در سراسر این رساله، یک حلقه جابجایی، یکدار و غیر بدیهی و یک - مدول یکانی می باشد. زیر مدول سره از را یک زیر مدول اول می نامند هرگاه به ازای هر و ، ایجاب کند یا . گردایه همه زیر مدولهای اول (ماکسیمال) مدول را با نماد ( ) نمایش می دهیم. نگاشتهای و را به ترتیب نگاشتهای طبیعی طیف اول و طیف ماکسیمال مدول می نامند. یک به یک و پوشا بودن این نگاشتها، نقش بسیار مهمی در مطالعه توپولوژی های زاریسکی بر روی طیف اول یک مدول ایفا می کند. در فصل سوم این رساله ما مدول را از منظر یک به یک بودن این نگاشت طبیعی مطالعه خواهیم کرد و این دسته از مدولها را مدولهای انژکتیو می نامیم. این رسته جدید از مدولها شامل مدولهای تاپ، ضربی و ضربی ضعیف می باشد. ما آن دسته از مدولهایی را که نگاشت طبیعی مربوط به طیف ماکسیمال آنها پوشا می باشد مدولهای ms می نامیم. این دسته جدید از مدولها، مدولهای پرایم فول را به طور اکید در بر دارند. علاوه بر این، مدول را یک مدول فول ماکسیمال می نامیم هرگاه هر زیر مدول اول آن در یک زیر مدول ماکسیمال قرار گیرد. بر روی طیف اول یک مدول، تا کنون سه توپولوژی زاریسکی متمایز تعریف شده است. ایجاد ارتباط بین خواص جبری یک مدول و خواص توپولوژیک طیف اول آن، تحت این توپولوژی های زاریسکی، یکی از اهداف اصلی این رساله می باشد. در فصلهای چهارم و پنجم این رساله، به بررسی خواص توپولوژیک این سه فضای توپولوژیک، تحت شرایط جبری مختلف بر روی مدول خواهیم پرداخت. مهمترین این موارد دست یافتن به شرایط جبری است که تحت آن، این فضاها به یک فضای توپولوژیک اسپکترال تبدیل شوند. ما در فصل پنجم این رساله در مورد اسپکترال بودن هر سه فضای زاریسکی موجود، یعنی و و نتایجی را به دست آورده ایم. در فصل پنجم ، ما به این حدس و این سوال تحت شرایطی خاص پاسخ مثبت داده، قضیه زیر را اثبات می کنیم: (5-16) قضیه: اگر یک مدول انژکتیو برروی حوزه ایده آل اصلی باشد، آنگاه الف) هر زیر مجموعه بسته و تحویل ناپذیراز دارای یک نقطه کلی است. ب) اگر یک فضای توپولوژیک نوتری باشد، آنگاه فضای توپولوژیک اسپکترال است. ج) یک فضای اسپکترال است اگر و فقط اگر متناهی باشد یا غیر تابدار باشد. همچنین ما در مورد اسپکترال بودن فضای ، در فصل پنجم اثبات می کنیم: (5-12) قضیه: فرض کنیم یک - مدول پرایم فول تاپ باشد. آنگاه یک فضای توپولوژیک اسپکترال است اگر به ازای هر ایده آل اول از ، و هر خانواده از عناصر مانند داشته باشیم در فصل آخر این رساله، گردایه ای از مثالهای متنوع از انواع مدولها به همراه طیف اول و ماکسیمال آنها معرفی و ارتباط میان خواص جبری این مدولها و خواص توپولوژیک طیف اول آنها بررسی و تحلیل شده است.

فرض کنید r یک حلقه ی جابجایی و یکدار باشد. در این پایان نامه، r - مدول هایی را که هر زیرمدول سره آن ها اول (نیمه اول) است، مورد مطالعه قرار داده و در ادامه زیرمدول هایی که زیرمدول صفرشان تنها زیرمدول اول است، مشخص می گردند. اهم مطالعه ی انجام شده برگرفته از منبع [2]است.

در این پایان نامه رابطه بین زیرمدول های اول و ماکزیمال بودن یک زیرمدول از دیدگاه های مختلف و شرایط زنجیر افزایشی و کاهشی روی زیر مدول ها و تعمیم بعد کلاسیک کرول مربوط به آنها را از منابع [4] و [7] مورد مطالعه قرار می دهیم.در واقع نوتری بودن را تعمیم می دهیم.و بعد حلقه را روی مدول ها می آوریم وبعد اول را با سوپریمم معرفی می کنیم.

