نیم خطی در یک گوی مثبت هستند و لذا تقارن شعاعی دارند. در حقیقت به این سوال پاسخ داده شده است که جوابها چه موقع تقارن شعاعی دارند. همچنین شرایطی برای هندسه ارائه داده ایم که در آن شرط مثبت بودن جوابهای نامنفی تامین می شود. در انتها ثابت می کینم که جوابهای نامنفی برای دستگاه نیمه مثبت گون مرتبط در یک گوی نیز مثبت هستند و لذا متقارن شعاعی اند.