فرض کنیم g یک گروه و n زیر گروه نرمال آن باشد، در این رساله با متمرکز شدن روی جفت (g, n)به بررسی جفت های توانا، کامل و پوچ توان می پردازیم. در ابتدا برای یک جفت از گروه ها مفهوم مرکز دقیق را معرفی می کنیم و نشان می دهیم این زیرگروه یک محک برای توانا بودن یک جفت از گروه ها مشخص می کند. به علاوه این محک را با محک ارائه شده توسط الیس در[6] مقایسه می کنیم. در انتها طبقه بندی کاملی برای جفت های آبلی متناهیا تولید شده توانا ارائه می دهیم. لدی در [19] مفهوم کامل بودن را برای یک جفت از گروه ها معرفی کرده است. ما در این رساله یک شرط لازم و کافی برای کامل بودن یک جفت به دست می آوریم. هم چنین یک گسترش مرکزی نسبی برای یک جفت کامل می یابیم که جفت پوششی برای آن است و نیزعضو جهانی در رسته rce (g, n) است. نهایتا مفاهیم جفت پوششی و جفت کامل را به چند گونای پوچتوان تعمیم می دهیم. در پایان مفاهیم پوچتوانی، سری های مرکزی بالایی و پایینی، به طور باقیمانده ای پوچتوان و هاپفین را برای یک جفت از گروه ها تعریف می کنیم که منجر به نتایج جدیدی در بحث گروه های پوچ توان می شود. هم چنین نشان می دهیم جفت های به طور باقیمانده ای پوچتوان از گروه های متناهیا تولید شده هاپفین است.

در این پایان نامه به کمک مفاهیمی نظیر p-گروه های منظم و گروه های توانا،p-گروه ها راتا حد ایزوکلینیکی طبقه بندی خواهیم کرد.

هدف از این پایان نامه تعیین کران بالا برای اندیس مرکز در گروه های توانا بر حسب مرتبه زیر گروه مشتق است که در ابتدا این کران تابعی از مرتبه زیرگروه مشتق است، سپس کرانی برحسب یک تابع لگاریتمی و مرتبه زیرگروه مشتق مشخص می شودو در نهایت کران ارائه شده بر حسب مرتبه و رتبه زیرگروه مشتق می باشد.

‏در سال ????فیلیپ هال مفهوم آیزوکلینیسم را به منظور طبقه بندی ‎$‎‎‎p‎$‎‎‏-گروه ها‏ی از مرتبه‏ ی‏ حداکثر ‎$‎‎‎p^5‎$‎‏ معرفی کرد. بر طبق این طبقه بندی تمام این گروه ها در ده خانواده آیزوکلینیکی قرار می گیرند. در این رساله ابتدا تمام خانواده هایی که حاوی حداقل یک حاصلضرب ‎‎‏پوچ توان از گروه های دوری هستند را مشخص می کنیم. سپس ساختار دقیق این حاصلضرب ها را در خانواده های مشخص شده تعیین می نمائیم. به علاوه مفهوم ‎$‎‎‎n‎$‎‎‏- آیزوکلینیسم برای جفت ها از گروه ها را تعریف کرده و آن را به عنوان مبنایی برای طبقه بندی جفت ها در نظر می گیریم. سپس به بررسی و استخراج برخی ویژگی های ساختاری ‎$‎‎‎n‎$‎-‏آیزوکلینیسم پرداخته و به کمک این ویژگی ها، طبقه بندی ‏کاملی از برخی جفت ها از ‎$‎‎‎p‎$‎‎‏-گروه ها ارائه خواهیم داد.

در این پایان نامه قصد داریم با توجه به رابطه بین مرکز دقیق (g,n) و g-مرکز بیرونی n ، محکی برای تشخیص توانایی جفت گروههای آبلی و با تولید متناهی به دست آوریم. همچنین با معرفی شرطی برای شناسایی گروههای آبلی متناهی و توانا معادل بودن این شرط را با شرط بئر نشان می دهیم. در پایان کران بالایی برای رتبه g / g بر حسب رتبه z(g) ، با فرض این که g گروهی توانا و پوچ توان از کلاس دو باشد به دست خواهیم آورد.

در یک گروه دلخواه مثل ‎g‎، پیدا کردن رابطه ی بین ‎g‎ و ‎g/z(g)‎ مهم است، زیرا ‎[g:z(g)]‎ و ا‎g‎ ا میزان آبلی بودن گروه ‎g‎ را مشخص می کنند. اولین نتیجه ی به دست آمده در این مسیر، قضیه ی شور بود، که بیان می کند، اگر ‎g/z(g)‎ متناهی باشد، آن گاه ‎ ‎g‎ متناهی می شود. این قضیه سوال های مختلفی را به وجود آورد، از جمله این که آیا عکس این قضیه نیز برقرار است و یا این که تعمیمی برای جملات بالاتر سری های مرکزی بالایی و پایینی در این قضیه وجود دارد؟ جواب سوال اول با در نظر گرفتن p-گروه های بسیار ویژه نامتناهی منفی است. اما تلاش هایی برای اصلاح کردن این وضعیت انجام شد وبا اضافه کردن شرط هایی نتایجی به دست آمد. به عنوان مثال هالاسی و پادسکی ثابت کردند که اگر ‎g‎ متناهی باشد و زیر گروه فراتینی بدیهی باشد آن گاه اندیس مرکز در گروه کوچک تر مساوی توان دوم مرتبه ی مشتق می شود. قضیه ی شور بعد ها به وسیله ی بئر تعمیم یافت.

