فرض کنیم دامنه d زیرمجموعه ای از صفحه مختلط باشد و fn دنباله ای از توابع مرومورفیک بر d باشد. دنباله fn را بر d همگرای نرمال به تابع f گوییم هرگاه fn روی زیر مجموعه های فشرده d همگرای یکنواخت به f باشد. خانواده f از توابع مرومورفیک بر دامنه d یک خانواده نرمال است هرگاه هر دنباله در f دارای زیر دنباله ای به طور نرمال همگرا بر d باشد.هدف ما در این پایان نامه بررسی نرمال بودن یک خانواده از توابع مرومورفیک می باشد که مقادیری مجزا در صفحه مختلط را از دست می دهند و توسیع این مقادیر مجزا به توابع مجزا می باشد. در واقع هدف توسیع قضیه معروف مانتل می باشد که بیان می کند یک خانواده از توابع مرومورفیک بر دامنه dکه سه مقدار مجزا در صفحه مختلط گسترش یافته را از دست می دهند نرمال است. در واقع سوال طبیعی که به ذهن می رسد این است که اگر به جای این مقدیر مجزا توابع مرومورفیک مجزا را جایگزین کنیم آیا باز هم حکم برقرار است . جواب این سوال مثبت است که در این پایان نامه با استفاده از چندجمله ایها با ضرایبی از توابع تحلیلی به اثبات آن می پردازیم.

یک معادله دیفرانسیل پاره ای، معادله ای است که رابطه ای بین یک تابع مجهول با دو یا چند متغیر مستقل و مشتقات جزئی آن تابع نسبت به آن متغیرها بیان می کند. یک مسأله مقدار مرزی، یک معادله دیفرانسیل است همراه با یک مجموعه از محدودیت ها به نام شرایط مرزی. حل یک معادله دیفرانسیل، یعنی یافتن تابعی که در آن معادله و شرایط مرزی آن صادق باشد. مسائل مقدار مرزی در بسیاری از شاخه های علم فیزیک کاربرد دارند. برای مثال مسائل شامل معادله ی گرما یا معادله ی موج اغلب به صورت مسائل مقدار مرزی بیان می شوند. ما در این پایان نامه به بررسی وجود و یکتایی جواب مسأله ی کوشی برای معادلات دیفرانسیل پاره ای در فضاهای باناخ می پردازیم. به طور خاص ثابت می کنیم اگر‎‎$e$‎‎ فضایی باناخ باشد، در این صورت برای توابع هموار ‎‎$e$‎‎ -مقدار ‎‎$‎f(x ‎, t‎)$‎‎ و ‎‎$‎‎varphi_0(x), varphi_1(x), ‎ldots, ‎varphi_{k-‎1}(x)$‎‎ که $t‎ in bbb r$ و ‎$‎x‎‎‎ in bbb ‎r^n$‎‎‎‎ مسأله ی زیر جواب یکتا دارد:‎‎ ‎[‎ ‎d_t^k‎ u(t , x) + sum_{j=0}^{k-1} ‎‎sum_‎{| alpha|=0‎}^infty a_{j, alpha} d_t^j d_x^alpha u(t , x) = f(t , x) ]‎ [ ‎d_t^j‎ u(0 , x) = ‎‎v‎arphi_j(x)‎ quad quad (j=0 , ldots , k-1) ]‎ در اینجا ضرایب ‎‎$a_{j‎ , alpha}$‎ عملگر های خطی و کران دار روی ‎‎$e$‎‎ هستند. ‎‎

