در این رساله، مفهوم گراف دوگان مقسوم علیه صفر را برای یک حلقه تعویضپذیر، معرفی می نماییم و خواص این گراف را مورد بررسی قرار می دهیم. مفاهیمی مانند همبندی، قطر، عدد رنگی و عدد خوشه ای را در این گراف مطالعه می کنیم. همچنین ارتباط میان این گراف و گراف مقسوم علیه صفر را مطالعه می کنیم. به علاوه گراف دوگان مقسوم علیه صفر را برای توسیع هایی از حلقه تعویضپذیر، مورد مطالعه قرار می دهیم. نیز گراف دوگان مقسوم علیه صفر را برای یک مجموعه جزئا مرتب تعریف کرده و مورد بررسی قرار می دهیم.

هدف در این پایان نامه مطالعه و شناسایی روشمعادلات چندجمله ای برایس خل مسائل نظریه گراف هاو استفاده از نظریه الگوریتمی ایده آل های چند جمله ای است.با استفاده از این روشها برخی از ویژگی های گرافها مشخص میشود. به عنوان مثال شرط k-رنگ پذیری یک گراف معادل است با خل یک دستگاه معادلات مشخص. همچنین میتوان در مورد داشتن دور همیلتونی گراف اطلاعاتی به دست آورد.

هدف از این پایان نامه این است که با استفاده از پایه های گروبنر شرایطی را بیان کنیم که یک گراف به طور منحصربه فرد –رنگ پذیر بوده و همچنین تعیین این که چه موقع یک گراف 3-رنگ پذیر با مثلث می باشد. در این پایان نامه رنگ پذیری ایده آلها را مورد بررسی قرار داده و همچنین نشان می دهیم که –رنگ پذیری گراف معادل با این است که برای هر ایده آل

فرض کنید rحلقه نوتری و جابجایی و aیک ایده ال سره از حلقه ی rباشد.همچنینra n:=gradeدراین صورت نشان میدهیم endr(hna(r)?extnr(hna(r),r).همچنین ثابت میکنیم که برای عدد صحیح غیر منفی nبه طوری که برای هر i?n ،0=hia(r) باشد،اگر برای هر i>0 وa?zوextir(rz,r)=0آنگاه endr(hna(r)تصویر همریخت حلقه ی rاست که rzحلقه ی کسرهای rنسبت به زیر مجموعه ی بسته ی ضربی{zj|j?0}ازrمی باشد.علاوه بر این اگر برای هرa ?z داشته باشیم homr(rz,r)آنگاه همریختی حلقه ای کانونی ??:r?endr(hna(r)یکریختی است.

یکی از شاخه های جدید جبر، جبر ترکیبیاتی است که به ارتباط میان جبر و گراف پرداخته و خواص آن ها را بیان می کند. در این پایان نامه، به ارتباط میان عناصر مقسوم علیه صفر حلقه و گرافی که بتوان به آن ها متناظر کرد، می پردازیم و بیان می کنیم که در چه صورت این گراف، مسطح است. همچنین مفهوم مسطح بودن را از صفحه به سطوح با عدد گونای حداکثر یک، تعمیم می دهیم. و حلقه هایی را که گراف متناظر با آن ها از عدد گونای حداکثر یک برخوردار می باشد، شناسایی می کنیم.

فرض کنید r حلقه جابجایی و نوتری و m یک r -مدول متناهیا تولید شده باشد. فرض کنید i ایده آلی از r باشد که توسط عناصر دنباله ای از عناصر تولید میشود. میدانیم مدولهای کوهمولوژی موضعی در حالت کلی با تولید متناهی نیستند. فرض کنیدt بزرگترین اندیسی باشد که مدول کوهمولوژی موضعی با تولید متناهی نیست. آنرا بعد متناهی بودن مدول کوهمولوژی موضعی m نسبت به آن ایده آل گوئیم. در این پایان نامه هدف این است که ایستایی برخی از مجموعه ایده آل های اول وابسته به برخی از مدولها را در نقطه t بررسی کنیم.