هنگاهی که در نظریه مدول ها یک مفهومی تعریف می شود، به طور طبیعی این سوال مطرح می شود که دوگان این مفهوم به چه صورتی است؟ آیا نتایج بدست آمده دوگانشان نیز برقرار است؟ هدف اصلی ما در این رساله، پاسخ به سوالات فوق در برخی از مفاهیم در نظریه مدول ها است. در فصل دوم از این رساله، مدول های ضربی را مورد مطالعه قرار خواهیم داد و در این رابطه نتایج جدیدی را بدست می آوریم (ر. ک. [12]، [13]، [20] ، [22] و [23]). در [9]، مدول های هم ضربی تعریف شده اند و نتایجی در مورد این کلاس از مدول ها بدست آمده اند. در فصل سوم از این رساله، این کلاس از مدول ها را به طور وسیع مورد مطالعه قرار خواهیم داد (ر. ک. [12]، [13]، [14]، [17]، [20]، [21]، [22]، [23] و [24]). در بخش نخست از فصل چهارم، مدول های کاملا" خود توان را به عنوان تعمیمی از حلقه های کاملا" خود توان تعریف خواهیم کرد. بعلاوه مدول های کاملا" محض را برحسب زیرمدول های محض تعریف کرده و در این رابطه نتایجی را اثبات خواهیم کرد. در بخش دوم از این فصل، دوگان مدول های کاملا" خود توان و کاملا" محض را تعریف می کنیم و به مطالعه خواص آنها می پردازیم (ر. ک. [19]). در فصل پنجم، دوگان زیرمدول های اول، (یعنی، زیرمدول های ثانی) را مورد مطالعه قرار می دهیم و در این رابطه دوگان رادیکال اول یک زیرمدول، مدول های مجزا شده و مدول های ضربی ضعیف را تعریف و مورد بررسی قرار می دهیم (ر. ک. [15]، [16] و [25]). در فصل ششم، دوگان زیرمدول های قویا" اول و برخی از تعمیم های زیرمدول های اول از قبیل ضعیفا" اول، نیمه اول و اولین را تعریف می کنیم و در این زمینه نتایج مفیدی را اثبات می کنیم (ر. ک. [18]).

تاکنون تحقیقات فراوانی درباره زیرمدولهای اول،اولیه و مدولهای ثانویه روی حلقه های جابجایی انجام گرفته است. در این پایان نامه مدولهای هم اولیه روی حلقه های ناجابجایی را مورد مطالعه قرار داده و ایده الهای هم وابسته به یک مدول و تجزیه هم اولیه مدولهایی با ایده آلهای هم وابسته معین و یکتایی آن را بررسی می کنیم.

فرض کنید یک حلقه تعویض پذیر و یک – مدول و ایده آل متناهی مولد از باشد. در این پایان رساله زنجیرهای صعودی و نزولی خاصی از زیرمدولهای ، یعنی ، ، و را به تفصیل مورد بررسی قرار می دهیم. مطالب مورد مطالعه برگرفته از مقالات [10] ، [19] و [20] است.

در سال های اخیر، تحقیقات وسیعی درباره مدول های ضربی روی حلقه های جابجایی صورت گرفته است. در این تحقیق برخی از ویژگی عای زیرمدول های معکوس پذیر مدول های ضربی را که تعمیمی از ایده ال های معکوس پذیرند بررسی می کنیم.همچنین مدول های ددکیند و پروفر ضربی باوفا را مشخص کرده و تعدادی از خواص آنها را با جزئیات بیشتر مورد مطالعه قرار می دهیم.

فرض کنیم r یک حلقه جابجایی، یکدار، غیر بدیهی وm یک r- مدول یکانی باشد. در فصل دوم و چهارم این رساله، زیر مدول های اول و ماکسیمال m را مورد مطالعه قرار داده و چهار رده جدید از مدول ها با عناوین max - ضربی ضعیف،max - انژکتیو، قویا تاپ و max - قویا تاپ مدول را معرفی نموده و خواص جبری آن ها را مشخص می سازیم. در فصل سوم این رساله، ارتباط بین خواص جبری مدول m و خواص توپولوژیک طیف ماکسیمال آن (با توپولوژی زیر فضایی زاریسکی) را مورد بررسی قرار داده و نتایج جدیدی را در این ارتباط به دست می آوریم. در فصل پنجم، دوگان مدول های بخش پذیر را معرفی‏ می کنیم و ارتباط آن ها را با بعضی رده های دیگر از مدول ها مشخص می کنیم.

فرض کنیم r یک حلقه ی جا بجایی باشد . فرض کنیم x=?spec?_r (m) طیف اول m با توپولوژی زاریسکی باشد . در این پایان نامه با استفاده از خواص توپولوژیکی x، شرایطی را که ?max?_r (m)= ?spec?_r (m) بررسی می کنیم . به علاوه بعدهای توپولوژیکی x را هنگامی که x یک فضای توپولوژیکی نوتری باشد را بررسی می کنیم . مطالعه ی مورد بحث از مقالات [1] ، [2] و [4] برگرفته شده است . واژه های کلیدی : زیر مدول های اول ، توپولوژی زاریسکی ، فضای توپولوژیکی نوتری ، همبندی ، تحویل ناپذیری .

در این پایان نامه برخی از خواص اساسی مربوط به مدول های هم ضربی را با جزئیات بیشتر مورد مطالعه قرار می دهیم.

در این پایان نامه برخی از خواص اساسی مربوط به مدول های ضربی تحویل پذیر را بیان و بررسی می کنیم.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.