این پایان نامه که شامل ‎4‎ فصل می باشد به بررسی همریختی های فشرده بین این نوع جبرهای لیپ شیتس می پردازیم. برای این منظور ابتدا جبرهای لیپ شیتس را معرفی می کنیم و شرایطی را که این جبرها، کامل و همچنین طبیعی باشند، بیان می نماییم. سپس به بررسی همریختی ها روی جبرهای لیپ شیتس پرداخته و شرایط لازم و کافی را برای این که همریختی ها فشرده باشند، بیان می نماییم در فصل اول، مفاهیم مقدماتی موردنیاز را یادآوری می کنیم. فصل دوم شامل سه بخش می باشد: در بخش اول، عملگرهای فشرده روی فضاهای باناخ را معرفی و برخی قضیه های مربوط به آن را بیان می کنیم. در بخش دوم، ابتدا همریختی ها روی جبرهای تابعی را معرفی می نماییم، سپس قضیه مشخص سازی همریختی های فشرده روی جبرهای تابعی را بیان و اثبات می نماییم. هرگاه‎a‎ و ‎b جبر تابعی باناخ با فضای ایده آل ماکسیمالm (a) و m (b) باشند، همریختی t:a? bرا القا شده توسط نگاشت?:m (b) ? m (a) گوییم هرگاهtf = f ^? ? برای هر .f ?a‎در حالتی که‎a و ‎b ‎جبرهای تابعی باناخ طبیعی باشند، همریختی القا شده ‎t:a? b‎در رابطه بالا به صورت tf = f ? ? برای هر f ?aمی باشد که در آن m(a)‎ فضای ایده آل ماکسیمال‎a است. چنان چه a=b نگاشت‎ t درونریختی القا شده توسط ? نامیده می شود. در بخش سوم، جبر نرم دار‎ d1(x)را روی مجموعه فشرده و کامل x معرفی نموده و برای یک جبر تابعی طبیعی‎ bزیرمجموعه d1(x) است وطیف درونریختی های فشرده t:b ? b ‎را بررسی می کنیم. فصل سوم شامل سه بخش می باشد: در بخش اول، ابتدا‎ x را یک مجموعه فشرده و کامل در صفحه مختلط در نظر می گیریم، سپس به معرفی جبر تابعی‎dn(x) متشکل از همه توابع مختلط مقدار روی‎ x که دارای مشتق مرتبه ‎n‎ام پیوسته روی‎x است، می پردازیم و شرایطی را بیان می کنیم کهdn(x) تحت نرمش کامل است. سپس برای یک دنباله جبری m=(mn)جبر d(x,m) متشکل از توابع بی نهایت بار مشتق پذیر را تعریف می کنیم. در بخش دوم، ابتدا جبرهای لیپ شیتس از توابع مشتق پذیر lip(x,m,?) را روی مجموعه فشرده و کاملx تعریف کرده سپس به ارائه برخی زیرجبرهای آن پرداخته، شرایط کامل بودن و طبیعی بودن این نوع جبرهای لیپ شیتس را بیان می نماییم. در بخش سوم، شرایط کافی را برای این که نگاشت?:x?y یک همریختی‎t‎: ‎lip(y,m,?) ? lip(x,m,?) القا کند، بیان می کنیم. فصل چهارم شامل چهار بخش می باشد: در بخش اول، شرط کافی برای این که نگاشت ? :x ?y یک درونریختی فشرده مانند t‎: ‎lip(x,m,?)? lip(x,m,?) ‎ را وقتی‎ x=[0,1] القا کند، بیان می کنیم. در بخش دوم، درحالتی که ‎ xیک مجموعه کلی باشد، شرط کافی برای این که‎? : x ? x یک درونریختی فشرده مانند ‎t‎: ‎lip(x,m,?)? lip(x,m,?) ‎ را القا کند، بیان می کنیم.در بخش سوم، عکس مسأله را در حالتی که‎ x گوی واحد بسته یا دایره واحد باشد، بررسی می کنیم. یعنی بررسی می کنیم اگرm=(mn) یک دنباله غیرتحلیلی،‎ 0< ? <1 و درونریختی فشرده ‎t: lip( x,m,?)? lip(x,m?) توسط خودنگاشت ?‎: ‎x ?x القا شده باشد، آنگاه ‎|?(z)|<1 هرگاه حداقل یکی از شرایط مورد نظر را داشته باشد. در بخش چهارم، وقتی که‎xیک مجموعه منظم یکنواخت و جبرهای لیپ شیتس طبیعی باشند، به بررسی طیف درونریختی های فشرده روی جبرهای لیپ شیتس می پردازیم.