در سال های اخیر گراف های بسیاری به ساختارهای جبری مثل گروه، حلقه، نیم گروه و مجموعه های مرتب جزیی نسبت داده شده اند. یکی از این گراف ها که اولین بار توسط بک در سال ‎1988‎ معرفی شد گراف مقسوم علیه صفر بود. در سال ‎2009‎‏، این مفهوم بر روی مجموعه های مرتب جزئی برده شد. از انواع دیگر و با سابقه ای طولانی در گراف های جبری، گراف های کیلی را می توان نام ‏برد که توسط کیلی در سال ‎1878‎ به ساختار گروه نسبت داده شد. ساختار گراف کیلی برای نیم گروه ها مورد مطالعه قرار گرفته است. همچنین این مفهوم برای حلقه های متناهی با در نظر گرفتن مجموعه ی ‎s=u(r)‎ در تعریف گراف کیلی، با عنوان گراف های کیلی یکانی برای حلقه های متناهی در سال ‎2009‎ معرفی شده است. از دیگر گراف های جبری، که برای ساختار حلقه تعریف شده اند، می توان از گراف کُلی و گراف یکه که برای ساختار حلقه ی جابه جایی تعریف شده است‏، نام برد. در این رساله از گراف مقسوم علیه صفر تعریف شده برای مجموعه مرتب جزیی توسط هالاس و جاکل، رأس صفر را حذف می کنیم و خواص آن را بررسی کرده و مسطح بودن این گراف را مطالعه می نماییم. همچنین گراف کیلی را برای مجموعه های مرتب جزیی تعریف کرده و به بررسی خواص گرافی آن می پردازیم‏، و نیز این گراف را در حالت های خاص برای مجموعه ی s‎ مطالعه خواهیم کرد. در آخر‏، گراف های یکه و کلی را برای ساختار جبری مشبکه معرفی کرده و خواص گرافی آن را بررسی می نماییم.

هدف این رساله مطالعه خواص برخی از گرافهای نسبت داده شده به یک حلقه جابه جایی می باشد. مهمترین گرافهایی که در این رساله مورد توجه قرار گرفته اند، گراف مقسوم علیه صفر، گراف تام، گراف یکانی و گراف کیلی یکانی می باشند. در مورد گراف مقسوم علیه صفر، رفتار این گراف تحت توسیع اُور بررسی شده است. در بخش دیگر رساله، تمام حلقه هایی که گراف تام آن ها تصویری است، مشخص شده است. در پایان، گراف جدیدی به یک حلقه جابه جایی نسبت داده ایم؛ این گراف تعمیمی از گرافهای یکانی و کیلی یکانی می باشد و گرافهای یکانی و کیلی یکانی حالت خاصی از این گراف می باشند.

‏مرتبط‎‎ کردن مفاهیم موجود بین شاخه های مختلف ریاضیات یکی از روش های کارآمد برای بررسی کردن آن مفاهیم می‏ باشد. نسبت دادن شی ترکیبیاتی به شی جبری دارای دیرینه‏ای نسبتا طولانی می باشد. یکی از قدیمی ترین این تناظرها نسبت دادن گراف کیلی به گروه می باشد که توسط آرتور کیلی‎انجام گرفت و نتایج خیره کننده ای از این تناظر بدست آمد. اولین ارتباط بین حلقه ها و گراف ها توسط بک برقرار شد. بک به حلقه جابه جایی ‎$‎‎‎r‎$‎‎‏‏، گراف مقسوم علیه صفر ‎$‎‎‎r‎$‎‎‏‏، ‎‎$‎‎gamma‎(r)‎$‎‏‏، را نسبت داد. در گراف بک تمام عناصر حلقه رئوس گراف بودند و دو عنصر متمایز ‎$‎‎‎a‎$‎‏ و ‎$‎‎‎b‎$‎‏ به همدیگر متصل بودند اگر ‎$a‎ ‎b=0‎$‎‏.‎ البته تمرکز اصلی بک مشخص کردن عدد رنگی این گراف بود. در ادامه‏، آندرسون ‏و لیوینگستون‎‎‎ تعریف این گراف را اصلاح کردند و مجموعه رئوس گرا‏ف را به مقسوم علیه های ناصفر صفر حلقه ‎$‎‎‎r‎$‎‏‏، ‎$z^*(r)‎$‎‎‏‏، کاهش دادند. سوال مهم پیشروی افرادی که در این حوزه فعالیت داشتند این بود که چگونه خواص حلقه ای ‎$‎‎‎r‎$‎‏‏، ویژگی های گرافی ‎$‎‎‎‎gamma‎(r)‎$‎‏ را مشخص می کند و بالعکس. پاسخ دادن به این سوال خیلی جذاب بود چرا که از روش های ساده محاسباتی تا مسائل پیشرفته در نظریه حلقه ها به کمک حل این مسائل آمدند. در خیلی از موضوعات تمام حلقه هایی که گراف های شان دارای ویژگی خاصی بودند‏، رده بندی شدند. همان طور که انتظار می رفت بعد از نسبت دادن این گراف به حلقه‏، پژوهشگران زیادی به خصوص از سمت شاخه جبر جذب این موضوع شدند و به مرور گراف های مختلفی که ایده اصلی شان گراف مقسوم علیه صفر بود به ساختارهای دیگر جبری نسبت داده شود. اکنون افراد زیادی جذب این شاخه شده بودند که اغلب دو سبک کاری را دنبال می کردند. عده ای مفهوم گراف مقسوم علیه صفر را به ساختارهای دیگر جبری تعمیم دادند. گراف مقسوم علیه صفر نیم گروه ها‏، جبرهای بولی و مدول ها معرفی و بررسی شد. عده ای دیگر نیز به نسبت دادن گراف های جدید به ساختارهای جبری پرداختند.

