هدف این مقاله مشخص کردن آن دسته از مجتمع های سادکی است که دارای جبر پوشش راسی استاندارد مدرج هستند. برای مجتمع سادکی نشان داده می شود که جبر پوشش راسی از هر زیر مجتمع سادکی آن استاندارد مدرج است اگر و تنها اگر این مجتمع سادکی هیچ دور فرد خاصی نداشته باشد. همچنین جبر پوشش راسی برای جنگل ها و شبه جنگل ها نیز بررسی می شود و نیز یک مجتمع سادکی جنگل است اگر وتنها اگر هیچ دور فرد خاص با طول بزرگتر یا مساوی 3 نداشته باشد.

هدف اصلی این تحقیق،مطالعه بعضی از خواص اساسی ایده آل های تک جمله ای دارای خارج قسمت های خطی وارتباط آن با پوسته پذیری مجتمع های سادکی ومدول های تمیزاست.مفهوم خارج قسمت های خطی به منظورساختن یک تحلیل خطی برای ایده آل های مدرج معرفی گردید.این مفهوم ترکیبیاتی است،امامفهوم تحلیل خطی،یک مفهوم جبری است.نشان می دهیم که اگر(i=(u1,…,umیک ایده آل تک جمله ای ازحلقه ی چندجمله ای[s=k[x1,…,xnدارای خارج قسمت های خطی باشدآنگاه یک ترتیب خطی ازمولدهای iیافت می شودکه از لحاظ درجه صعودی است.همچنین اگر ایده آل تک جمله ایiدارای خارج قسمت های خطی باشدآنگاه مولفه هایiوهمچنینmi دارای خارج قسمت های خطی اندودرنتیجه iبه طورمولفه ای دارای یک تحلیل خطی است.ثابت می کنیم پوسته پذیری مجتمع های سادکی وخارج قسمت های خطی یک ایده آل تک جمله ای،دوگان هم هستند.همچنین ارتباط بین مدول های تمیزو خارج قسمت های خطی ایده آل های تک جمله ای و پوسته پذیری مجتمع های سادکی را بررسی می کنیم.

در این پایان نامه، گراف های پوسته پذیر را مورد مطالعه قرار می دهیم و آنها را دسته بندی می کنیم. به هر گراف ساده ی غیر جهتدار g مجتمع سادکی ?_g را نسبت می دهیم که وجه واره های آن، مجموعه های مستقل از g می باشند. می گوییم g پوسته پذیر است هر گاه ?_g مجتمع سادکی پوسته پذیر باشد. در اینجا منظور از پوسته پذیری یک مجتمع سادکی، پوسته پذیری نامحض می باشد که منطبق بر تعریف بی ژورنر و واخس می باشد. نشان خواهیم داد که همه ی گراف های وتری، پوسته پذیر هستند. بعلاوه، همه ی گراف های دو بخشی پوسته پذیر را دسته بندی می کنیم، که دقیقا همان گراف های دو بخشی دنباله ای کوهن-مکاولی می باشند. همچنین یک روش بازگشتی برای تشخیص پوسته پذیری گراف های دو بخشی ارائه می دهیم و آن را به گراف های دنباله ای کوهن-مکاولی نیز تعمیم می دهیم. سرانجام، مفهوم پوسته پذیری را به خانواده ای خاص از ابرگراف ها، به نام پادزنجیر ها توسیع می دهیم. از این طریق اثباتی جدید برای یکی از نتایج فریدی در مورد دنباله ای کوهن-مکاولی بودن جنگل های سادکی ارائه می دهیم. واژگان کلیدی‎: مجتمع پوسته پذیر، دنباله ای کوهن-مکاولی، ایده آل یالی، گراف های وتری و دوبخشی، پادزنجیر کلا متوازن.

هدف اصلی این تحقیق، محاسبه ی عمق استانلی ایده آل های تک جمله ای و ارتباط تجزیه های استانلی با پالایش های اول و همچنین افرازها می باشد. نشان می دهیم اگرj,iایده آل های تک جمله ای در حلقه چندجمله ای ها باشند، آنگاه عمق استانلی را می توان در تعداد متناهی مرحله محاسبه کرد. همچنین fdepth یک ایده آل تک جمله ای که برحسب پالایش های اول آن ایده آل تعریف می شود را معرفی می کنیم و نشان می دهیم که fdepth را نیز می توان در تعداد متناهی مرحله محاسبه کرد. البته هر دوی این حالت ها با در نظر گرفتن افراز های مناسب از مجموعه های مرتب جزئی بدست می آیند. کلمات کلیدی: تجزیه استانلی، ایده آل مدرج، ایده آل تک جمله ای، پالایش اول، مجتمع سادکی، پوسته پذیری، مدول تمیز، افرازها.

