در این تحقیق می خواهیم در مورد چند جمله ایهای خاصی که معروف به جی-جی لورنتس است که با ضرایب حقیقی مثبت یا نامنفی می باشند بحث کنیم. که با توجه به رابطه ای می توان نمایش های دیگری از این چند جمله ایها را نوشت در این مقاله ثابت می کنیم که یک چند جمله ای غیر صفر به صورت چند جمله ای لورنتس نوشته می شود اگر و تنها اگر هیچ ریشه ای در بازه (1و1-) نداشته باشد اگر چند جمله ای درجه دوم (p(x هیچ ریشه ای در دایره واحد نداشته باشد آنگاه d(p)=2. ما نامساوی های مارکوو و برنشتین را برای چند جمله ای های لورنتس با درجه های معمولی را بدست می آوریم.

برای حل مسائل فیزیکی در اکثرمواقع آنها را به معادلات ریاضی تبدیل می کنیم . چنین معادلاتی ،غالباً به معادلات دیفرانسیل با شرایط اولیه و مرزی مشهور می باشند . به دلیل اینکه اینگونه معادلات که از مسائل واقعی فیزیکی مدل شده اند ، غیر خطی هستند یافتن جوابهای تحلیلی برای آنها دشوار و یاغیر ممکن است . در گذشته به دلیل عدم پیشرفت فناوری کامپیوتر ، برای حل آنها از روشهای عددی، مشکلات زیادی وجود داشت. بنابراین در راستای رفع این مشکلات ، تلاشهای زیادی برای حل آنها به روش تحلیلی صورت گرفته است. ازجمله این روشها حدس جواب مورد نظر به صورت یک تابع بسط داده شده است مانند بسط تیلور، بسط تداخلی و روش هموتوپی و روش تجزیه آدومیان می باشد. در این روش ها با حدس جواب به صورت بسط یک تابع و با قرار دادن آن در معادله دیفرانسیل و خارج کردن معادلات ساده تر و خطی به یک دستگاه معادلات خطی خواهیم رسید که جواب مورد نظر را پدید می آورد. این روشها را می توان نوعی حل تقریباً دقیق نامید که توانایی بسیاری در حل معادلات عمومی ، پاره ای غیر خطی و دستگاه معادلات جبری غیر خطی دارند

معادلات دیفرانسیل، به سه دسته معادلات دیفرانسیل خطی، معادلات دیفرانسیل غیرخطی و معادلات دیفرانسیل نیمه خطی دسته بندی می شوند. براساس این دسته بندی یکی از انواع معادلات دیفرانسیل نیمه خطی، معادلات دیفرانسیل نیمه خطی مرتبه دوم می باشد که معادلات موج و گرما از این دسته هستند. در حالت کلی این گونه معادلات همواره دارای جواب قابل کنترل نمی باشند، به همین دلیل در بسیاری از مسائل به جای محاسبه جواب کلی، با محاسبه تابع انرژی که از لحاظ کاربردی دارای اهمیت ویژه ای در مسائل فیزیکی است، رفتار جواب معادله را مورد بررسی قرار می دهند. موضوع این پایان نامه بحث درباره وجود یا عدم وجود جواب کلی برای دسته ای از این معادلات با شرایط اولیه معلوم می باشد. در فصل 3 این پایان نامه ابتدا تابع انرژی را محاسبه می کنیم و می بینیم با شرایط اولیه داده شده این تابع انرژی منفی می باشد. سپس تابع فعال معادله را به دست می آوریم. و در نتیجه نشان می دهیم که در یک زمان متناهی مشخص، جواب معادله غیرقابل کنترل می باشد.

