در این مقاله ساکل حلقه ی را با نمایش می دهیم. نشان خواهیم داد که یک - ایده آل است و توابعی در که همه جا به جز در تعداد متناهی نقطه صفر هستند را در بر دارد. سپس نشان می دهیم که ایده آل اول نیست و هم چنین یک - فضاست اگر و تنها اگر c(x)، - خودانژکتیو و یا به طور معادل، ، - خودانژکتیو باشد. ثابت می کنیم ، - فضای شدیداً ناهمبند است اگر و تنها اگر خودانژکتیو باشد. در پایان نیز خواهیم دید که هر گاه یک - فضا و ایده آلی در باشد به طوری که خودانژکتیو نباشد، آن گاه بعد- گلدی ، ناشمار است.

یکی از دلایل کاهش علاقمندی دانش آموزان به هندسه عدم تدریس صحیح این درس، مخصوصا وجود بعضی از اثبات های نادرست می باشد که در اثر خطا در رسم اشکال هندسی به وجود می آید. در این پایان نامه ابتدا نتایج نادرستی که از اینگونه اشکال بدست می آید را با استدلال ریاضی اثبات می کنیم و در ادامه با نشان دادن خطای اعمال شده در شکل، نتیجه نادرست را رد و نتیجه صحیح را ثابت می کنیم. هچنین به برخی از مراکز مثلث که در اینجا با نرم افزار هندسی رسم شده اند اشاره ای خواهیم داشت و برخی ازآنها که مهم تر هستند را ثابت می کنیم. درادامه توجه خود را به خطوط سوایی متقارب در مثلث و بالاخص میانه ها جلب می کنیم و با روشهای مختلف هندسی و آنالیزی، ویژگی منحصر بفرد میانه ها، که همان تشکیل مثلث میانه ها است، را در هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی ثابت می کنیم و همچنین مثال نقضی که نشان می دهد نیمسازها و ارتفاع ها نمی توانند مثلث تشکیل دهند، ارائه می دهیم. در فصل آخر نیز با بیان قضیه ای ثابت می کنیم که غیر از میانه ها، هیچ یک از خطوط سوایی متقارب در مثلث، نمی توانند تشکیل یک مثلث دهند.

تعریف: فضای توپولوژی x، یک فضای k تفکیک پذیر نامیده می شود، اگر به ازای هر دو نقطه متمایز a و b از آن، بتوانیم یک تابع c(x,k) f بیابیم که f(a)=1 و f(b)=0. تعریف: فضای توپولوژی x با خاصیت t1 را، k- منظم می نامیم هرگاه به ازای هر x a و هر زیر مجموعه بسته که بتوانیم یک تابع c(x,k) f بیابیم که f(a)=1 و f(x)=0 و b در x . ابتدا توجه می کنیم که فضاهای k- منظم غیر یکسان ریخت x و y موجودند که (x,k)c و c(y,k) یکریخت می باشند و در ساختار حلقه c(x,k) نمی توانیم k- منظم بودن را بر حسب فشرده بودن بیان کنیم. تعریف: گیریم m1 و m2 مدول های راستی به ترتیب روی حلقه های r1 و r2 باشند. مدول های m1 و m2 را یکریخت گوییم هر گاه یکریختی حلقه ای g از r1 به r2و یکریختی گروهی h از m1 به m2 به گونه ای موجود باشد که به ازای هر f در r1 و x در m1 داشته باشیم h(xf)=h(x)g(f) . قضیه: گیریم k یک حلقه اول توپولوژی و x و y فضاهای k- منظم باشند. در این صورت یکسان ریخت بودن فضاهای x و y با یکریخت بودن (x ,k) c - مدول k^x و (y,k)-c مدول k^y معادل است. قضیه: با فرض اینکه x یک فضای دلخواه و k یک میدان توپولوژی باشد، گزاره های زیر معادلند: الف) حلقه (x,k)c، منظم است. ب) حلقه (x,k)c، -v حلقه است. پ) (x,k)c- مدول k^x، انژکتیو است. ت) (x,k)c- مدولk^x، تخت است. ث) (x,k)c یک زیر مدول سره از (x,k)c- مدول k^x است. گزاره: فرض کنیم x یک فضای k- منظم باشد. در این صورت تمام صفر مجموعه های (x,k)c بازند اگر و تنها اگر در فضای x ، هر مجموعه، باز باشد (x ، p- فضا نامیده می شود.) قضیه: فرض کنیم k یک حلقه توپولوژی دلخواه و x یک فضای k- تفکیک پذیر باشد. در این صورت گزاره های زیر معادلند: الف) فضای x، گسسته است. ب) (x,k)c- مدول k^x آزاد است. پ) (x,k)c- مدول k^x، پروژکتیو است.

