کاربرد همراه آماره های ترتیبی در حالتی است که ما با دو متغیر وابسته روبرو هستیم که متغیر مد نظر ما قابل اندازه گیری نیست و یا اندازه گیری آن بعد از زمان مطلوب ممکن می گردد. ما اقدام به استنباط با استفاده از متغیر دیگر می کنیم

توزیع های نمایی در آزمون طول عمر، قابلیت اعتماد و دیگر زمینه های کاربردی نقشی اساسی بر عهده دارند و از دیر باز مورد توجه نویسندگان قرار داشته اند. وارد نمودن یک پارامتر شکل به توزیع نمایی مسأله جدیدی نیست و به منظور وارد نمودن یک پارامتر شکل به مدل نمایی روشهای زیادی مورد استفاده قرار گرفته که منتج به توزیع های نمایی وزن دار شده مختلفی شده است. در این پایان نامه به بررسی توزیع های نمایی و وایبل وزن دار شده می پردازیم. در فصل اول به بررسی توزیع نمایی وزن دار شده یک بعدی که با استفاده از ایده آزالینی (1985) به دست آمده است، پرداختیم. این توزیع نمایی وزن دار شده دارای تابع چگالی احتمالی می باشد که شکل آن مشابه شکل توابع چگالی احتمال توزیع های وایبل، گاما یا نمایی تعمیم یافته است. مشاهده شده است که این مدل نیز می تواند به عنوان یک مدل بریده شده پنهان، به دست آید. در فصل دوم توزیع نمایی دو بعدی مارشال – اولکین را مطالعه می کنیم. توزیع نمایی دو بعدی مارشال – اولکین توزیعی منفرد می باشد. در این مورد، هر دو توزیع حاشیه ای نمایی هستند اما می توانند با احتمالی مثبت با هم برابر باشند. به این دلیل اگر در یک مجموعه داده دو بعدی، در برخی از موارد دو مولفه مقادیر یکسانی بگیرند توزیع نمایی دو بعدی مارشال – اولکین می تواند به طور کارایی برای تحلیل این مجموعه داده به کار رود. از آن جایی که توزیع نمایی دو بعدی مارشال – اولکین توزیع های حاشیه ای نمایی دارد، اگر داده های دو بعدی تابع چگالی احتمال حاشیه ای تک مدی با تابع مخاطره غیر ثابت داشته باشد آنگاه توزیع نمایی دو بعدی مارشال – اولکین ممکن است مناسب نباشد. به دلیل این محدودیت، در انتهای این فصل توزیع انعطاف پذیر وایبل دو بعدی مارشال - اولکین را که دارای توزیع های حاشیه ای وایبل می باشد بررسی می نماییم. فصل سوم به مطالعه یک توزیع نمایی وزن دار شده دو بعدی که بر پایه توزیع نمایی دو بعدی مارشال – اولکین می باشد، اختصاص دارد. این توزیع نمایی وزن دار شده دو بعدی همانند توزیع نمایی دو بعدی مارشال – اولکین توزیعی منفرد است و دارای توزیع های حاشیه ای نمایی وزن دار شده یک بعدی می باشد. در نهایت، در فصل چهار ابتدا توزیع وایبل وزن دار شده یک بعدی را ارائه می دهیم و سپس به معرفی توزیع وایبل وزن دار شده دو بعدی بر پایه توزیع وایبل دو بعدی مارشال – اولکین می پردازیم.

چکیده: در حالت کلی این رساله به دو قسمت آماری و فازی تقسیم بندی می شود. در قسمت آماری که شامل فصول 2 تا 4 بوده به مطالعه و تعیین توزیع آماره های ترتیبی، ترکیبات خطی و همراهان آماره های ترتیبی در توزیع دو بعدی لاپلاس و همچنین توزیع های چند متغیره بیضوی و آمیخته میانگین-واریانس نرمال برای نمونه های وابسته پرداخته ایم. بدین منظور در فصل 2 توزیع ترکیب آماره های ترتیبی توزیع لاپلاس دو بعدی را بر حسب یک ترکیب از توزیع های لاپلاس چوله تعمیم یافته یک متغیره نوشته که بر اساس آن تابع مولد گشتاور این ترکیب را به دست آورده ایم. همچنین در فصل 3 توزیع آماره های ترتیبی و ترکیبات خطی آنها را از حالت یک بعدی به دو بعدی تعمیم داده و این توزیع ها را به صورت دقیق بر حسب توزیع های بیضوی چوله تعمیم یافته مشخص کردیم. همچنین با ورود متغیر همراه x_0 توانستیم بهترین پیشگوی غیرخطی x_0 بر اساس آماره های ترتیبی یا ترکیبات خطی آنها به دست آوریم. در فصل 4 توزیع چند متغیره آمیخته میانگین-واریانس نرمال را در نظر گرفته و توزیع آماره های ترتیبی و ترکیبات خطی آنها و همچنین متغیرهای همراه آماره ترتیبی آنها را بر حسب توزیع های انتخاب که در فصل1 معرفی شده بودند تعیین کنیم. سپس به کمک این نتایج توانستیم توزیع های کناری و شرطی آماره های ترتیبی و ترکیبات خطی و متغیرهای همراه آماره ترتیبی آنها را مشخص کردیم. همچنین این نتایج را برای توزیع هایپربولیک تعمیم یافته که یک حالت خاص از توزیع های آمیخته میانگین-واریانس نرمال است بیان کردیم. در قسمت فازی یعنی فصل 5 یک روش برای تولید توزیع های یک و چند متغیره بیضوی چوله به کمک پیشامدهای شرطی فازی معرفی کردیم که توزیع نرمال چوله را به عنوان یک حالت خاص مورد بررسی بیشتر قرار دادیم. همچنین به کمک این ایده توانستیم امید ریاضی شرطی دمی را برای توزیع های بیضوی و بیضوی چوله محاسبه کنیم.