چکیده ازبین رفتن وتخمین میزان افت حرارت برای یک جواب از معادله نیم خطی گرما به وسیله ی: جواد تیرگان وجود یا عدم وجود جواب های سراسری برای معادلات دیفرانسیل جزئی همواره مورد توجه ریاضی دانان بوده است. با پیشرفت علم و مطرح شدن مسائل پیچیده فیزیکی و نیاز برای جواب های این نوع مسائل، اثبات قضایای وجودی نقش بسیار مهمی در عرصه معادلات دیفرانسیل پیدا کرده اند، به خصوص که دست یافتن به جواب های صریح تحلیلی در بسیاری از این معادلات بسیار دشوار است. بنابراین در بسیاری از این موارد، ریاضی دانان به جای بدست آوردن جواب های تحلیلی یک مسأله، به بررسی رفتار جواب ها روی دامنه های مورد نظر می پردازند.در این پایان نامه ،در فصل سوم ما یک مسأله مقدار اولیه با رابطه ی زیر را در نظر می گیریم u_t-div(|?u|^(?-2) ?u)=b|u|^(p-2) u p>??2,b>0 x??,t>0 تحـت شرایط مناسب روی داده های اولیه ثابت می کنیم که انرژی جوابهای ضعیف برای 2=?? به صـورت تابع نمایی و برای 2<?? با نرخ چند جمله ای افت می کند ،سپس در فصل چــهارم یک مسأله غیرخطی هذلولوی با تابع لویس را درنظر می گیریم، در واقع در این فصل با استفاده لم کالانتاروف-لادیژنسکایا ثابت می کنیم که دریک زمان متنـاهی جواب غـیرقابل کنترل می شود. درنهایت نشان خواهیـم داد جواب ها دریک زمان متـناهی باانرژی نامثبت اولیه غیـرقابل کنترل می شود.

از آنجا که اکثر مباحث کاربردی فیزیک به عنوان مثال شناسه دینامیک، الکترومغناطیس، نظریه فیزیک کوانتمی و . . . توسط معادلات دیفرانسیل جزئی بررسی می شوند، بنابراین مطالعه معادلات دیفرانسیل جزئی و به خصوص جواب های تحلیلی آنها از اهمیت ویژه ای برخوردار است. اما در عمل به دست آوردن جواب صریح تحلیلی دشوار و اغلب غیر ممکن است. بنابراین در بسیاری از موارد ریاضی دانان به جای به دست آوردن جواب تحلیلی یک مسئله، به بررسی رفتار جواب روی یک دامنه خاص می پردازند. در این پژوهش،معادله ی ویسکولاستیک غیر خطی که در سال2001توسطmarcelomoreiracavalcanti،valérianevesdomingoscavalcantiوferreiraدر مجله ی maringaبه چاپ رسیده است را بررسی کرده و وجود سراسری جواب ضعیف و همچنین افت یکنواخت تابع انرژی با فرض تاثیر عامل میرایی قوی در دامنه و اینکه تابع سست سازی به طور نمایی نزول می کند را ثابت می کنیم

در این رساله رفتار مجانبی پاسخ های رده هایی از معادلات هذلولوی در دامنه های کراندار و نیمه نامتناهی را مورد بررسی قرار خواهیم داد. در دامنه های باز کراندار تمرکز ما بر رفتار نسبت به زمان جواب ها برای رده هایی از معادلات موج از نوع viscoelastic خواهد بود. هدف اصلی، اثبات وجود سراسری پاسخ ها، تعیین افت و یا مشخص کردن عدم وجود پاسخ هاست. برای این منظور یکی از مهمترین ابزارها به نام potential well method را به کار خواهیم گرفت بطوری که وجود سراسری جواب ها را می توان با نوعی تعریف از مجموعه های پایدار استنتاج کرد و در نتیجه تخمین هایی برای افت جواب ها به دست آورد. همچنین نتایجی مبنی بر عدم کرانداری پاسخ ها را به شرط آن که مقادیر اولیه در شرایطی صدق کنند به دست می آوریم. یک جنبه دیگر از مطالعه ما در این پایان نامه به بررسی تخمین های فاصله ای (spatial estimates) برای رده هایی از معادلات غیر خطی موج در دامنه های نیمه نامتناهی استوانه ای اختصاص دارد. هدف اصلی یافتن نرخ های رشد یا افت جواب ها با فاصله گرفتن از انتهای متناهی دامنه است. نکته اصلی در این رابطه ساختن توابع انرژی است به ترتیبی که با ساختن نامعادلات دیفرانسیلی ثابت کنیم که در نهایت پاسخ ها به صورت نمایی افت یا رشد می کنند.