شور در سال 1904 ثابت کرد که اگر گروه خارج قسمتی (g/z(g متناهی باشد، آنگاه g متناهی است. در این پایان نامه این نتیجه را توسعه داده و ثابت می شود که اگر (g/z(g بطور موضعی متناهی و از نمای n باشد، آنگاه g بطور موضعی متناهی و نمای آن n–کراندار است. یعنی توسط تابعی که فقط وابسته به nاست، کراندار می شود. در ادامه با توجه به تعاریفی که هگارتی در سال 1994 از g و (z(g به عنوان زیرگروه خودجابجاگر و مرکز مطلق گروه g ارائه داد، نتیجه توسعه یافته شور تعمیم داده می شود. به این ترتیب که اگر (g/z(g بطور موضعی متناهی و از نمای n باشد، آنگاه g بطور موضعی متناهی و نمای آن n–کراندار خواهد بود. علاوه بر این اگر g خود نیز بطور موضعی متناهی باشد، آنگاه نمای آن n–کراندار است. همچنین تعمیم ذکر شده برای g–جابجاگر و g-مرکز نیز بیان و اثبات می شود. مرکز مطلق و زیرگروه خودجابجاگر نیز برای یک رده بزرگ از گروه های آبلی و نامتناهی ارائه خواهد شد. در پایان، سری g–مرکزی بالایی از یک g–گروه و گروه g-پوچتوان از g–کلاس n معرفی می گردند و نشان داده می شود که تحت شرایطی، یک gگروه، یک گروه g–پوچتوان خواهد شد.

در این پایان نامه، ابتدا حاصلضرب تانسوری ناآبلی گروه ها را تعریف می کنیم که از آن تانسور مربعی ناآبلی یک گروه نتیجه می شود. سپس تانسور مربعی ناآبلی p‎-گروه های دو مولدی از کلاس پوچ توانی ‎2‎ را که در آنp? 2 ‎ عددی اول است و همچنین تانسور مربعی ناآبلی گروه های دو مولدی غیرتابدار از کلاس پوچ توانی ‎2‎ را بدست می آوریم. در پایان به بررسی توانایی گروه های دومولدی غیر تابدار از کلاس پوچ توانی ‎2‎ می پردازیم.

فرض کنید ‎g‎ یک گروه، ‎z(g) ‎ مرکز آن و ‎n‎ عدد صحیح مثبت یا ?‎ باشد. گوییم گروه ‎g‎ در شرط c_n‎ صدق می کند یا ‎g‎ یک ‎-c_n‎گروه است اگر برای هر زیر گروه نرمال n از g ‎؛ ‎g^? n‎ یا nz(g):z(g)| < n|. در این رساله نشان می دهیم که اگر ‎n‎ عدد صحیح مثبت و ‎g‎ یک ‎-c_n‎گروه پوچ توان از رده پوچ توانی c>2‎ باشد، آن گاه ‎g‎ مرکزی-بوسیله-متناهی است. هم چنین اگر گروه ‎g‎ پوچ توان از رده3 c>‎ باشد، آن گاه ‎ g‎یک ‎-c_?‎‎گروه‎ است اگر و فقط اگر مرکزی-بوسیله-متناهی باشد. برای یک گروه پیش متناهی ‎ g ‎ نیز نشان می دهیم که ‎ g‎یک c_? ‎ -‎گروه است اگر و فقط اگر مرکزی-بوسیله-متناهی باشد. در واقع هدف اصلی این رساله به دست آوردن اطلاعاتی در مورد اندیس مرکز یک گروه با اعمال شرط متناهی روی زیر گروه های نرمال آن است.

در این رساله قضیه شور مورد بررسی قرار گرفته است که ارتباط گروه خارخ قسمتی مرکزی وزیرگروه مشتق را از حیث متناهی بودن بررسی می کند.

در این رساله به بررسی گروه های توانا و مسائل مربوط به آن از جمله طبقه بندی برخی گروه های توانا و بررسی عکسقضایای شور، بئر و هال می پردازیم. مطالب این رساله شامل پنج قسمت زیر می باشد: • تعیین برخی گروه های توانا از رده پوچ توانی دو. • معرفی برخی گروه های غیر توانا که در عکس قضیه شور صدق می کنند. • تعمیم قضیه ای از پودوسکی و سگدی در مورد عکس قضیه هال به گروه های دلخواه. • تعمیم قضیه ای از هکستر در مورد عکس قضیه بئر. -توانا نیستند. (n + ?) -توانا که n • ارائه مثال هایی از گروه های

این پایان نامه به بررسی مقاله ای از مارسین مازور پرداخته است که هدف اصلی آن طبقه بندی برخی از p-گروه های توانا است. بدین منطور ابتدا ارتباط میان توانایی یک گروه و مرکز دقیق آن را مورد بررسی قرار می دهد سپس با تعیین مرکز دقیق p- گروه هایی از کلاس پوچ توانی دو، توانایی آنها را بررسی می کند. همچنین برای تعیین مرکز دقیق یک گروه، ابتدا دو فضای برداری و یک نگاشت دو خطی بین این دو فضا را معرفی می کند. سپس با استفاده از قضیه ای مسئله تعیین مرکز دقیق به یک مسئله ی جبر خطی تبدیل می شود.

چکیده ندارد.

the thesis has been arranged into five chapters and mainly concerned with the baer-invariant of groups which is the generalization of the schur-multiplier with respect to the variety of groups. chapter one is devoted to collect some notation and background information which are needed in the next chapters. its also contains some important statements which will be generalized in this thesis. chapter two deals with the varietal perfect groups, the generalization of the perfect groups to an arbitrary variety of groups. chapter three contains the generalization of capable groups and some results which will be obtained in this direction. chapter four is devoted to the calculation of the baer-invariants of some groups. chapter five is concerned with the subgroup theorems.