در این پایان نامه، روش های عددی از مرتبه دقت بالا را برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی سخت و غیرخطی وابسته به زمان به کار می بریم. برای این کار ابتدا مشتقات مکانی معادله ی دیفرانسیل را با روش های طیفی (طیفی فوریه برای مسائل متناوب و طیفی چبیشف برای مسائل با شرایط کرانه ای دیریکله و نیومن) گسسته سازی می نمائیم تا دستگاهی از معادلات دیفرانسیل معمولی حاصل شود. سپس روش هائی از مرتبه ی دقت چهار مانند روش های ضمنی- صریح، روش عامل انتگرال گیری، روش های تفاضلات زمانی نمائی و روش های تفاضلات زمانی نمائی رونگه- کوتا را برای حل دستگاه حاصل، مورد استفاده قرار می دهیم. پس از آن با بیان الگوریتم هائی، روش های تفاضلات زمانی نمائی و روش های تفاضلات زمانی نمائی رونگه- کوتا را بهبود می دهیم. نتایج عددی حاصل از به کارگیری روش های فوق روی برخی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی سخت و غیرخطی وابسته به زمان، نشان می دهد که روش تفاضلات زمانی رونگه-کوتای بهبود یافته دارای نتایج عددی بهتری نسبت به دیگر روش ها می باشد.

در این رساله یک مسأله سهموی معکوس به منظور تعیین هم زمان توابع مجهول p(t)، q(t) و u(x,t) را در نظر می گیریم به طوری که در معادله ی: u_t=u_xx+q(t) u_x+p(t)u+f(x,t); x?(0,1), t?(0,t], (1) با شرایط اولیه-کرانه ای u(x,t)=?(x); x?[0,1], (2) u(0,t)=g_1 (t); t?(0,t] (3) u(1,t)=g_2 (t); t?(0,t] (4) و همراه با شرایط فوق اضافی: u(x^*,t)=e_1 (t), u(x^(**),t)=e_2 (t); x^*,? x?^(**)?(0,1), t?(0,t], (5) صدق نماید که در آن، f(x,t) ?(x)، g_1 (t)، g_2 (t) ،e_1 (t)?0 و e_2 (t)?0 توابع معلوم می باشد و اعدادt ،x^* و ? x?^(**) ثابت های مثبت و معلوم هستند. هرگاه u بیانگر غلظت باشد، معادله (1) انتقال، انتشار و واپاشی یک حلال شیمیایی (یک ردیاب) با غلظت u متحرک در یک محیط متخلخل (یک سفره)، را مدلسازی می کند که در آن q(t) سرعت متوسط (سرعت رانندگی) و p(t)اندازه واپاشی را نشان می دهد. هرگاه u درجه حرارت باشد مسأله (5) - (1) می تواند به عنوان یک مسأله کنترل، به منظور یافتن پارامترهای کنترلی p=p(t)وq=q(t) در نظر گرفته شود به قسمی که در شرایط فوق اضافی (5) صدق نماید. روش ارائه شده در این رساله، فرموله کردن (5) - (1) با استراتژی دیگری می باشد ابتدا مجهول q(t) را به صورت تکه ای ثابت، تقریب می زنیم و بر روی هر بازه ی زمانی که تابع ثابت است، به وسیله ی برخی تبدیلات، مسأله به یک مسأله سهموی ناموضعی مقدار اولیه-کرانه ای تبدیل می شود. در انتها با استفاده از روش تفاضل متناهی به حل عددی مسأله حاصل می پردازیم.

مسأله هدایت گرمای پسرو را به عنوان یک مسأله مقدار کرانه ای می شناسند. در حالت کلی معمولاً جوابی که در معادله گرما با مقدار اولیه و شرایط کرانه ای صدق کند، وجود ندارد. (این مسأله یک مثال واقعی از یک مسأله بدخیم است که به روش های نظام بخشی به خصوصی نیاز دارد.) [1] در این رساله سه روش عددی ارائه شده است. روش اول حل بنیادی می باشد که بدون استفاده از شبکه بندی و انتگرال گیری به کار گرفته شده است. در این روش با استفاده از جواب بنیادی، به عنوان توابع پایه ای، جواب اصلی معادله گرما مطرح می شود که برای تقریب درجه گرمای توزیع شده، لازم است فقط در شرط کرانه ای و داده های معلوم صدق کند. آنگاه دستگاه معادلات خطی بدوضع حاصل می شود که برای حل آن، روش منظم سازی تیخانف و روش منحنی ال را به طور موفقیت آمیزی به کار می گیریم. دو روش دیگر عبارت اند از روش تفاضل مرکزی و روش برگشت پذیر تقریبی، بعد از شرح مراحل هر دو روش به صورت جداگانه، آنها را در مثال های عددی با هم مقایسه می کنیم.

در این پایان نامه، حل عددی معادلات (adi) سهموی دو بعدی نیز مورد مطالعه قرار گرفته است. روش برای حل این نوع از معادلات، روش فوق خلاصی متوالی فشرده می باشد که از ترکیب روش تفاضلات متناهی فشرده مرتبه ی 4 و روش فوق خلاصی متوالی به دست آمده است، یکی دیگر از اهمیت های این روش ها دقت بالای آنها می باشد که در این رساله قابل مشاهده است. کلمات کلیدی: معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، معادلات سهموی خطی و غیر خطی، روش تفاضلات متناهی فشرده، روش رونگه-کوتا، روش فوق خلاصی متوالی فشرده، روش مربع تفاضلی پایه چند جمله ای، پایداری، سازگاری، همگرایی.

در این پایان نامه ابتدا روش تقریب کمترین مربعات متحرک را،که به اختصارmls نامیده می شود،بیان می کنیم و سپس با استفاده از روشی که مبتنی بر روش کمترین مربعات متحرک و چند جمله ایهای متعامد می باشد، به حل عددی معادلات انتگرال ولترا-فردهلم خطی وهمرشتاین،معادلات انتگرال تابعی ولترا-فردهلم ومعادلات انتگرال دیفرانسیل ولترا-فردهلم می پردازیم.روش کار چنین است که ابتدا تقریب به دست آمده از روش mls برای تابع مجهول، که بر حسب مقادیر گره ای می باشد را به عنوان جواب در معادله انتگرال مورد بحث جایگذاری کرده و سپس با استفاده از نقاط هم محلی و انتگرال گیری عددی به یک دستگاه معادلات جبری خواهیم رسید که در آن عناصر مجهول، تقریب هایی از مقادیر گره ای بوده و از حل دستگاه به دست می آیند. در آخر کارایی و دقت روش را با مثال های عددی مورد ارزیابی قرار می دهیم.