در این پایان نامه به صورت زیر عمل کرده ایم: در فصل یک ابتدا تعریف کلی از انشعاب وسپس انواع انشعاب و شرایطی که وجود انشعاب ها را تضمین می کنند بیان می گردد. در فصل دو قسمت 2-1، فضای مدارهای منظم تحت متریک هاوسدورف و آبشارها به عنوان زیر مجموعه ای از این فضا بیان گردیده است. در قسمت 2-2 ، همسایگی یک مدار انشعاب نوعی و شرایطی که وجود آبشار های کرانداررا ایجاب می کنند مورد بررسی قرار گرفته است. در قسمت 2-3 ، به هر مدارتناوبی یکی از اعداد 1- و1+ و0 بعنوان اندیس مدار اختصاص داده شده است که ابزار اصلی برای مطالعه آبشارها می باشد و درقضیه آبشارها وجود آبشارها در یک ناحیه پارامتری کراندار بر اساس نوع مدار تناوبی روی مرز اثبات می گردد. در فصل سه قسمت 3-1 ، ثابت می کنیم اگر ، به ازای پارامتر یک نگاشت نعل اسب دو انتقالی باشد یک تناظر یک به یک بین آبشار های دوره بی کران ومدار های منظم دوره آن وجود دارد. در قسمت 3-2، فرمولی برای شمارش تعداد آبشار های بی کران -دوره به ازای یک دلخواه ارائه می دهیم و در قسمت 3-3 ، نشان می دهیم نتایج حاصل، محدود به خانواده درجه دو نمی باشند.

یکی از جالب توجه ترین نتایج در سیستم های دینامیکی گسسته یک بعدی قضیه شارکوفسکی است که به خاطر مفروضات ساده ونتایج قوی در سیستم های گسسته یک بعدی از اهمیت خاصی برخوردار است. این قضیه بیان می کند که اگر یک نگاشت پیوسته باشد و یک نقطه تناوبی از دوره تناوب اول داشته باشد، آن گاه یک نقطه تنـاوبی از دوره تنـاوب اول که در ترتیب شـارکوفسکی ، دارد. عکس این قضیه می گوید که برای هر عدد صحیح مثبت یک نگاشت پیوسته روی بازه وجود دارد به طوری که نقاط تناوبی از دوره تناوب اول دارد اما نقاط تناوبی از دوره تناوب اول ندارند برای هر عدد صحیح مثبت که جلوتر از در ترتیب شارکوفسکی قرار دارد یعنی . در فصل اول ابتدا مختصری درمورد اهمیت قضیه شارکوفسکی و سپس تعریف ها و مفاهیم اولیه مورد نیاز برای اثبات های ارائه شده بیان می شود. سپس دو اثبات مختلف برای قضیه شارکوفسکی که توسط بلاک وهمکارانش در سال 1980 ارائه شده می آوریم. این دو اثبات شبـاهت هـای زیـادی دارند. درآن هـا ایده روشن و واضح است امـا جزئیـات کمی پیچیـده به نظر می رسند. مطالعه یک اثبات به فهم اثبات دیگر کمک زیادی می کند. در ادامه ابتدا وجود دور استفان و سپس با استفاده از آن قضیه شارکوفسکی ثابت می شود. در پایان اثبات های بو-سن دو بیان می شود. در مورد عکس قضیه شارکوفسکی مثال هایی وجود دارند که در کتاب هایی مختلف پراکنده اند. این مثال ها بیشتر مربوط به نگاشت هایی هستند که نقاط تناوبی از دوره تناوب اول 5 دارند اما نقاط تناوبی از دوره تناوب اول 3 ندارند. به هرحال در مقاله ای که توسط استفان نوشته شده است یک روش کلی برای تولید نگاشت هایی که نقاط تناوبی از دوره تناوب اول دارند اما نقاط تناوبی از دوره تناوب اول ندارند، ارائه شده است. به علاوه با استفاده از دو برابر کردن نگاشت ها، نگاشت هایی ساخت که برای هر عدد صحیح مثبت وهر عدد نامنفی ، نقاط تناوبی از دوره تناوب اول دارند اما نقاط تناوبی از دوره تناوب اول ندارند. با استفاده از همین روش می توانست نگاشت هایی بسازد که نقاط تناوبی از دوره تناوب اول دارند اما نقاط تناوبی از دوره تناوب اول ندارند. در فصل دوم یک روش ساده برای ساختن چنین نگاشت هایی ارائه می دهیم که درمقاله ای توسط صابر الیدی آمده است. سپس معادل عکس قضیه شارکوفسکی را بیان و به دو روش اثبات می کنیم. در پایان دو نگاشت دیگر دو برابر کننده دوره تناوب که توسط سن دو ارائه شده ، آورده شده است