فرض کنیم s حلقه ی چندجمله ای ها و i ایده آلی یکجمله ای تولید شده توسط یکجمله ای های u_1,u_2,...,u_t باشد. ثابت می کنیم که اگر دنباله ی u_1,u_2,...,u_t یک دنباله ی پالایه-منظم روی s یا یک d-دنباله باشد و یا i تقریباً مقطع کامل باشد، آنگاه s/i نسبتاً تمیز است. به ویژه در هر یک از این حالت ها، s/i دنباله ای کوهن-مکالی است و حدس های استنلی و h-نظم برای s/i برقرار هستند. همچنین ثابت می کنیم،اگر i ایده آل استنلی-رایزنر یک مجتمع سادکی موضعاً مقطع کامل باشد، آنگاه s/i در حدس استنلی صدق می کند. سپس کلاسی از ایده آل های یکجمله ای را می سازیم که برای هر عدد صحیح مثبت n یک ایده آل یکجمله ای از این کلاس وجود دارد که تابع عمقش دقیقاً n ماکزیموم موضعی دارد. در نهایت موضعی سازی های یکجمله ای از ایده آل های یکجمله ای را در نظر می گیریم. حدس می زنیم که یک ایده آل یکجمله ای پلی ماترویدآل است اگر و تنها اگر همه ی موضعی سازی های یکجمله ای آن، تحلیل خطی داشته باشند. این حدس برای ایده آل های یکجمله ای خالی از مربع درست است. ما حدسمان را برای چندین حالت خاص دیگر ثابت می کنیم. همچنین مفهوم ایده آل های مولفه ای پلی ماترویدآل را معرفی می کنیم و برقراری چندین خاصیت پلی ماترویدآل ها را برای این کلاس جدید از ایده آل ها بررسی می کنیم.

فرض کنیم c_f (x)ساکل c(x) باشد. نشان می دهیم که هر ایده ال اول در c(x)/(c_f (x)) اساسی است برای هر ،h?c(x) ثابت می کنیم هر ایده ال اول از c(x)/h اساسی است اگر وتنها اگر مجموعه z(h) از صفر مجموعه های h شامل نقاط منفرد نباشد. ثابت شده است که dimc(x)? dimc(x)/c_f (x) که dimc(x) بعد گلدی c(x) می باشد. و نامساوی ممکن است اکید باشد. همچنین به ویژگیهای جبری فضاهای فشرده با حداکثر نقاط منفرد شمارا می پردازیم. برای هر ایده ال اساسی e در c(x) مشاهده می کنیم. e/(c_f (x)) در c(x)/(c_f (x)) اساسی است اگر و تنها اگر مجموعه نقاط منفرد x متناهی باشد.

در این پایان نامه ایده ال های اول وابسته توان های ایده ال های پلی متروایدل مورد مطالعه قرار می گیرند. نشان می دهیم ایده ال های پلی متروایدل دارای ویژگی پایایی است و پلی متروایدل های از نوع ورونزه پلی متروایدل های مورب را بدست می آوریم. همچنین مجموعه پایای ایده ال های اول وابسته را بطور واضح مشخص می کنیم.

بحث این پایان نامه درباره گروه هایی باn نرمالساز است. گوئیم گروهg ?n نرمالساز دارد (g ?nn) اگر وجود داشته باشد زیر گروه های kn...و 2g,k=k1 ازg (که لزومی ندارد از هم متمایز باشند)به طوری که ki ? g برایi? {2,…,n} و این که هر نرمالساز در g برابر یکی از k1,…,kn است. پس در بحث نرمالساز ها ما اصطلاحاتی از قبیل g? nn و g ? n3n2 وغیره را داریم. مثل گوییم g تعداد متناهی نرمالساز دارد ومی نویسیم g?n ، برای هرn?n اگرg?nn. هدف از این پایان نامه بررسی گروه های g متعلق به nn ومشخص کردن گروه های متعلق به n می باشد. ابتدا در فصل اول به بیلن تعاریف اولیه وپیشنیازها می پردازیم.در فصل دوم نشان می دهیم که اگر گروهی متعلق به n باشد یک fc-گروه است. همچنین به بررسی گروه های متعلق به n2 n1 که موضعا متناهی هستند می پردازیم و نیز نشان می دهیم که اگر گروه g تعداد متناهی نرمالساز داشته باشد آنگاه مرکز- بواسطه – متناهی است و بالعکس. در فصل سوم با اثبات وبیان چند مثال به بررسی گروه هایی با سه وچهار نرمالساز می پردازیم. درفصل چهارم گروه هایی با تعدادی متناهی مرکز ساز را مورد بررسی قرار می دهیم ودر پایان در فصل پنجم به بیان تعاریف و قضایایی در ارتباط با گروه هایی با تعداد کمی زیر گروه های نرمالساز می پردازیم.

در جبر جابجایی ترکیبیاتی، راه های متعدد و گوناگونی برای برقراری ارتباط بین اشیای ترکیبیاتی و اشیای جبری وجود دارد. ما در این جا، از طریق متناظر کردن ایده آل های دوجمله ای به گراف ها، به مطالعه ی این اشیا می پردازیم. از این ایده آل ها، می توان به ایده آل یالی دوجمله ای یک گراف اشاره نمود. در این پایان نامه، تمام گراف هایی را که ایده آل یالی دوجمله ای آن ها دارای تحلیل خطی می باشد، رده بندی می کنیم. همچنین، برخی از اعداد بتی مدرج ایده آل های یالی دوجمله ای را بر حسب ویژگی های گراف زمینه محاسبه می نماییم. به علاوه، کران های بالا و پایینی را برای نظم این ایده آل ها، بر حسب مشخصه های گرافی به دست می آوریم. در ادامه، نتایجی را درباره ی ایده آل های 2-کهادهای مجاور یک ماتریس کلی به دست می آوریم.