یکی از شاخه های جبر جدید جبر ترکیباتی است که به ارتباط میان جبر و گراف پرداخته و روابط میان آنها را بررسی می کند. در این پایان نامه به ارتباط میان مقسوم علیه های صفر یک حلقه جابجایی و گراف متناظر با آنها می پردازد و بیان می کنیم در چه حالتهایی مکمل این گراف همبند است.

فرض کنیم m‎ یک مدول کوهن مک کولی تعمیم یافته روی حلقه نوتری موضعی (r,‎m)‎‎‎ با بعد ‎‎d‎‎ باشد‏ در این صورت عدد صحیح ‎‎n‎‎ وجود دارد به طوری که برای هر عنصر پارامتری ‎‎‎‎‎‎ داشته باشیم : ‎‎‎ برای اثبات این مطلب‎‎‎ ابتدا با توجه به جمع بئر و جبر جابه جایی و کوهمولوژی موضعی نشان می دهیم اگر ‎‎‎‎ m ‎ یک مدول متناهیا‏ً تولید شده روی حلقه نوتری جابه جایی‎‎r‎‎‎ ‎ و ‎ ‎‎‎‎‎‎aایده آلی از ‎ ‎r‎ باشد‏ و ‎‏،‏‎ ‎i‎ ‎ امین مدول کوهمولوژی موضعی نسبت به ایده آل ‎ ‎‎‎‎‎aبرای هر متناهیا‏ً تولید شده باشد آنگاه ‎ ‏که در آن ‎‎t عدد صحیح و x‎‎ یک عنصر‎ ‎‎‎‎‎a ‎‎‎‎‎صافی منظم است .سپس با استفاده از یک قضیه کلیدی به هدف مدنظر‏ می رسیم

هدف این رساله مطالعه خواص برخی از گراف های نسبت داده شده به یک حلقه جابه جایی می باشد. یکی از گراف های مورد نظر، گراف منظم ایده آل های یک حلقه جابه جایی می باشد. این گراف در حالتی که حلقه زمینه، آرتینی است قبلا مورد بررسی قرار گرفته است. در این رساله ما رفتار این گراف را بر روی یک حلقه نوتری بررسی می کنیم. در بخشی از این رساله همه حلقه هایی را رده بندی می کنیم که گراف نظیر آن ها همبند باشد و قطر آن را نیز محاسبه می کنیم. همچنین مسطح بودن و متناهی بودن گونه این گراف نیز بررسی می شود. علاوه بر این ها کمر گراف نیز مطالعه خواهد شد. سرانجام، ما گرافی را به یک حلقه جابه جایی نظیر می کنیم که به مفهومی دوگان گراف منظم ایده آل ها است. با استفاده از این گراف جدید، در حالتی که حلقه آرتینی است، می توان عدد رنگی و عدد خوشه ای گراف منظم ایده آل ها را محاسبه کرد.

در این رساله، درجه جابجایی نسبی و درجه نرمال بودن زیرگروه های یک گروه متناهی را مورد بررسی قرار داده و طبقه بندی کاملی از همه گروه های متناهی با تعداد درجه جابجایی نسبی یا درجه نرمال بودن کم را ارئه می دهیم. همچنین گراف ها نانرمال یک گروه متناهی را نسبت به زیرگروه هایش تعریف کرده و ویژگی های گرافی آن را مطالعه می کنیم.