در این پایان نامه با استفاده از دنباله ی تودرتوی برخی قطعات بحرانی که توسط کوزولوسکی، شن و ون استرین ساخته شده است و هم چنین با استفاده از لم پوششی که اخیراً به وسیله ی کان و لیوبیچ بیان شده است ثابت خواهد شد که مولفه ی مجموعه ی ژولیای پرشده ی یک چند جمله ای دلخواه از درجه ی d?2 تک نقطه ای است اگر و فقط اگر مدار پیش روی آن شامل هیچ مولفه ی بحرانی تناوبی نباشد. ازاین اثبات فورا نتیجه خواهد شد که مجموعه ی ژولیای یک چندجمله ای مجموعه ی کانتور است اگر و فقط اگر هر مو لفه ی بحرانی مجموعه ی ژولیای پرشده ی آن تناوبی نباشد. این نتایج حدس هایی است که برانر و هابارد در سال 1992 مطرح کردند.مقاله های اصلی که این پایان نامه به کمک آن تدوین شده است مقاله های [3] و [ 8] هستند.

در این پایان نامه ابتدا نگاشت دو متغیره هنون معرفی می شود سپس رفتارهای دینامیکی این نگاشت از جمله ساختار نعل اسبی آن ، وجود نقاط ثابت و متناوب به ازای پارامترهای خاص ، نقاط جاذب دافع و زینی همچنین انشعاب دوره - دو برابر ساز و آبشارهای این خانواده مورد بررسی قرار می گیرد . ثابت می کنیم که برای کلاس بزرگتری از خانواده هنون ساختارآبشار مشابه با حالت غیر تعمیم یافته است . علاوه بر این می توانیم دوره تناوب آبشارونیزتعداد آبشارهای از هردوره تناوب را بشماریم . محاسبات عددی و تجربی صورت گرفته توسط هنون، کاری و فیت حاکی از آن است که این نگاشت دارای رباینده غریب است . در این جا نشان داده می شود به ازای پارامتر به اندازه کافی کوچک a همه نقاط صفحه ، تحت تکرار های نگاشت هنون ، سرانجام به سمت بی نهایت حر کت خواهند کرد . ازطرف دیگر وقتی a به اندازه کافی بزرگ باشد مجموعه ناسرگردان نگاشت با خود ریختی 2- انتقال روی دنباله های با دو نماد ، مزدوج توپولوژیک است. در فصل 1 تا حدودی این نگاشت معرفی شده و ثابت شده که وابرریختی3 اســـت ، در فصل دوم به کمک ماتریس ژاکوبین ثابت شده یک نقطه جاذب ، دافع و یا زینی است ، همــچنین، نشان داده شده که به ازای پارامترهای خاصی ، انشـعاب مماسی و دوره – دوبرابر ساز وجـود دارد ، در فصل سـوم ثابت می شود که به ازای پارامترهای خاصی ، مجموعه نقاط ناسرگردان با مجموعه نعل اسبی مزدوج توپولوژیک است و بالاخره در فصل چهارم ، وجود آبشارهای دوره – دوبرابر ساز ونیز تعداد آنها به کمک قضیه ای مــورد بررسی قرار گرفته است .

نگاشت های پیوسته از خط حقیقی به خودش ، به طور طبیعی ، یک ترتیب جزئی روی دور ها تعریف می کند . دراین پایان نامه پس از معرفی این ترتیب جزئی ، مفاهیم مقدم بلافصل و تالی بلافصل یک دوررا بیان کرده و شرایط لازم وکافی برای این که یک دور ، مقدم بلافصل داشته باشد را تعیین می کنیم و چگونگی ساخته شدن تالی بلافصل رابیان می کنیم و این الگوریتم را با استفاده از گراف های جهت دار برچسب دار بیان می کنیم،همچنین چند جمله ای های مشـخصه ی آن هارابا استفاده از ماتریس مجاورت تعیین می کنیم. سپس آن را در مورد انشعاب دوره – دوبرابرسازتناوب، که متداول ترین مسیر به آشوب ، برای یک سیستم دینامیکی غیر خطی است ، بهکار می بریم .

