در بسیاری از علوم کاربردی مانند فیزیک، شیمی، مهندسی الکترونیک و ... نیاز شدیدی به حل دستگاه های معادلات فازی وجود دارد و گاهی نیز با دستگاه های معادلات فازی رو به رو می شویم که جواب ندارند ولی نیاز به یافتن یک جواب با معیاری مشخص وجود دارد. وقتی با اعداد معمولی کار می کنیم و با دستگاه هایی با ابعاد بزرگ رو به رو می شویم روش های مستقیم را کنار می گذاریم و از روش های تکراری استفاده می کنیم بنابراین در این پایان نامه روش های تکراری برای دستگاه های فازی با ماتریس ضرایب اعداد معمولی ارائه کرده ایم و در مورد همگرایی روش ها نیز به بحث پرداخته ایم. برای این که بتوانیم از حساب اعداد معمولی استفاده کنیم دستگاه فازی را با یک دستگاه اعداد معمولی متناظر کرده ایم و اصول کار این پایان نامه تا پایان بر اساس این روش قرار گرفته است. زمانی که با دستگاه هایی رو به رو هستیم که ماتریس ضرایب آن شامل اعداد معمولی از مرتبه که و دستگاه ناساز گار است جوابی برای دستگاه وجود ندارد در این مواقع به دنبال جوابی برای دستگاه هستیم که دارای کمترین نرم با شد اما زمانی که متغیرها فازی هستند تعریف نرم به شکلی که برای اعداد معمولی وجود دارد قابل استفاده نیست به همین منظور در این پایان نامه برای اولین بار روشی برای هماهنگ سازی مسائل کمترین مربعات معمولی و فازی انجام گرفته است. فصل اول پایان نامه را به برخی از تعاریف و قضایای مورد نیاز اختصاص داده ایم. فصل دوم مقدمه ای از اعداد فازی است و در فصل سوم روش های تکراری برای مسائل فازی آورده شده است و دو فصل آخر در مورد مسائل کمترین مربعات فازی و معمولی هستند.

پیدا کردن جواب های دقیق معادلات دیفرانسیل غیرخطی با مشتقات جزئی برای فیزیکدانان نظری اهمیت زیادی دارد. از این رو روش هایی که جواب های دقیق را به دست می دهند، مورد توجه قرار می گیرند. در این پایان نامه با استفاده از ‎‎‎‎d‎‎-عملگر هیروتا، یک فرم دو خطی برای معادلات غیرخطی با مشتقات جزئی به دست می آوریم. با بهره گرفتن از این فرم دو خطی و روش های مستقیم هیروتا،‎‎‎‎ehta‎$‎,‎‎three-wave‎‎ جواب های دقیقی برای این دست معادلات به دست می آوریم. در بررسی های انجام شده معلوم شد که بعضی از این معادلات فرم دو خطی ندارند. در فصل سوم برای رفع این مشکل راه حلی را پیشنهاد می کنیم و با توجه به این راه حل پیشنهادی، روش های ‎‎‎‎ehta‎‎اصلاح شده و ‎‎‎‎three-wave‎‎ اصلاح شده را نتیجه می گیریم.

حل معادلات غیر خطی خیلی بزرگ در پروژه های دولتی و مسائل فنی مهندسی بسیار مهم است. در این گونه مسائل، تعداد مجهولات و معادلات بسیار زیاد است در این صورت روش های تکراری gmres و گرادیان مزدوج و سایر روش های تکراری مفید نخواهند بود، زیرا در این روش ها اکثراً همگرایی بعد از n تکرار تضمین می شود ( n اندازه ماتریس تکرار است). پس استفاده از این روش ها برای حل چنین مسائل بزرگی به صرفه نیست. در این پایان نامه تمام تلاش ها در جهت حل دستگاه های بزرگ و تنک از معادلات غیرخطی به وسیله روش نیوتن نادقیق و روش شبه نیوتن نادقیق ترکیب شده با p حل کننده سطری تصویری از نوع سیمینو است. ثابت می شود که این روش بر حسب نرم انرژی معرفی شده به وسیله ماتریس پیش ضرب ha ( a حدس اولیه از ماتریس ژاکوبی مسئله است) همگرایی خطی موضعی دارد و حتی با وجود بعضی شرایط، همگرایی ابر خطی دارد.

روش تعمیم یافته مانده ها یا یکی از روش هایی است که اخیراً به منظور حل دستگاه های معادلات خطی مورد استفاده قرار می گیرد. این روش در مقایسه با روش های تکراری مانند گاوس- سایدل یا ژاکوبی از دقت بیشتر و سرعت همگرایی بالاتری برخوردار می باشد. روش های تکراری موجود و جدید برای بهبود زمان حل مسایل و کاهش خطا ابداع می گردد. کاهش زمان اجرا یکی از مسایل مهمی است که در این پایان نامه مورد بررسی قرار می گیرد، در این پایان نامه بر آنیم که به معرفی روش به منظور تسریع همگرایی روش های موجود بپردازیم. این پایان نامه به شرح زیر تدوین شده است: فصل اول را با بیان برخی تعریف های مورد نیاز در فصل های بعدی آغاز می کنیم و در ادامه آن، روش تکراری نیوتن، مفهوم همگرایی و هم چنین مرتبه همگرایی آن را برای حل دستگاه های معادلات غیر خطی شرح می دهیم و پایان این فصل یکی از روش های مرتبه های بالاتر شبه- نیوتن را معرفی می کنیم. در فصل دوم روش تعمیم یافته حداقل مانده را برای حل دستگاه خطی ارائه می دهیم. در فصل سوم و چهارم به تحلیل همگرایی روش توسط چند جمله ای های چبی شف نوع اول و نوع دوم برای حل دستگاه های معادلات خطی که ماتریس ماتریسی سه قطری است، می پردازیم.