یکی از شاخه های جدید جبر، جبر ترکیبیاتی است که به ارتباط میان جبر و گراف پرداخته وخواص میان آن ها را بررسی می کند. به مجموعه مقسوم علیه های صفر حلقه گرافی را می توان متناظر کرد که به آن گراف مقسوم علیه صفر می گوییم. در این پایان نامه، به مطالعه گراف خط وابسته به گراف مقسوم علیه صفر حلقه های zn وzn[i] می پردازیم و خواص آن ها را مورد بررسی قرارمی دهیم.

گراف ناجابه جایی گروهها و گراف کیلی از معروفترین گرافهای منسوب به یک گروه هستند. در سال 1975 اردوش برای گروه دلخواه g گرافی موسوم به گراف ناجابه جایی تعریف کرد که رئوس آن عناصر غیر مرکزی gبوده و دوراس متمایز xوy مجاورند هرگاه با یکدیگر جابه جا نشوند. گراف کیلی نیز همانطور که از نامش پیداست منسوب به کیلی بوده و برای گروه دلخواه gو زیر مجموعه sاز آن که نسبت به معکوس بسته بوده و فاقد عنصر همانی است گرافی است که رئوس آن عناصرg بوده و دوراس متمایزxوy مجاورند هرگاه y=sx که در آن s عنصری از s است. در این طرح با الهام گرفتن از گراف ناجابه جایی و کیلی گراف به معرفی و بررسی خواص گرافهای زیر می پردازیم. تعمیم گراف ناجابه جایی: دو راس متمایز xو yمجاورند هرگاه خودریختی موجود باشد که فقط یکی از آنهارا ثابت نگه دارد . در این تعریف یک عنصر ازg راس است اگر تنها نباشد. تعمیمی دیگراز گراف ناجابجایی: رئوس این گراف زیرمجموعه هایی از گروه gهستند که زیر مجوعه مرکز گروه نیستند و دو راس متمایز مجاورند هرگاه جابجاگرشان همانی نباشد. گراف ناجابجایی حلقه ها: برای حلقه دلخواه rرئوس این گراف عناصر غیر مرکزی r بوده و دو راس متمایز، مجاورند چنانچه (با عمل ضرب) با بکدیگر جابه جا نشوند. در آخر برای حلقه جابه جایی و یکدار r و عدد طبیعی n گرافی را منسوب می کنیم که در تعریف شباهتی گراف کیلی دارد. رئوس این گراف عناصر ناصفر حاصلضرب دکارتی r برای n بار بوده و دو راس مجاورند هرگاه ماتریس پایین مثلثی n درn همچون a با درایه های روی قطر اصلی ناصفر متعلق به r موجود باشد به قسمی که ax=y یاay=x .

در این رساله رده هایی از ایدآل های تکجمله ای به نام ایدآل های تک-تجزیه و تفکیک پذیر را معرفی می کنیم که در خاصیت پابرجایی صدق می کنند. همچنین مجموعه ی پایداری ایدآل های اول وابسته به ایدآ ل های تکجمله ای (بدون مربع) را بررسی می کنیم. سپس نشان می دهیم که هر ایدآل (به ترتیب، ایدآل متناهیاً تولید شده) در یک حلقه ددکیند (به ترتیب، حوزه ی پروفر) خاصیت پابرجایی دارد و نیز مفهوم خاصیت پابرجایی را برای خانواده ای از ایدآل ها گسترش می دهیم. سرانجام ایدآل های مسیری گراف های ساده و نیز رفتار مجانبی ایدآل های اول وابسته به توان های آن ها را مطالعه می کنیم.

در پایان کران بالا و پایینی برای تعداد یال های گراف مقسوم علیه صفر حلقه ماتریس های بالا مثلثی به دست می اوریم.

فرض کنید ‎r‎ یک حلقه جابه جایی و یکدار باشد و ‎j(r)‎ ایده آل جیکوبسن ‎r‎ باشد. گراف جیکوبسن حلقه ‎r‎ که با ‎$mathfrack{j_r}$‎ نشان داده می شود، گرافی است با مجموعه رئوس ‎r j(r)‎ به طوری که دو رأس متمایز ‎x و ‎y‎ به یکدیگر متصلند اگر 1-xy‎ عنصری غیر یکه از ‎r‎ باشد. در این رساله به بررسی برخی ویژگی های گراف جیکوبسن از قبیل همبندی، مسطحی و تام بودن می پردازیم. همچنین پایاهای عددی از قبیل قطر، کمر، عدد غالب، عدد استقلال و عدد رنگی گراف جیکوبسن را بدست آورده و نیز تخمینی مناسب برای عدد رنگی یالی آن ارائه می کنیم. علاوه بر این شرایطی را بررسی می کنیم که تحت آن دو حلقه متناهی ‎r‎ و ‎s‎ دارای گراف های جیکوبسن یکریخت باشند. در نهایت به بررسی دورها و مسیرها در گراف جیکوبسن می پردازیم.