رفتار و نوع مدارهای مختلف در دستگاههای دینامیکی گسسته تحت پارامتر ممکن است با تغییر پارامتر تغییر کند. دراین صورت در این دستگاه انشعاب رخ می دهد. مسئله این است که با تغییر پارامتر معمولا چه نوع انشعابی در دستگاه رخ می دهد و خواص این انشعاب چیست و تحت چه شرایطی رخ می دهد. در این جا هدف ، دسته بندی انشعابات مداری نوعی در دستگاههای دینامیکی گسسته و بررسی خواص این انشعابات است .سپس با فرض نوعی بودن انشعابات به بررسی آبشارها و شمارش تعداد آنها در یک خانواده یک پارامتری هموار می پردازیم . کلید واژه ها: انشعاب دوره -دوبرابرساز ، انشعاب زینی –گره ای ، انشعاب هوپف، آبشار، اندیس مدار

هدف این پایان نامه بررسی مجموعه های امگا حدی و شناخت خواص آن، آشنایی با مجموعه نقاط بازگشتی و ناسرگردان یک تابع ،معرفی رابطه ی پروکسیمال و مجموعه های – f جدانشدنی و نهایتاً ارائه ی مطالبی در رابطه با آنتروپی صفر و آشوب برای توابعی است که روی بازه ای از اعداد حقیقی تعریف می شوند. همچنین نشان داده می شود که رابطه ی پروکسیمال برای نگاشت هایی که روی بازه های حقیقی تعریف می شوند و دارای آنتروپی صفر هستند ، یک رابطه ی هم ارزی است و در این حالت مجموعه زوج هایی که f – جدا نشدنی هستند تهی یا شمارش پذیر است .

یکی از جالب ترین نتایج در سیستم های دینامیکی یک بعدی قضیه ی شارکوفسکی است که به دلیل مفروضات ساده و نتایج قوی، از اهمیت خاصی در سیستم های دینامیکی برخوردار است. این قضیه بیان می کند که اگر f:i?i یک نگاشت پیوسته باشد، که دارای یک نقطه ی تناوبی از دوره ی تناوب kاست، آنگاه f دارای یک نقطه ی تناوبی با دوره ی تناوب n نیز می باشد که k قبل از n در ترتیب شارکوفسکی است. در اینجا صورت دقیق قضیه ی شارکوفسکی بیان و اثبات می شود و سپس تعمیمی از این قضیه روی m-نگاشت ها بررسی می شود و نشان داده می شود که حکم این قضیه روی m-نگاشت ها برقرار است با این تفاوت که حداکثر ممکن است دو استثناء در طول مدار داشته باشد. برای تشریح بیشتر این موضوع، مثلاً ?-مدار از یک m-نگاشت وجود تمام k-مدارها برای هرk قبل از n را ثابت می کند. استثنای ممکن برای k=4,6 می باشد. یعنی ممکن است ?-مدار و ?-مدار را نداشته باشد

هر چندجمله ای از درجه ی سه تحت یک نگاشت مستوی با یک چندجمله ای به شکل cz+az^2+z^3 که a,c متعلق به c^2 است، مزدوج می باشد. ما حالت خاص c=1، یعنی چندجمله ای درجه سه به شکل z+az^2+z^3 که صفر نقطه ی ثابت سهموی آن از ضریب 1 است را در نظر می گیریم. فرض کنید f یک چنین چندجمله ای باشد. پهنه ی جذب صفر دقیقاً یک مولفه ی همبندی دارد که شامل صفر در مرزش است؛ به جز برای z+z^3 که صفر نقطه ی ثابت سهموی از مرتبه ی دو است و در بستار دقیقاً دو مولفه ی همبندی قرار دارد. اجتماع این مولفه ها را با b نمایش می دهیم که پهنه ی جذب بلاقصل نامیده می شود. ابتدا همبندی موضعی مرز b را در نقطه ی ثابت سهموی و همه ی تکرارهای تصویر معکوس آن و بعد برای بقیه ی نقاط مرز b ثابت می کنیم. بنابراین مرز پهنه ی جذب بلافصل b همبند موضعی است. در واقع، b به طور همدیس با قرص واحد برابر است. بنابراین با استفاده از قضیه ی کاراتئودری، مرز b یک خم است. با به کار بردن اصل ماکزیمم، به آسانی دیده می شود که مرز b یک خم ژوردن است.

در این جا مفهوم آشوب مقاوم با ارائه ی مثال های متعدد مورد بررسی قرار می گیرد. ثابت می شود تمام اعضای یک خانواده نگاشت های هموار یک کوهانی با آشوب مقاوم با هم مزودج توپولوژیک هستند. اما در مورد نگاشت های چند کوهانی این مطلب برقرار نیست. و به طور کلی هذلولوی بودن در خانواده نگاشت های نوعی چگال است.

