هدف از این پایان نامه، ارائه یک قضیه ی نگاشت باز، برای توابع غیر هموار که الزاماَ لیپ شیتز نیز نیستند، می باشد. برای اثبات چنین قضیه ای از یک ژاکوبین تعمیم یافته که آن را ژاکوبین تقریبی می نامیم، استفاده می کنیم. و قضایای تابع وارون و تابع ضمنی را به عنوان نتایجی از قضیه نگاشت باز، اثبات می کنیم. هم چنین، به ارا ئه چندین قضیه ی نقطه ی ثابت برای نگاشت های تعریف شده روی خمینه های ریمانی کامل خواهیم پرداخت. علاوه بر این، به اثبات نتایجی از قضیه ی حساب تقریبی روی خمینه های ریمانی می پردازیم.

در این پایان نامه مسأله ی تخصیص مینی ماکس منابع را بررسی خواهیم کرد. در واقع مسأله ی ذکر شده، تعدادی منبع را به یک سری از فعالیت ها اختصاص می دهد، به گونه ای که بیشترین انحراف وزنی از هدف خاص، مینیمم شود. مسأله ی تخصیص مینی ماکس را در دو حالت مختلف بررسی می کنیم: مسأله ی تخصیص مینی ماکس منابع با تابع هدف خطی و مسأله ی تخصیص مینی منابع ماکس با تابع هدف غیر خطی. در هر دو حالت، فرض شده است که، قیود مسأله خطی هستند. در فصل های آغازین به بیان این گونه مسائل با تابع هدف خطی می پردازیم، الگوریتم هایی برای حل آن ها ارائه می دهیم و آنالیز حساسیت و آنالیز پارامتری را بیان می کنیم. در فصول ذکر شده با استفاده از ساده سازی مسأله ی اصلی یا ارائه ی یک تقریب برای آن، به حل مسأله می پردازیم. در نهایت، در فصل آخر این گونه مسائل را در حالتی که تابع هدف غیر خطی می باشد، بررسی می کنیم و با استفاده از یک سری عبارت های جبری، الگوریتمی کارا برای حل آن ها بیان می کنیم.

در این پایان نامه در نظر داریم مساًله ی برنامه ریزی دو سطحی را مورد بررسی قرار دهیم. ابتدا تعریفی از این نوع مسائل و همچنین یک کاربرد از آن ارائه می دهیم. در ارتباط با همین مساًله دو مساًله ی کمکی تعریف می کنیم و نقاط بهینه موضعی مساًله برنامه ریزی دوسطحی را با در نظر گرفتن نقاط تعادلی مربوط به مساًله کمکی، بدست می آوریم. همچنین با توجه به چگونگی تعریف نقاط تعادلی به حل مساًله برنامه ریزی دوسطحی به کمک روش سیمپلکس می پردازیم. همچنین برای مساًله برنامه ریزی دوسطحی با تابع هدف چند هدفه در سطح دوم یک الگوریتم برحسب روش جریمه ارائه می دهیم و همین مساًله را نیز بر اساس شرایط kkt بررسی می کنیم. کلیدواژه ها: برنامه ریزی دوسطحی، برنامه ریز چند هدفه، بهینه سازی نامحدب، نقطه تعادلی، روش سیمپلکس، روش جریمه، شرایط kkt

در این پایان نامه به تشریح روشی عددی که در حل مسائل بهینه سازی خطی و غیر خطی و نیز کلاسی از مسائل بهینه سازی غیر هموار ضمن حضور مجموعه ای از محدودیت ها، کارآمد است، پرداخته می شود. این روش، الگوریتم تعمیم یافته الگوی جستجو و به اختصار gps نامیده می شود. این روش برای مسئله نامقید بیان می شود و قضیه همگرایی سراسری در خصوص این الگوریتم اثبات می گردد. همچنین نتایج مشابهی تحت مفروضات متعادلی در ضمن حضور قیود کرانداری و قیود خطی ارائه می شود . پس از آن تعمیم این الگوریتم را برای مسئله تقریب l1 ، که نمونه ای از مسائل ناهموار است، در نظر گرفته می شود و نهایتاً تعمیم الگوریتم برای کلاس بزرگتری از مسائل بهینه سازی ناهموار معرفی می شود. در انتها نیز نتایج تحقیقی پیرامون برنامه ریزی چند هدفه ضمیمه می شود.

در این پایان نامه روش نقطه تقریبی را برای کلاس خاصی از توابع غیر محدب، روی خمینه های هادامار بررسی می کنیم. دنباله ی تولید شده توسط این روش، خوش تعریف است. به علاوه ثابت می کنیم که هر نقطه ی انباشتگی از این دنباله، در شرایط بهینگی صدق می کند و تحت شروطی روی این دنباله، همگرایی آن برای یک می نیمم کننده بدست می آید. هم چنین روش نقطه تقریبی را با استفاده از فاصله ی برگمن برای حل مسائل بهینه سازی محدب و شبه محدب، روی خمینه های هادامار تعمیم می دهیم. در این حالت نیزدنباله ی تولید شده خوش تعریف است و همگرا به یک جواب بهین از مسئله می باشد. در ادامه ویژگی های همگرایی را برای روش تقریبی کلاسیک که قابل استفاده برای مسائل شبه محدب است، بدست می آوریم. ودرنهایت، چندین مثال از فواصل برگمن، در فضاهای نااقلیدسی، ارائه می دهیم .

یک نامساوی کلی برای خانواده ای از زیرخمینه های مسطح همدیس را بررسی می کنیم . سپس چند ناوردای ریمانی را معرفی کرده و ارتباط این ناورداها را با ناورداهای ذاتی و خارجی برای کلاسی از خمینه ها بیان می کنیم . همچنین نشان می دهیم که این روابط برای زیرخمینه های دلخواه در حالت کلی برقرار نمی باشد .