در سال های اخیر توجه زیادی به طیف گراف ها شده است، زیرا طیف گراف ها نقش بسیار مهمی در شناختن ساختار گراف ایفا می کنند. به مجموعه مقادیر ویژه گراف، طیف گراف گفته می شود. این موضوع بخشی از نظریه جبری گراف ها محسوب می شود. از نظریه طیفی گراف ها، هم در شناخت ساختار گراف ها وهم در سایر علوم مانند شیمی، فیزیک، علوم مهندسی برق، عمران وکامپیوتر استفاده های فراوانی می شود. در این پایان نامه سعی شده است تا موضوعات مربوط به طیف گراف ها مورد مطالعه قرار گیرد و بعضی از کاربردهای آن در سایر علوم بررسی شود. در فصل اول تعاریف و مفاهیم اولیه ماتریس ها ارائه شده است. در فصل دوم خواص طیفی گراف وکران های مجموعه طیفی مورد بررسی قرار گرفته است. در فصل سوم کاربردهای طیف گراف در مسئله نشاندن طیفی گراف ها بیان شده است. در فصل چهارم کاربرد طیف گراف در مسئله آنالیز مولفه های اصلی مورد بررسی قرار گرفته است. و در فصل پنجم نیز کاربرد طیف گراف در مسئله تشخیص چهره بررسی شده است.

استفاده از کدهای ‎ldpc‎ به دلیل ساختار ساده، روش های کدگشایی تکراری و برخی دلایل دیگر در سال های اخیر بسیار مورد توجه بوده است. در این پایان نامه با نگاهی کوتاه به تاریخچه نظریه کدگذاری و بیان خلاصه ای از مفاهیم مربوط به کدهای خطی به شرح کدهای ‎ldpc‎ و نحوه کدگذاری آنها می پردازیم. سپس با استفاده از تعریف گراف فاکتور، برخی از الگوریتم های کدگشایی عبورپیام را معرفی می کنیم. علاوه براین روش کدگشایی برنامه ریزی خطی و برخی از مهمترین بهبودهای انجام شده بروی این الگوریتم کدگشایی را مورد بررسی قرار می دهیم و در پایان به مقایسه چند الگوریتم کدگشایی با استفاده از نتایج برخی مقالات اخیر می پردازیم.

منطق فازی برای اولین بار در سال 1965 توسط دکتر لطفی زاده مطرح شد. معمولاً شیوههایی که برای طراحی و مدلسازی یک سیستم بکار می رود نیازمند ریاضیات پیچیده و پیشرفته ای است که با استفاده از مقادیر زبانی و دانش فرد خبره قابل بیان هستند. با اعمال مفهوم فازی بر روی رئوس و یالهای گراف، ابهام در مدل‏ بندی بسیاری از مسائل با استفاده از گراف فازی رفع میگردد. این تحقیق به مطالعه رنگ آمیزی گرافهای فازی می پردازد. برای گراف( g=(v,e، تابع رنگ آمیزی c، یک مقدار عدد صحیح (c(i را به هر رأس i طوری تخصیص میدهد که یالهای مجاور ، رنگهای یکسانی نگیرند. در این تحقیق ضمن بیان رنگ آمیزی گرافهای فازی، برای دسته بندی مدلهایی که در آن دستهها ارزش نزولی دارند، مجموعه رنگهای فازی نزدیک به یک تعریف شده است و با ارائه مفهوم رنگ آمیزی مجموع، برای گراف فازی ، مسئله بهینه سازی دسته بندی رنگی توسعه یافته فازی بیان شده است. همچنین کاربرد این مسئله در زمان‏ بندی امتحانات بیان گشته که در آن رنگهای فازی، ارزش زمان برگزاری امتحانات است. نتایج محاسباتی بر روی برخی گرافهای فازی برای مقایسه نیز آورده شده است. برای گرافهای فازی وزن دار ، رنگ آمیزی بازهای مورد بررسی واقع گردیده و یک رنگ آمیزی بازهای بر اساس سطح شدت یال های متصل به رئوس ناسازگار بیان و کاربرد آن در مسئله چراغ ترافیک ارائه شده است. یک الگوریتم دقیق برای بدست آوردن عدد رنگی و تابع رنگ آمیزی بازه‏ای معرفی و برخی نتایج برای آزمایش سرعت الگوریتم بیان گردیده است. برای بدست آوردن جواب بهتر ، رنگ آمیزی دوری تعریف شده و یک الگوی برنامه‏ی خطی برای یافتن عدد رنگی و تابع مربوطه ارائه شده است.