در این پایان نامه مثالی از نگاشتی که از صفر تا بی نهایت به صفر تا بی نهایت تعریف می شود و دارای مجموعه در هم ریخته است ارائه می دهیم. به وسیله دینامیک نمادین نشان می دهیم که این نگاشت دارای مجموعه در هم ریخته ناوردای ناشمارا است و در پایان نتیجه می گیریم که این نگاشت آشوبناک است.

یک فضای خطی متناهی بر v نقطه با b خط یک فضا است که در آن از هر دو نقطه درست یک خط عبور می کند. در این پایان نامه ما مقالات زیر را که مربوط به فضاهای خطی ایت را بررسی می کنیم. melone, n. (1991). a structure theorem for finite linear spaces. lecture notes math, 2, 231-241. bridges, w.g. (1972). near 1-designs. j. combinatorial theory (a), 13, 116-126. varga, l.e. (1985). a note on the structure of pairwaise balanced designs. j. comb, th, (a) 40, 435-438. de bruijn, n.g., p. erdos. (1948). on a combinatorial problem. inding, math, 10, 421-423.

مفهوم آنتروپی توپولوژیک در سال ‎1965‎ در مقاله ای تحت این عنوان توسط آدلر‎ ‎و کونهیم‎ برای اولین بار معرفی شد.‎این مفهوم یک اندازه ی عددی ست برای نگاشت هایی‎‎ که روی یک فضای توپولوژیک تعریف می شوند و میزان پیچیدگی سیستم را در مورد این نگاشت ها تعیین می کند.‎‎ در‎‎ این پایان نامه ابتدا مفا‎‏هیم مقدماتی مربوط به سیستم های دینامیکی که در فصل های دوم و سوم مورد نیاز است را با ذکر مثال شرح خواهیم داد.در فصل دوم ابتدا تعریف آنتروپی برای یک پوشش باز دلخواه را بیان می کنیم‏، سپس برای نگاشت پیوسته ای که از یک فضای فشرده به خودش تعریف شده است‏، آنتروپی آن نگاشت مربوط به پوشش باز را تعریف می کنیم‏، در مرحله ی بعد تعریفی برای آنتروپی نگاشت ارائه می دهیم که به پوشش باز وابسته نیست و آنرا آنتروپی توپولوژیک می نامیم.‏ در ادامه ویژگی های اصلی آنتروپی توپولوژیک را بیان می کنیم و خواننده بطور ملموسی با این تعریف آشنا خواهد شد.‎ ‎‎سپس‎ خواص آنتروپی برای یک بازه ی فشرده را بیان می کنیم‏.‎در فصل سوم این پایان نامه‏، هدف ارائه ی روشی برای محاسبه ی آنتروپی توپولوژیک دسته ای خاص از نگاشت ها روی یک بازه می باشد. بنابراین ابتدا نگاشت های یک کوهانی را معرفی می کنیم‏، سپس قراردادهایی را معرفی می کنیم و بر اساس آنها روشی برای شمارش تعداد بازه هایی که نگاشت روی آنها یکنواست ارائه می دهیم و در نهایت الگوریتمی برای محاسبه ی آنتروپی توپولوژیک نگاشت هایی که راهنامه ی نقاط بحرانی آنها مشخص باشد و ویژگی های بیان شده را داشته باشند به دست می آوریم.

در این پایان نامه میخواهیم الگوریتمی برای مشخص کردن تعداد لپ های (زیربازه های اکیدا یکنوا) تکرارهای نگاشتlکوهانی دوبارمشتق پذیر f با خودش را پیدا کنیم. به کمک این الگوریتم ما می توانیم مقدار عددی آنتروپی توپولوژیک را برای چنین نگاشت هایی محاسبه کنیم. این الگوریتم به کمک دنباله های مین - ماکس (دنباله های نمادینی که اطلاعاتی درباره همه اکسترمم های تکرارهای نگاشت f به دست می دهد) می آید.

دراین پایانه به تعریف مجموعه غالبی تام ،عددغالبی تام و عدد پوچساز پرداخته و در نهایت رابطه بین آنها مورد بررسی قرار می گیرد. و در نهایت به بررسی این رابطه γt (t)≤a(t)+1 روی درخت های پرداخته می شود و اثبات این حدث را روی درخت ها ارادئه می دهیم .

در این پایان نامه دو اثبات از قضیه شارکوفسکی ارائه می دهیم. اثبات اول بر مبنای گراف مارکوف علامت دار و همچنین ماتریس نظیر آن است. اثبات دوم بر مبنای ساختار دوبرابر ساز از ترتیب شارکوفسکی است. همچنین اثباتی از عکس قضیه شارکوفسکی ارائه می دهیم.