در این پایان نامه به بررسی ویژگی های حلقه های صفربعدی می پردازیم. آنچنان که در اغلب کتاب های جبر مقدماتی می توان ملاحظه کرد، هر ایدآل ماکسیمال از یک حلقه ی تعویض پذیر، ایدآلی اول از آن حلقه نیز می باشد. حلقه هایی که در آن ها عکس گزاره ی اخیر نیز برقرار است به حلقه های صفربعدی معروف اند و از دیر باز مورد علاقه ی جبردانان بوده اند. از این قبیل حلقه ها می توان به حلقه های آرتینی، بولی و دامنه ی ایدآل های اصلی اشاره نمود. همچنین یکی از دسته های بسیار شناخته شده و مورد توجه از حلقه های صفربعدی، حلقه های منظم(ون نیومن) می باشد. پس از ارایه ی مفاهیم و مبانی مورد نیاز برای مطالعه ی این نگارش در فصل آغازین، که آن را صفر نامیده ایم، فصل اول را با رویکرد ارایه ی شناخت دقیق تری از ویژگی های حلقه های صفربعدی و منظم و طرح و اثبات گزاره های معادل در باب آن ها نگاشته ایم. کوشیده ایم تا با بررسی موشکافانه ی این دو دسته از حلقه ها از منظرهای گوناگون، از جمله چگونگی ارتباط آن ها با حلقه های ?- منظم، جمعی- منظم، حلقه ی چندجمله-ای ها و همچنین شروط زنجیری ، شناخت کاملی از ساختار آن ها را ارایه نماییم. به علاوه، در بخش دیگری از این فصل بر مفهوم ابرحلقه ی صفربعدی مینیمال متمرکز گشته و نشان داده ایم که اگر زیرحلقه ای از حلقه ی صفربعدی باشد، ابرحلقه ی صفربعدی مینیمال یکتای بر و مشمول در وجود دارد که حلقه ی تام کسرهای یک ابر حلقه ی صحیح بر می باشد. اثبات وجود ابرحلقه ی مذکور را با برهان های گوناگون همراه ساخته ایم و در این مسیر از مفهوم جبر بول و همچنین مفهوم وارون موضعی بهره برده ایم. بخش پایانی فصل اول را با محوریت پژوهش پیرامون شرایط لازم و کافی برای آن که حلقه ای چون در یک حلقه ی صفربعدی قابل نشاندن باشد دنبال کرده ایم. در این مسیر، با طرح قضایای دوسویی پاسخی روشن به پرسش مطرح شده ارایه نموده و در این میان نقش برجسته ی ایدآل های اولیه ی یک حلقه را در قالب معرفی ایدآل گیلمر بیش از پیش آشکار ساخته ایم. به علاوه، برای طرح ساختاری یک دسته از حلقه هایی که قابلیت نشانده شدن در ابرحلقه ی صفربعدی را ندارند، به قلمروی حلقه های ارزیاب وارد شده و پس از بیان قضایایی در باب آن ها، در پرتو یک قضیه ی بنیادین، دسته ی انبوهی از حلقه های مذکور را ارایه نموده ایم. فصل دوم را به بررسی چگونگی انتقال ویژگی ها در عرصه ی حلقه های صفربعدی پرداخته ایم. در بخش نخست، گفتار مفصلی را در باب حاصلضرب حلقه های صفربعدی ارایه نموده ایم. محور تلاش های انجام شده در این پاره از کار به شناسایی شرایطی معطوف می گردد که حاصلضرب دلخواهی از حلقه های صفربعدی، دارای بعد صفر باشد. در قالب قضایای ساختاری، سرنوشت بعد حلقه ی حاصلضربی خانواده ای از حلقه های صفربعدی را به طور کامل آشکار ساخته و با طرح گزاره های معادل به پرمایه تر کردن هرچه بیش تر مطلب در دست بررسی کوشیده ایم. به عنوان یک نتیجه ی برجسته در این بخش، نشان داده ایم که حاصلضرب دلخواهی از حلقه های صفربعدی دارای بعد صفر است اگر و تنها اگر بعد آن بی نهایت نباشد. در بخش دوم از همین فصل، با نگاهی دگرگونه به آنچه پیش تر و در قالب بخش دوم از فصل یک مورد مطالعه قرار گرفت، به نتایج جدیدی دست یافته و گاه مطالب پیشین را با براهین جدیدی همراه ساخته ایم. علاوه بر بررسی زیرحلقه های یک حلقه ی صفربعدی، پاره-ای از مطالعات این بخش به زیرحلقه های صفربعدی یک حلقه ی دلخواه اختصاص یافته است. پاسخ به پرسشی که پیرامون استقلال ابرحلقه ی صفربعدی مینیمال یکتای یک حلقه نسبت به حلقه ی صفربعدی شامل آن مطرح می گردد، شالوده ی قسمت پایانی مطالب بیان شده در این بخش است. در فصل سوم کوشیده ایم تا با اثبات قضایایی، شرایط لازم و کافی برای آن که یک حلقه به طور موروثی صفربعدی باشد را معرفی نماییم. از مفهوم به طور مطلق جبری بودن یک حلقه سخن به میان آورده و اهمیت مشخصه ی یک حلقه را در نیل به این هدف آشکار ساخته ایم. با گسترش میدان پژوهش های این بخش، در جستجوی معرفی شرایطی برآمده ایم که بتوان از زوج صفربعدی سخن گفت و در عرضه ی قضایایی که مبین شرایط لازم و کافی برای به طور موروثی صفربعدی بودن یک حلقه می باشند توفیق یافته و در این مسیر چند قضیه ی بسیار شناخته شده را با صورت بندی زیبا تری ارایه نموده ایم. به عنوان مثال ثابت کرده ایم که حلقه ی بر صحیح است اگروتنها اگر برای هر ایدآل اول مینیمال از ، حلقه ی بر صحیح باشد. با استفاده از قضیه ی اخیر و تعمیم یک قضیه ی کلاسیک دیگر در باب مشخصه ی حلقه ها، صورت بندی جدیدی را برای شروط معادل حلقه های به طور موروثی صفربعدی به اثبات رسانده ایم. در واپسین بخش این نگارش، در مسیر شناسایی زیرحلقه های ماکسیمال قدم نهاده ایم و با عرضه ی بخشی از پژوهش های انجام گرفته در این حوزه، بستر مناسبی را برای تمرکز بر زیرحلقه های ماکسیمال حلقه های صفربعدی مهیا ساخته ایم. با طرح چند قضیه ی اساسی، وضعیت زیرحلقه-های ماکسیمال حلقه های صفربعدی را به طور کامل آشکار ساخته و شخصیت آنها را معرفی نموده ایم. به علاوه شرط لازم و کافی را برای آن که زیرحلقه های ماکسیمال حلقه های صفربعدی دارای بعد صفر باشند را به اثبات رسانده ایم. به عنوان مثال نشان داده ایم که زیرحلقه ها ی ماکسیمال یک حلقه ی صفربعدی دارای بعد صفر می باشند اگر و تنها اگر حلقه تام کسرها باشند. همچنین در یک قضیه ی خوش ساختار نشان داده ایم که هر زیرحلقه ی ماکسیمال از یک حلقه ی صفربعدی یا منظم است و یا جمعی- منظم.

