فرض کنید g یک گروه متناهی باشد و را یک خودریـختی از مرتبه عدد اول p از گروه متناهی g در نظر بگیرید و را زیر‎گروه‎نقطه‎ثابت از آن در نظر می‎گیریم. با استفاده از قضیه کلاسیک تامپسون داریم اگــر یک خودریختی منظم باشد (یا بطور معادل ) آنگاه g پوچتوان است و همچنین نشان داد که اگرهر تقریبا منظم باشد آنگاه g نیز باید تقریبا پوچتوان باشد. به عبارتی اگر آنگاه g یک زیر گـــــــروه پوچتوان از شاخص کراندار‎شده نسبت به p و n دارد که به اختصار آن‎را کراندار‎شده گوییم. این نتیجه ترکیبی از کارهای فونگ در[1] و هارتلی و میکسنردر [6] و پتت در [8] است. در این تحقیق ما می‎بینیم که خودریختی " تقریبا منظم" است اگر یک تحدید روی رتبه وجود داشته باشد و متقابلا g دارای خاصیت " تقریبا پوچتوان" است هرگاه هر خودریختی g تقریبا منظم باشد. ما از رده بندی گروه های متناهی در اثبات حالت تقریبا حل پذیر بودن و در حالت هم اول بودن استفاده می کنیم و اثبات می کنیم که رتبه برحسب p و r کراندار شده است. برای گروه های حل پذیر نیز ترکیب نتیجه هال – هیگمن با زیرگروه های p - قدرتمند، تقریبا پوچتوانی را نشان می دهد که نشان می دهیم این شرایط در حالت غیر هم اول نیز برقرار است.

فـرض کنیم g یک p-گــروه متناهی بـاشد. تعداد رده های مزدوجی غیرمرکزی از اندازه داده شده در g بـر p-1 بخش پذیر است. به طور طبیعی بهتر است گــروههایی را بررسی کنیم که این تعداد دقیقاً p-1 تا باشد. مک دونالد نشان داد اگــر g یک گــروه از مرتبه p^m باشد و p-1 رده از اندازه b=b(g) داشته بـاشد آنگــاه c(g)?3، b?4 و m?b^2+b. هـدف اصلی ایــن پایان نامه روی رده های غیرمرکـزی از پهنای مینیمال است. ما گــروههایی را بـررسی می کنیـم کـه تعداد رده های از اندازه مینیمال آنها، دقیقاً (p-1) تـا است. در فصل اول مفاهیم پایـه و مقدمـاتی را بیـان می کنیـم. در فصـل دوم p-گــروهها از رده ماکسیمال را مطالعه می کنیم. در فصل سوم گـــروههای فراآبلی و گروههای از رده ماکسیمال با ویژگـی اخیر را بــررسی می کنیـم، و در پایان cf-گروههای فراآبلی و گروههای فراآبلی از رده ماکسیمال را رده بندی می-کنیم.

فرض کنید یک گروه باشد. مجموعه تمام خودریختی های را با نشان می دهیم. یک خودریختی را که با هر خودریختی داخلی جا به جا شود، خودریختی مرکزی می گوییم و مجموعه همه خودریختی های مرکزی را با نشان مـی دهیم که زیرگروهی نرمال از می-باشد. اگر و دو زیـرگــروه نـرمال باشـند مجموعه تمام خودریختی هایی که را نقطه به نقطه ثابت نگه می دارند را با نمایش می دهیم. به علاوه مجموعه تمام خـودریختی هـایی که را نقطه به نقطه ثـابت نگه مـی دارنـد با نشـان داده مـی شـود. همچنین قرار می دهیم: . در فصل اول مفاهیم پایه ای که در فصل های بعد به کار می رود را معرفی می کنیم، در فصل دوم به مطالعه گروه هایی با خودریختی های مرکزی تقریبا داخلی می پردازیم و در این فصل ثابت می کنیم که اگر یک -گروه از رده پوچ توانی دو و دوری باشد آنگاه . سپس در فصل سوم خـودریختی هـای مـرکـزی کـه مـرکـز گـروه را نقطه به نقطه ثـابت نگه می-دارنـد بررسی می کنیم. به علاوه در فصل دوم و سوم به دو روش متفاوت ثـابت می کنیم که اگر یک -گروه ناآبلـی باشد و ، آنگــاه اگروتنهااگر دوری باشد و . سرانجام در فصل چهارم به ازای عدد اول فرد ، شرط لازم و کافی برای آبلی مقدماتی بودن گروه خودریختی های مرکزی یک -گروه متناهی ناآبلی محض را ارائه می دهیم. در سراسر این پایان نامه یک گروه متناهی می باشد.