این پایان نامه شامل دو قسمت می باشد. در بخش اول (فصل دوم) یک تعمیم جدید از توزیع های چوله تی معرفی می گردد که شامل توزیع چوله تی که آزالینی و کاپیتانیو در سال 2003 معرفی کردند می-باشد. این توزیع جدید دارای انعطاف پذیری بیشتری برای مدل سازی بعضی از داده ها به نسبت توزیع چوله تی استاندارد می باشد. در این فصل به بررسی ویژگی های مهم این توزیع خواهیم پرداخت و سپس یک رابطه بازگشتی برای تابع توزیع آن پیدا خواهیم کرد. تابع توزیع آماره های ترتیبی که از توزیع های سه متغیره جابجایی پذیر نرمال و تی بدست می آیند بر حسب این توزیع جدید محاسبه شده اند و سپس یک رابطه بازگشتی برای تابع توزیع آماره های ترتیبی بدست می آید. سرانجام در انتهای فصل دوم با استفاده از شبیه سازی و همچنین یک مثال عددی به بررسی نتایج بدست آمده می پردازیم. در بخش دوم (فصل سوم) مطالعه ای روی همراه های آماره های ترتیبی انجام می دهیم. در این فصل با در نظر گرفتن بردار تصادفی (??+ 1)? بعدی توزیع های بیضوی توزیع همراه های آماره های ترتیبی چند متغیره را بدست می آوریم. همچنین در انتهای این فصل توزیع توام همره های آماره های ترتیبی دو متغیره معرفی می گردند و سپس یک تابع توزیع آمیخته برای توزیع آنها معرفی خواهد شد

تعمیمی یک مدی یا دومدی از توزیع تی معرفی می شود. این مدل دارای انعطاف پذیری بیشتر و دامنه چولگی و برجستگی گسترده تر نسبت به سایر توزیع های چوله میباشد. در حالت خاص، تعمیمی از توزیع کوشی نیز معرفی میگردد. با گسترش توزیع نرمال-چوله-نرمال (nsn)، معرفی شده بوسیله ی گومز و همکاران (2013)، به حالت چندمتغیره، تعمیمی از توزیع چوله نرمال چندمتغیره انجام شده است. این کلاس جدید از توزیع ها برحسب شکل آمیخته ای (shape mixture) از توزیع های چوله نرمال چندمتغیره گسترش یافته (esn) نمایش داده شده است. با استفاده از همین ویژگی، نمایش تصادفی برای توزیع جدید بدست آمده است. برخی از ویژگی های این خانواده جدید از توزیع ها بررسی شده است. روش محاسباتی با استفاده از الگوریتمem برای یافتن برآورد بیشینه درستنمایی پارامترها پیشنهاد شده است. همچنین توزیع های چوله نرمال یکی شده (sun) بریده شده مطالعه شده است. با این روش برش، به یافتن توزیع توام آماره های ترتیبی متوالی از توزیع نرمال چندمتغیره و نیز چند توزیع شرطی، پرداخته می شود. با استفاده از این نتایج، چند اندازه در قابلیت اعتماد محاسبه شده است.

در این پایان نامه برخی از ویژگیهای خانواده کشی دو پارامتری، خانواده کشی دایره ای یا پیچیده شده و رایطه انها با تبدیل موبیوس ، بر اساس مقاله (p. mccullag, 1996)، بحث می شود. یک راه ساده برای استنباط آماری با در نظر گرفتن در صفحه اعداد مختلط به جای پارامتر در صفحه اعداد حقیقی ارائه خواهد شد. فصل اول این پایاننامه روی برخی از ویژگیهای توزیع کشی دو پارامتری تاکید دارد. فصل دوم به معرفی چند تبدیل مهم در صفحه اعداد مختلط، به ویژه تبدیل موبیوس اختصاص دارد. مطالعه پایائی خانواده کشی تحت گروه تبدیل موبیوس و توزیع کشی دایره ای موضوع فصل سوم را تشکیل می دهد. در فصل چهارم، برآوردگر درستنمائی برای n<4، چگالی یک برآوردگر پایا تحت تبدیل موبیوس و امید ریاضی توابع هارمونیک یا تحلیلی از برآوردگر پایا تحت تبدیل موبیوس به دست می آید.