یکی از مشکلات آموزش هندسه در سالیان اخیر، عدم ارتباط هندسه با دنیای واقعی و نیز شاخه های دیگر ریاضیات است. به خصوص مشکل در تدریس هندسه ی جبری در دوره ی کارشناسی، به طوری که مدرسین در انتخاب مباحث مشترک برای تدریس، هم عقیده نیستند. با توجه به این موضوع، ارتباط بین هندسه و جبر در سطح مقدماتی را که در دبیرستان ها می تواند مطرح شود، در این پایان نامه عنوان می کنیم. ابتدا به جبر و ضرورت یاددهی و یادگیری آن پرداخته و نقش تفکر جبری در فهم بهتر هندسه و ایجاد توانایی در حل بهتر مسائل هندسی را بیان می کنیم. در فصل دوم، اهمیت هندسه در برنامه ی آموزشی ریاضی مدرسه ای و قدرت بالای هندسه در برقراری ارتباط با موضوعات مختلف را با ارائه ی چند مثال مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل سوم هم بر موضوع اصلی یعنی ارتباط هندسه و جبر در عین تفاوت مشهود بین آن دو متمرکز شده و راه های پیوند این دو شاخه از ریاضیات را که در سطوح بالاتر به هندسه ی جبری منجر می شود، مطرح می کنیم. در آخر نتایج و پیشنهادات قابل ذکر را بیان می کنیم.