مسئله ی مقدارمرزی واولیه برای یک معادله ی ویسکوالاستیک باجملات میرایی ومنبع غیرخطی بردامنه یی کراندار درنظرگرفته شده است. نزولی بودن انرژی جواب این مسئله تحت شرایطی روی تابع سکون وداده ی اولیه بحث شده است.

جواب عمومی یک معادله ی دیفرانسیل معمولی خطی شامل ثابت های دلخواه است در حالی که جواب عمومی یک معادله ی دیفرانسیل جزئی خطی شامل توابع دلخواه است. از طرفی در اکثر موارد جواب عمومی یک معادله ی دیفرانسیل جزئی باید در شرایط دیگری موسوم به شرایط مرزی که از فیزیک مسئله ناشی می شود, صدق کند. اعمال این شرط در مورد معادلات دیفرانسیل جزئی به علت وجود تنوع زیاد در انتخاب تابع دلخواه, در مقایسه با معادلات دیفرانسیل معمولی بسیار مشکل تر است. به همین علت جوابهای معادلات دیفرانسیل جزئی، موارد استفاده ی کمتری دارند. بنابراین در بسیاری از مسائل از جمله مسئله ی مورد بحث در این پژوهش،کارشناسان فن به جای به دست آوردن یک جواب کلی، با به دست آوردن انرژی سیستم که از لحاظ کاربردی از اهمیت ویژه ای برخوردار است, رفتار جواب سیستم را مورد بررسی و تحلیل قرار می دهند. این روش موسوم به روش انرژی است. در این پژوهش به تحلیل تابع انرژی دو کلاس از معادلات موجی می پردازیم. در فصل سوم تابع انرژی معادله ی موجی غیرخطی با شرایط مرزی و در فصل چهارم تابع انرژی معادله ی موجی غیرخطی با جمله میرا مورد بررسی قرار می گیرند. در روند این بررسی ها با اطمینان از وجود جواب, تابع انرژی را محاسبه نموده و با استفاده از قضایا و گزاره هایی که اثبات هر کدام در متن پایان نامه آمده است، نشان می دهیم که تابع انرژی هر دو معادله ی ذکر شده به صورت نمایی کاهش می یابند.

دست یافتن به جواب های صریح و تحلیلی برای بسیاری از معادلات دیفرانسیل جزئی همواره کار ساده ای به نظر نمی رسد،این در حالی است که می توان با استفاده از روش های مختلف به بررسی چگونگی رفتار جواب آنها پرداخت. از اینرو در بسیاری از مسائل ریاضیدانان به جای بدست آوردن پاسخ های تحلیلی یک مسأله ، به بررسی جواب ها در دامنه های مورد نظر پرداخته اند.بنابراین یکی از ارزنده ترین بررسی ها در معادلات دیفرانسیل بررسی جواب ها بدون یافتن پاسخ تحلیلی آنهاست که ما در این پایان نامه به آن پرداخته ایم. ما به تحلیل و بررسی رفتار موضعی جواب های رده هایی از معادلات هذلولوی شامل عبارات پراکندگی خواهیم پرداخت. روشی که برای بررسی جواب این دسته از معادلات برگزیده ایم ، روش انرژی است.این روش دست مایه بسیاری از تحقیقات انجام شده در دهه های اخیر می باشد.ایده اصلی بکارگیری این روش بررسی رفتار انرژی جواب ها با توجه به شرایط مسأله می باشد. در فصل دوم این پایان نامه به بررسی رفتار انرژی معادله ی موج غیر خطی شامل عبارات پراکندگی تحت شرایط مرزی غیر خطی می پردازیم و در فصل ? تحت شرایط مرزی یکسان و ایده ای مشابه رفتار انرژی جواب معادله ی موج خطی شامل عبارات پراکندگی تحت شرایط مرزی غیر خطی را مورد بررسی قرار می دهیم. در واقع در این دو فصل ، رفتار جواب ها ، در دامنه های استوانه ای شکل نیمه بینهایت مورد بررسی قرار خواهند گرفت و قضایایی از نوع فراگمن- لیندلوف(phragmen-lindel?f) به اثبات می رسند به گونه ای که با بدست آوردن نرخ انرژی نشان خواهیم داد چگونه با دور شدن از انتهای دامنه ، انرژی جواب ها تغییر می کنند.