گراف هم بیشین حلقه ی یکدار r گرافی است که مجموعه ی راس های آن تمامی عناصر حلقه یr است و دو راس از آن مانندa و b مجاورند اگر و تنها اگر ra+rb=r .برخی از ویژگی های آن مانند هم بندی و قطر را بررسی میکنیم.

در این رساله به بررسی رفتار نشانده گراف هم-بیشین وابسته به مشبکه و گراف خط آن بر روی چنبره می پردازیم. همچنین تمامی حلقه های جابه جایی متناهی (تا حد یکریختی) که گراف ژاکوبسون نظیر آن ها چنبره ای است را رده بندی می نماییم. نیز تمام حلقه های جابه جایی متناهی (تا حد یکریختی) که گراف خط ژاکوبسون آن ها چنبره ای است را شناسایی می کنیم.

در این رساله، رفتار نشانده گراف مقسوم علیه صفر وابسته به مجموعه مرتب جزئی روی صفحه تصویری و گراف خط آن روی کره و صفحه تصویری را بررسی می نماییم. همچنین مسطح و تصویری بودن گراف خط گراف هم-بیشین وابسته به مشبکه را مطالعه می کنیم. به علاوه، تمامی حلقه های جابه جایی متناهی (تا حد یکریختی) که گراف ژاکوبسون نظیر آن ها گرافی تصویری است را رده بندی می نماییم. نیز تمامی حلقه های جابه جایی متناهی (تا حد یکریختی) که گراف خط گراف ژاکوبسون آن ها مسطح یا تصویری است را شناسایی می کنیم.

هدف این رساله مطالعه ی برخی گراف های نسبت داده شده به یک مجموعه ی مرتب جزئی و مشبکه و خواص آن ها می باشد. یکی از گراف های مورد نظر گراف منظم ایده آل های یک مجموعه ی مرتب جزئی می باشد و دیگری گراف ایده آل پوچ ساز یک مشبکه و همانطور که گفته شد این گراف ها قبلا روی حلقه ها تعریف و بررسی شده اند. در بخش آخر این رساله نیز مسطح و مسطح خارجی بودن گراف خط برخی گراف های جبری مورد مطالعه قرار گرفته اند. }}

در این رساله به بررسی رئوس برشی در برخی گراف های وابسته به ساختار های جبری مانند گراف هم-بیشین یک مشبکه، گراف ایده آل پوچ ساز یک مشبکه و گراف مقسوم علیه صفر و گراف اشتراکی وابسته به مجموعه های مرتب جزئی می پردازیم. همچنین خاصیت مسطح بودن و مسطح خارجی بودن این گراف ها را مطالعه می نماییم. به علاوه، خاصیت منظم پایانی را در این گراف ها بررسی می کنیم.

کدهای دوری به کمک ایده ال ها روی حلقه های خارخ قسمتی خاص قابل نمایش می باشند. و به این ترتیب می توان به کدهای دوری جدید دست یافت که هدف ما در این پایان نامه است.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

همبافت ساده گون تعمیم طبیعی گراف های کامل است. در این رساله ابتدا مفهوم همبافت رویه ای را معرفی می کنیم که در تناظری یک به یک با مفهوم همبافت ساده گون است. سپس مفهوم دور را از نظریه گراف به همبافت های ساده گون تعمیم می دهیم. ثابت می شود که یک دور ساده گون یا دنباله ای از رویه های متصل به شکل یک دایره با اشتراک های دو به دو مجزاست یا مخروطی بر روی چنین دایره ای است. همچنین نشان می دهیم که یک درخت ساده گون یک همبافت ساده گون همبند بدون دور است. در این رساله روش پیوند زدن را معرفی می کنیم که روشی اساسی برای ساختن همبافت های رویه ای کوهن -مکالی است.

در این رساله نشان می دهیم نوعی از همبافت های ساده گون به نام درخت های ساده گون دارای خاصیت های جبری جالبی می باشند. به عنوان مثال درخت های ساده گون به طور دنباله ای کوهن-مکالی می باشند. به علاوه در خت های ساده گون نا آمیخته نیز کوهن-مکالی می باشند و در پایان نشان می دهیم تحت شرایط خاصی در خت های ساده گون کوهن-مکالی پوسته پذیر می باشند.