حل دستگاه های غیر خطی از مسائل مهم در بحث آنالیز عددی است. که اهمیت آن را می توان در بسیاری از علوم همچون مهندسی یافت.اما در بسیاری از مسائل پیدا کردن جواب دستگاه به طور دقیق امکان پذیر نیست، بنابراین روش های عددی به وجود آمدندکه در آن هامرتبه همگرایی و تعداد تکرار از اهمیت خاصی برخوردار می باشد.

در سال های اخیر، وقت و علاقه بسیار زیادی برای حل دستگاه های بزرگ خطی به فرم نقطه زینی اختصاص داده شده است. دلیل این علاقه این واقعیت است که چنین مسائلی را در طیف گسترده ای از برنامه ها و کاربردهای فنی و علمی می توان مشاهده نمود. به عنوان مثال، محبوبیت روزافزون روش های عناصر متناهی در زمینه های مهندسی از قبیل مکانیک جامدات و سیالات یک منبع عمده از دستگاه های نقطه زینی می باشد. یکی دیگر از دلایل این افزایش علاقه به کار بر روی مسائل نقطه زینی، موفقیت فوق العاده این مسائل در حل الگوریتم های نقطه داخلی در بهینه سازی خطی و غیر خطی است. توجیه ما برای یک بررسی جامع از این موضوع این است که روش ها و نتایج عددی مربوط به دستگاه های نقطه زینی، در طیف گسترده ای از کتاب ها، مجلات و کنفرانس ها ظاهر می شوند. هدف اصلی در این مقاله مروری بر روش های حل با تاکید بر روش های تکراری بر روی مسائل تنک و بزرگ است. اگر چه بسیاری از این روش ها حل با کاربردهای خاصی در ذهن ما جای گرفته اند(برای مثال، نوع مساله استوکس در دینامیک سیالات)، این امکان وجود دارد تا آن ها را ازطریق مفاهیم جبر خطی عددی مورد بحث قرار دهیم که برجسته ترین آنها شاید متمم شور(فصل دوم بخش 2-2) باشد. اگر چه نمی توان گفت که بهترین روش برای حل این دستگاه ها وجود دارد، با این حال روش های حل موثری برای حل رده های مختلفی از مسائل نقطه زینی وجود دارد. بنابراین قسمتی از پایان نامه را به بحث راجع به چند کاربرد انتخاب شده از مسائل نقطه زینی اختصاص می دهیم. امید است که مطالعه حاضر کمک و راهنمایی مفیدی در انتخاب روش های حل به محققین و دانشجویانی باشد که در زمینه جبرخطی عددی و محاسبات علمی فعالیت دارند.

پیدا کردن ریشه های یک چند جمله ای از دیر باز مورد توجه مهندسین و ریاضیدانان بوده است. ریشه یابی چندجمله ای ها از درجه بالا به علت بد وضعی روند آن یکی از مسائلی است که هنوز هم یک مساله تازه و کاربردی است. زمانی که ریشه های یک چندجمله ای دارای مرتبه تکراری بالاتر از یک باشند روش-های معمولی و حتی توابع کتابخانه ای نرم افزارهایی مانند مت لب نیز به درستی نمی توانند آن ها را محاسبه کنند. در این پایان نامه به مساله ریشه یابی چندجمله ای ها پرداخته ایم. فصل اول به معرفی روش های تحلیلی موجود برای تعیین ریشه های یک چندجمله ای اختصاص دارد. در این فصل روش های آشنایی برای این ریشه یابی در ارتباط با چندجمله ای های درجه و معرفی شده است. نظر به این که معمولا روش های تحلیلی قابل به کارگیری برای هر چندجمله ای نیستند، در فصل دوم روش های عددی را برای تعیین ریشه (های) یک چندجمله ای معرفی کرده ایم. در این فصل هم چنین مشکلاتی که در روند های عددی وجود دارند مورد بررسی قرار گرفته اند. نظر به بدوضعی مساله ریشه یابی چندجمله ای ها و خوش وضع بودن مساله مقدار ویژه ماتریس ها، در فصل سوم روش qr را برای تعیین ریشه های یک چندجمله ای به کار گرفته ایم. در این روش ماتریس همراه مربوط به یک چندجمله ای را معرفی نموده و با استفاده از روش qr ریشه های چندجمله ای مورد نظر را به دست آورده ایم. در فصل های اول، دوم و سوم با ارائه مثال هایی نشان داده ایم که هیچ کدام از روش های معرفی شده در ارتباط با ریشه های تکراری کارآیی ندارند. حتی تابع کتابخانه ای roots مت لب نیز در محاسبه ریشه های تکراری ناکارآمد است. فصل چهارم روش multroot را که به منظور تعیین ریشه های تکراری چندجمله-ای ها توسط z.zeng نوشته شده است معرفی می کند. در این فصل الگوریتم های ? و ?? که روش multroot مورد استفاده قرار می دهد تشریح می شوند. هم چنین مفهوم منیفلد مرکزی و ساختار تکراری ریشه های یک چندجمله ای در این فصل بیان می شود.

چکیده ندارد.