در این رساله به بررسی رفتار جواب های رده ای از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی در دامنه های کراندار می پردازیم . این معادلات به فرم نیم-خطی و غیر خطی برای مسایل مستقیم و معکوس مورد مطالعه قرار می گیرند . به ویژه، تاثیر شرایط مختلف فیزیکی را در مساله، نظیر وجود موانع و منابع، پراکندگی و چسبندگی در معادلات موج و گرما بررسی می کنیم و به دنبال شرایطی می گردیم که متضمن وجود سراسری یا عدم وجود سراسری جواب ها، انفجار و یا افت جواب ها باشند .

در این ‎‎پایان نامه معادله چسبناک کشسان u_(tt )-?u+?_0^t??g(t-s) ?u(s)ds+a(x) u_(t ) ?+u|u|^r=0‎‎‎ را با شرایط اولیه و شرایط مرزی دیریکله بررسی می کنیم. ‎افت تابع انرژی بستگی به افت تابع سکون‎‎‎‎g(t) در بی نهایت دارد. در‎‎ کار اخیر ‎‎‎messaoudi‎‎‎ در مقاله های ‎[‎12‎]‎‎‎ و ‎[‎13‎]‎‎‎ نشان داده شد که افت تابع انرژی همانند افت تابع سکون می باشد که ‎لزوما به صورت چندجمله ای یا نمایی نمی باشد.‎ همچنین تحت فرض هایی روی توابع g(x)‎، ‎‎‎a(x)‎‎ ‏و توان حقیقی ‎r‎ و ‎با‎ معرفی انرژی آشفته‎‎ ‎‎در مقاله ی ‎[17]‎‎ مورد مطالعه قرار می دهیم که افت انرژی جواب همانند افت تابع سکون‎‎ می باشد که لزوما به صورت نمایی یا چند جمله ای نمی با‎شد‎.

تجزیه و تحلیل تراکنش بین سلول های ایمنی بدن و واکسیناسیون جهت درمان سرطان به وسیله یک مدل ریاضی تبیین شده توسط مشتقات مرتبه کسری در این تحقیق یک مدل ریاضی جهت تبیین تراکنش بین سلول های ایمنی و غده سرطانی، که به صورت یک دستگاه دینامیکی است، را مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم. در این مدل تأثیر سلول های سیستم ایمنی بدن و برهم کنش بین آن ها بر روی دوره های نهفتگی و بازگشت بیماری سرطان مورد توجه قرار می گیرد. همچنین در این مدل دلایل مربوط به رشد و یا جلوگیری از رشد سلول های سرطانی بررسی می شود. و یک دلیل قابل قبول برای اینکه چرا گاهی اوقات روش های درمان سرطان به جای جلوگیری از پیشرفت بیماری، باعث تشدید آن می شود را ارائه می دهیم. لازم به ذکر است که مطالعات انجام شده در این پایان نامه بر اساس مقاله "on immunotherapies and cancer vaccination protocols: a mathematical modelling approach" نوشته badal joshi و همکاران، چاپ شده در journal of theoretical biology شماره 259 سال 2009، صفحات 827-820 می باشد. برای بررسی مدل مورد بحث پس از بی بعدسازی دستگاه و گسسته سازی آن به وسیله روش های عددی جواب تقریبی آن را به دست می آوریم. سپس با رسم نمودارهای مربوط به مقادیر اولیه مختلف سلول های ایمنی و مقادیر مختلف پارامترها نتایج قابل توجهی از واکنش طبیعی سیستم ایمنی بدن بر روی بیماری سرطان مشاهده می شود. همچنین با توجه به ویژگی های مشتقات مرتبه کسری نسبت به مشتقات مرتبه صحیح، از جمله خاصیت غیرموضعی بودن آن، به بررسی این دستگاه با مشتقات مرتبه کسری می پردازیم. به نظر می رسد در این مسئله نتیجه جالبی نداشته است که ممکن است به دلیل خطای ما در پیاده سازی روش های حل عددی مشتقات مرتبه کسری و یا سخت بودن دستگاه باشد.