قضیه بسیار ساده و موثر است که اولین بار در سال 1922 در پایان ?? قضیه نقطه ثابت باناخ شد و تعمیم ?? ی x نگاشت کانان پرداخت و ثابت کرد که اگر ?? به نام کانان به معرف ?? در سال 19?9 شخص گاه هر نگاشت کانان دارای نقطه ثابت است. نکته قابل توجه آن است

?? تحلیل d بر f ی مختلط باشد. اگر

قضیه نقطه ثابت باناخ بان می کند که اگر یک فضای متری کامل و یک انقباض باشد به این معنی که وجود داشته باشد که برای هر ،آنگاه دارای نقطه ثابت یکتا می باشد .ریاضی دانان زیادی در جهات مختلف قضیه نقطه ثایت باناخ را تعمیم داده اند.در این پایان نامه به بررسی قضیه نقطه ثابت میر-کیلر که تعمیمی قدرتمند از قضیه نقطه ثابت باناخ است،می پردازیم.این قضیه بیان می کند اگر در شرط انقباضی میر- کیلر صدق کند یعنی برای هر وجود داشته باشد به طوری که اگر آنگاه ،آنگاه دارای نقطه ثابت منحصر به فرد است .در ادامه یک مشخصه سازی از شرط انقباضی میر-کیلر برحسب روابط تابعی ارائه می دهیم ،به این ترتیب که دسته ای از توابع که آن را با نشان می دهیم معرفی می کنیم و نشان می دهیم یک نگاشت میر-کیلر است اگر و فقط اگر یافت شود به طوری که برای هر .این مشخصه سازی نشان می دهد قضیه ثابت میر-کیلر تعمیمی از قضیه نقطه ثابت بوید-وانگ نیز می باشد.

در این پایان نامه ابتدا برخی خواص پایه ای فضاهای متری مخروطی را بیان می کنیم سپس نشان می دهیم هر متر مخروطی d روی x یک توپولوژی روی x القا می کند و این توپولوژی مترپذیر است. یعنی متر x×x?r:? وجود دارد که و توپولوژی یکسان روی x القا می کنند. در ادامه مثال هایی از مترهای معمولی که در این خاصیت صدق می کند بیان می شود و در آخر برخی از قضایای نقطه ثابت را مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه ابتدا به معرفی فضاهای متری مخروطی کامل می پردازیم و سپس برخی از قضایای نقطه ثابت را که در فضاهای متری (معمولی) برقرار است برای فضاهای متری مخروطی بیان و اثبات می کنیم. در ادامه از این حقیقت بهره می گیریم که تحت شرایطی یک فضاهای متری مخروطی(x,d) مترپذیر است یعنی متر? وجود دارد که (x,d) و (?x,) دنباله های کوشی و دنباله های همگرای یکسان دارند. لذا برخی از قضایای نقطه ثابت در فضاهای متری مخروطی که ظاهرا تعمیمی از قضایای نقطه ثابت در فضاهای متری است تعمیمی واقعی به حساب نمی آید.

خاصیت تخمین محدب فضاهای باناخ را به منظور بدست آوردن روشی یکپارچه برای خواص تخمین مختلف شامل، انواع کلاسیک آن، نظیر، خاصیت تخمین مثبت شبکه های باناخ و خاصیت تخمین دوتایی هایی از فضاهای باناخ مطالعه می کنیم. هدف اصلی ما با ترفیع خواص تخمین متریک و متریک ضعیف فضاهای باناخ به فضای دوگانشان در ارتیاط است. به عنوان کاربردی آسان،این گزاره که بدست می آید که اگر x^* یا x^** دارای خاصیت رادون-نیکودیم باشند، آن گاه خاصیت تخمین x^* که توسط زیرمجموعه ای محدب از عملگرهای فشرده مزدوج شامل 0(به ویژه خاصیت تخمین مثبت x^*) تعریف شده است، متریک است.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.