اثبات و استدلال ریاضی از جمله عناصر مهم در ریاضیات می باشند. افزایش توانایی کشف پاسخ و ارائه ی استدلال در دانش آموزان از مهم ترین اهداف آموزش ریاضی است. هدف اصلی پژوهش حاضر بررسی نقش و جایگاه اثبات و استدلال در ریاضیات مدرسه ای می باشد. در این پژوهش با توجه به اهمیت موضوع اثبات و استدلال، ابتدا مطالعه ای در این زمینه صورت گرفت و سپس به منظور ارزیابی میزان درک دانش آموزان از اثبات و استدلال، پرسش نامه ای بر اساس پژوهش انجام شده توسط هلی و هویلز (2000) طراحی شد. در این پژوهش 371 نفر از دانش آموزان دختر سال اول و دوم دبیرستان شهرستان های اهواز و شوش و همچنین 20 نفر از معلمان آنان شرکت داشتند. تحلیل داده ها، با دو روش آمار توصیفی و آزمون خی دو نشان داد که اکثر دانش-آموزان سال اول و دوم دبیرستان اثبات را متوجه نمی شدند و قادر به دنبال کردن یک اثبات رسمی نبودند. آن ها، ذکر چند مثال را به عنوان اثبات می پذیرفتند ولی با این وجود از محدودیت اثبات تحربی آگاه بودند. دانش-آموزان در انتخاب اثبات صحیح در مقایسه با ساخت اثبات صحیح بهتر عمل کردند. همچنین معلمان انتظار داشتند که دانش آموزان اثبات های رسمی را برای گزاره ها بیان کنند و این اثبات ها را درک کنند ولی این پژوهش نشان داد که دانش آموزان اثبات های توضیحی و تجربی را به اثبات های رسمی ترجیح می دهند. شایستگی علمی دانش آموزان، دانش پداگوژیکی معلم (تعلیم و تربیت)، برنامه ی آموزشی و کتاب درسی، همه و همه بر درک دانش آموزان از اثبات تأثیر گذار است.

رابرت لی مور یک ریاضیدان نامدار(توپولوژیست) بوده که روش تدریس معروفی در توپولوژی دارد و توپولوژیست های معروفی از این روش استفاده کرده اند، که در آموزش این مبحث نتایج بسیار خوبی داشته است. در این پژوهش با الهام گرفتن از آن روش،در تدریس هندسه 1 سال دوّم رشته ریاضی فیزیک مقطع متوسطه، سعی شده است علاوه بر بالا بردن سطح علمی دانش آموزان در هندسه، در اثبات قضایای فیثاغورس، تالس و روابط همنهشتی و تشابه، با استفاده از استدلال های شهودی، استنتاجی و استقرایی روش تدریس نوینی جهت استفاده دانش آموزان و آموزشگران هندسه ارائه شود.

حلقه های ریکارت و بئر ارتباط تنگاتنگی با c*-جبرها و جبرهای فون نویمان دارند.کاپلانسکی در سال1955مفهوم حلقه های بئر را معرفی کرد . این حلقه ها در سال 1967 به حلقه های شبه بئر توسیع پیدا کردند. مفهوم حلقه های بئر بسیار کلی تراز مفهوم حلقه های ریکارت است. فعالیتهای کاپلانسکی روی حلقه های بئر سبب شد تا مفهوم حلقه های ریکارت در ابتداتوسط میدا منتشر شود و مطالعات فراوانی توسط هاتوری و بربرین و شماری از نویسندگان در این زمینه انجام شده است.

مفهوم مدولهای ریکارت بهتازگی تعریف شده است. نشان داده شده است که مجموع مستقیم مدولهای ریکارت در حالت کلی یک مدول ریکارت نیست. حال در این پایاننامه به بررسی این سوال میپردازیم که، چه موقع مجموع مستقیم مدولهای ریکارت یک مدول ریکارت است؟ نشان میدهیم اگر برای هر ??<?? ???={0 , 2 ,…,?? } ، مدول ???? ، ???? - انژکتیو باشد، آنگاه ???=0 ?? ???? یک مدول ریکارت است اگر و تنها اگر برای هر ??,?? ??? ، مدول ???? ، ???? - ریکارت باشد. نتیجه میگیریم که اگر مدول ?? ، توسیعی و ناتکین باشد، آنگاه ??(??)??? یک مدول ریکارت است. همچنین بررسی میکنیم چه موقع کلاسی از مدولهای آزاد روی حلقه ?? ریکارت میباشد. در ادامه نشان میدهیم که هر ??? مدول آزاد متناهی تولید شده ریکارت است اگر ?? ، حلقه نیمساده باشد. به عنوان یک کاربرد نشان میدهیم که دامنه تعویضپذیر ?? ، پروفر است اگر و تنها اگر ??? مدول آزاد ??(2) ریکارت باشد. با مثالی برای مدول ?? ، نشان میدهیم که ??(2) ، ریکارت است ولی ??(9) ، ریکارت نیست. به علاوه حلقههای منظم فوننیومان را برحسب مدولهای ریکارت مشخص میکنیم. در آخر نشان میدهیم کلاسی از حلقههای ?? که هر ??? مدول راست متناهی همتولید شده ریکارت باشد، ??? حلقههای راست میباشد