در این پایان نامه گراف های کیلی یکانی را تعریف می کنیم.و به بررسی تعدادی از ویژگی های این گراف می پردازیم.در ابتدا تعاریف ومفاهیم مقدماتی را بیان می کنیم در بخش اول فصل دوم، بعضی از قضایا که برای گراف برقرار است را بیان می کنیم و در بخش دوم این فصل عددرنگی عدد خوشه عدد استقلال قطر و تعداد مثلث های گراف xn را به دست می اوریم و نشان می دهیم xn متقارن و همبندی راسی برابر با ?(n) می باشد.در فصل سوم با استفاده از خاصیت دوری و متقارن بودن ماتریسهای گرافهای کیلی یکانی مقادیر ویژه این گراف ها را محاسبه می کنیم و سرانجام در فصل آخر آخراندازه خودریختی های این گرافها را محاسبه می نماییم.

فرض کنید ‎‎‎g‎‎‎ یک گروه باشد. گروه همه خودریختی های ‎‎g‎‎ را با aut(g)‎ نشان می دهیم. خودریختی ‎‎? از aut(g)‎ را یک خودریختی مرکزی گوییم در صورتی که برای هر‎ ، x ? g x^{-1}?(x) ? z(g) ‎. مجموعه ی همه خودریختی های مرکزی ‎‎ gکه آن را با ‎ autcent(g) نشان می دهیم یک زیرگروه نرمال aut(g)‎ است‎ .‎‎ ‎خودریختی ?‎ از aut(g)‎ را یک خودریختی حافظ رده تزویج گوییم در صورتی که برای هر ?(g) ? g^{g} ،g ? g ‎. مجموعه ی همه خودریختی های حافظ رده تزویج ‎ g‎‎ را با aut_{c}(g) ‎ نشان می دهیم. aut_{c}(g) یک زیرگروه نرمال ‎ aut(g)‎‎ است. ‎در‎ این پایان نامه ابتدا گروه خودریختی های مرکزی و خودریختی های حافظ رده تزویج را مورد مطالعه قرار می دهیم و سپس شرطی لازم و کافی برای آن که گروه خودریختی های مرکزی یک ‎p‎‎‏-گروه متناهی با گروه خودریختی های حافظ رده تزویج آن برابر باشد را ارائه می دهیم. به علاوه ثابت می کنیم که اگر ‎g‎‎‏ یک ‎‎p‎‎‏-گروه متناهی باشد که خودریختی های مرکزی‏، همگی حافظ رده تزویج باشند‏، آنگاه ‎d(g)‎‎‏ زوج است(‎ ‎d(g)‎‎‏ معرف تعداد عناصر در مجموعه مولد مینیمال ‎ g‎ است). همچنین به بررسی گروه هایی با خاصیت ‎ ‎aut(g)=aut‎_{c}(g)‎ ‏‎ ‎می پردازیم.

فرض کنیم g یک گروه ناآبلی متناهی باشد.گراف (?(g را که گراف ناجابه جایی g نامیده می شود، با مجموعه ی رئوس (g- z(g تعریف می کنیم؛ به طوری که دو راس x و y در آن مجاورند اگرو تنها اگر xy ?yx. دراین پایان نامه در فصل اول به بیان مقدماتی از نظریه گروه ها و نظریه گراف می پردازیم.فصل دوم به انواع تزویجی گروه ها و زیرگروه های اساسی اختصاص دارد. درفصل سوم نیز در مورد تعداد یال های و عدد رنگی نتایجی به دست می آوریم. هم چنین برای تعدادی از گروه های خاص مانند g نشان خواهیم داد اگر h یک گروه باشد به طوری که(?(g) ??(h ، آن گاه |g|=|h| و در بعضی حالت ها g?h.