چکیده ندارد.

در سال های اخیر توجه قابل ملاحظه ای جهت برآورد جوابهای معادلات دیفرانسیل جزئی صورت گرفته است. در بسیاری از این مطالعات اصول قضیه فراگمن -لیندلوف مورد استفاده قرار گرفته است. در این راستا معادلات دیفرانسیل جزئی غیر خطی از اهمیت خاص برخوردار بوده است. به عنوان نمونه روسمن ‏‎(j.i. roseman 1973)‎‏ از تعمیم قضیه فراگمن=لیندلوف در معادلات بیضوی غیر خطی مرتبه ی دو استفاده کرده است. هم چنین هورگان و همکارانش ‏‎(c.o. horgan 1977)‎‏ از این تعمیم در معادلات بیضوی شبه خطی مرتبه دوم استفاده کرده اند. مطالعات بسیار دیگری نیز در این راستا صورت گرفته که در این نوشتار به آنها اشاره شده است، ما نیز در این پایان نامه از این قضیه و تعمیم آن جهت برآوردی نزولی در جواب برخی از معادلات هذلولوی غیر خطی استفاده خواهیم کرد. در واقع نشان خواهیم داد که اگر جواب این معادلات در یک نرم انرژی کراندار باشد، آنگاه این جواب بایستی در یک نرم انرژی و دامنه بی کران هنگامی که به سمت انتهای دامنه نزدیک می شویم به صورت نمایی نزولی باشد، جهت این هدف ابتدا یک برآورد انرژی برای جواب مساله با مقدار مرزی یک دسته از معادلات هذلولوی حرارتی در دامنه نیمه متناهی خواهیم داشت. سپس با استفاده از این نتایج یک برآورد نزولی برای معادلات هذلولوی غیر خطی میرا خواهیم داشت. در پایان نیز جوابهای دو معادله هذلولوی میرا با ضرایب میرایی متفاوت را مقایسه خواهیم کرد و سپس یک نامعادله ضمنی را که نشان دهنده رابطه ای پیوسته بین این ضرایب میرایی است، بدست خواهیم آورد.

پیشرفت عظیم فیزیک در دو قرن اخیر را باید مرهون نظریه معادلات دیفرانسیل دانست . این معادلات اساس فیزیک نظری را تشکیل می دهند که معادلات دیفرانسیل جزیی مهمترین بخش این نظریه می باشند. در این راستا کاربرد معادلات جزیی در مسائل انتقال حرارت و ترموالاستیک از اهمیت خاصی برخوردار است . به عنوان نمونه می توان از کارهای بزرگ فوریه در قرن نوزدهم و ناسلت در قرن بیستم در زمینه انتقال حرارت و همچنین کارهای پیشگامانه دافرموس بر روی ترموالاستیسیتی خطی که باعث پیشرفت قابل ملاحظه ای بر روی مفاهیم ریاضی ترموالاستیسیتی گشته نام برد. در این پایان نامه به دو مسئله جدا از هم خواهیم پرداخت : یکی در انتقال حرارت و دیگری در ترموالاستیک. در واقع در مورد مسئله انتقال حرارت نشان خواهیم داد که اگر جواب این مسئله در دامنه ای نیمه متناهی یک نرم افزار انرژی کراندار باشد انگاه این جواب بایستی در یک نرم انرژی ، هنگامی که از انتها متناهی دامنه دور می شویم به صورت نمایی نزول پیدا می کند. بدین منظور در فصل 3 ابتدا یک برآورد انرژی برای جواب مسئله به دست آورده و سپس با استفاده از قضایای آنالیز ریاضی یک برآورد نزولی برای آن خواهیم یافت. فصل 4 جوابهای دو مسئله گرمایی با ضرایب پخشی متفاوت را مقایسه خواهیم کرد و نامعادله صریحی را که نشاندهنده وابستگی پیوسته به این ضریب است به دست خواهیم آورد در پایان نیز برای یک میله ترموالاستیک با میرایی ضعیف غیر خطی با استفاده از یک نامساوی انتگرالی ترکیب شده با روش ضربی ، برآوردی از افت انرژی به دست خواهیم آورد.