r را به عنوان حلقه در نظرمی گیریم.a ? r را یک مقسوم علیه صفر ضعیف می نامیم اگر وجود داشته باشد r,s ? r کهras = 0 باشد وrs ? 0 . این مطلب نشان می دهد که در هر حلقهr ، اعضایی از ایدآل های اول مینیمال مقسوم علیه صفر ضعیف هستند، مثال هایی وجود دارند که نشان می دهند ایدآ ل اول مینیمال یک حلقه می تواند شامل عناصری باشد که نه مقسوم علیه صفر چپ اند و نه مقسوم علیه صفر راست. در این مقاله نشان می دهیم که در هر حلقه مانند r، عناصر یک ایدآل اول مینیمال مقسوم علیه صفر ضعیف هستند. همچنین در این مقاله اجتماع ایدآل های اول مینیمال در یک حلقه ی 2-اولیه و اجتماع ایدآل های قویاً اول مینیمال در ni-حلقه ها مورد بررسی قرار گرفته اند. همه ی حلقه ها در این مقاله یک دار در نظر گرفته شده اند. (n*(r)، n*(r و (n(r به ترتیب نشان دهنده ی رادیکال اول، بزرگ ترین اید آل پوچ r و مجموعه ی همه ی عناصر پوچ توان r هستند.

در این پایان نامه ابتدا به بررسی حوزه های تجزیه یکتا و حوزه های تجزیه می پردازیم. حوزه تجزیه r را حوزه نیم تجزیه (hfd) گوییم، اگر برای هر عنصر غیرصفر غیریکه داشته باشیم a1a2…an=b1b2…bm، به طوری که ai ها و bj ها در r تحویل ناپذیر باشند، آن گاه n=m. سپس ویژگی های حوزه های نیم تجزیه را مورد بررسی قرار می دهیم. هم چنین حوزه تجزیه r را ohfd می نامیم، اگر a1a2…an=b1b2…bn ، که در آن ai ها و bj ها در r تحویل ناپذیر باشند، آن گاه هر کدام از عناصر ai ها حداقل با یکی از عناصر bj ها شریک باشد. در پایان نشان می دهیم حوزه های ohfd با حوزه های تجزیه یکتا معادل هستند.

در این پایان نامه مدول های قویاً گجسسته را معرفی کرده وخصوصیاتی از آنها را اثبات می کنیم.سپس مشخص سازی هایی از مدول های گسسته وقویاً گسسته را نسبت به خاصیت فرابری نگاشت ها ارایه مکی دهیم. در ادامه نشان میدهیم مدول های بالارونده ی خودتصویری دقیقاًمدول های قویاً گسسته بوده ودوگان مدول های تک انژکتیو گسترنده همان مدول های خودانژکتیو هستند. همچنین ثابت می نماییم که مدول های انژکتیو فون نیومان دقیقاًهمان مدول های خودانژکتیو می باشند.

می دانیم که حلقه ی توابع پیوسته ی حقیقی مقدار روی یک فضای تیخونوف x با( c(x نشان داده می شود. همچنین این گزاره شناخته شده است که هرگاه x وy دو فضای فشرده حقیقی بوده به طوری که (c(x و (c(y یکریخت باشند، آن گاه x و y همسان ریخت خواهند بود؛ یعنی، (c(x فضای x را معین می کند. محدودیت به فضاهای فشرده حقیقی از این حقیقت که (c(x و( c(vx یکریخت می باشند، ناشی می شود که فضای vx فشرده شده ی حقیقی هویت x است. در این پایان نامه خانواده ی فضاهای فشرده موضعی x که به طور سره خانواده ی فضاهای فشرده موضعی ،فشرده حقیقی را در بر دارند، به عنوان خانواده ای که در آن (c(x فضای x را معین می کند، معرفی می شوند. همچنین موضوع به منظور گرفتن نتایج مشابه برای رده های خاص دیگری از فضاهای فشرده حقیقی تعمیم یافته مطرح شده است.

در این پایان نامه بعد تک زنجیری مدول ها را تعریف و بررسی می کنیم. بعد تک زنجیری یک مدول، مقدار انحراف آن مدول از تک زنجیری بودن را اندازه گیری می کند. نشان می دهیم برای حلقه ی r و عدد ترتیبی ، یک r- مدول با بعد تک زنجیری α وجود دارد. هم چنین نشان می دهیم حلقه ی تعویض پذیر r نوتری (آرتینی) است اگر و تنها اگر هر r- مدول متناهی تولیدشده بعد تک زنجیری داشته باشد. در ادامه ویژگی های حلقه هایی که مدول های آن ها بعد تک زنجیری دارند را بیان می کنیم. در واقع نشان می دهیم هر r- مدول راست بعد تک زنجیری دارد اگر وتنها اگر هر r- مدول راست آزاد i=1 rبعد تک زنجیری داشته باشد اگر و تنها اگر r یک حلقه ی نیم ساده آرتینی باشد.

انگیزه ی اصلی برای این کار مطالعه ی مثال هایی از یک حلقه ی اول نوتری r و مرتب های ماکسیمال شامل r، بوده است. فرض می کنیم q یک حلقه ی خارج قسمتی ساده و آرتینی از r باشد؛ در جبر تعویض ناپذیر، مفهوم یک مرتب ماکسیمال در q که شامل r است تعمیمی از بستار صحیح یک دامنه ی صحیح جابه جایی در میدان خارج قسمتیش است. بنابراین در صورت جابه جایی بودن حلقه، فقط یک مرتب ماکسیمال با این شرط وجود دارد. ولی اگر r جابه جایی نباشد، ممکن است تعداد زیادی مرتب ماکسیمال روی q موجود باشد که شامل r هستند؛ پس طبیعی است که از خود بپرسیم چه تعداد از این مرتب های ماکسیمال موجود است؟ و اینکه آیا در یک روش کلی می توان همه ی آن ها را شناسایی کرد؟ برای این کار حالتی را که به طور طبیعی به وجود می آید، مورد توجه قرار داده و این مطلب را که آیا این حالت پتانسیل تعمیم به حالت های کلی تر را دارد یا خیر بررسی خواهیم کرد. فرض می کنیم c یک دامنه ی ددکیند جابه جایی، s یک c-مرتب ماکسیمال در حلقه ی آرتینی ساده ی q، k یک ایدال راست اساسی سره از s با شرط r ،sk=s حلقه ی ایدال ساز k و b کران k باشد. در این صورت مرتب های ماکسیمال در q که شامل r هستند در تناظر یک به یک با ایدال هایی از s می باشند که شامل k بوده و تحت ضرب از چپ در عناصر r بسته اند. سپس نشان می دهیم که مرتب های ماکسیمال شامل r در q، متناهی بوده و در تناظر یک به یک با ایدال های شامل b از s هستند. در این حالت ایدال وارون پذیر ویژه ای به نام x را که نقش مهمی در این مبحث ایفا می کند، معرفی کرده، نشان می دهیم که ترکیب با x روی مجموعه ی مرتب های ماکسیمال شامل r، همانند حاصل ضربی از ترانهش های مجزا عمل می کند. این مطلب ما را به دریافتن اینکه ایدال های وارون پذیر r چگونه با عمل ترکیب روی مجموعه ی مرتب های ماکسیمال عمل می کنند ؛ رهنمون می شود. در انتها توصیف کاملی از ایدال های وارون پذیر r و نحوه ی عملکرد آن ها ارائه می دهیم و به این نتیجه می رسیم که این عمل ترایایی است اگر و تنها اگر r موروثی باشد.

این پایان نامه در 3 فصل تنظیم شده است. در فصل اول مفاهیم وقضایایی از نظریه ی مجموعه ها جبر جابجایی توپولوژی و c(x) که در فصل های بعدی از آنها استفاده کرده ایم آورده شده است . در فصل دوم تعمیمی از فضاهای پراکنده را معرفی کرده ایم فصل سوم را به معرفی زیر حلقه ی cc(x) از c(x) و ارتباط بین ویژگیهای جبری آن و توپولوژی x می پردازیم.