در این پایان نامه کوهمولوژی کراندار دوم یک گروه را تعریف کرده و سپس کوهمولوژی کراندار دوم گروه های hypo-abelian را بررسی می کنیم. با استفاده از سری مشتق یک گروه، ثابت می کنیم که حدس فوجی وارا برای گروه های hypo-abelian، گروه هایی بدون زیرگروه کامل نابدیهی، درست است.

در این پایان نامه نشان می دهیم که توپولوژی های استریسک که توسط کاپلان و باناخ زیک در نظریه دوگان مورد استفاده قرار گرفتنددر کاتگوری گروه های ابلی توپولوژیک با هم برابر نیستند اما در کاتگوری گروه های شبه محدب موضعی انها برابر و با توپولوژی هم ضرب نیز یکی هستند.

فرض کنید l رسته همه گروه های آبلی موضعاً فشرده و ریخت های آن همریختی های پیوسته باشند. در ابتدادومین کوهمولوژی تحدید شده و گروه توسیع های با برش بسته a را وقتی که g موضعاً فشرده، تفکیک پذیر و متر پذیر و a یک زیر گروه نرمال بسته در g باشد، تعریف می کنیم. سپس دنباله های دقیق کوتاه به طور فشرده تولید شده در l را معرفی کرده و ثابت می کنیم که اگر g سیگما فشرده و a یک زیر گروه نرمال بسته و فشرده از g باشد آنگاه توسیع a توسط g ، توسیعی به طور فشرده تولید شده در l است. همچنین مجموعه همه توسیع های به طور فشرده تولید شده در l را تعریف کرده و نشان می دهیم که تحت جمع بئر تشکیل یک گروه آبلی می دهد. نشان می دهیم که هرگاه g یک گروه نیم فشرده و a مترپذیر باشدآنگاه گروه همریختی های پیوسته از g به a یک گروه موضعا فشرده است. در این رساله همچنین ثابت می کنیم اگر g موضعا فشرده و بدون زیر گروه های کوچک باشد آنگاه با قرار دادن شرایطی روی g ,a ، گروه همریختی های پیوسته g به a یک مدول انژکتیو است.

در این پایان نامه یک روند جدید برای بررسی ساختار گردایه ی زیرگروههای بسته ی یک گروه توپولوژیکی مطرح می شود. در این روش از مفهوم توپولوژیکی ابر فضاها استفاده می گردد. اگر چه این تئوری بیشتر برای گروههای فشرده بکار می رود اما بسیاری از نتایج آن برای گروههای هم متناهی نیز ثابت می شوند. فرض کنید x یک فضای توپولوژیکی و (k(x گردایه ی همه ی زیر مجموعه های فشرده ی نا تهی از x باشد. توپولوژی های مختلفی می توان روی(k(x تعریف کرد که آن را تبدیل به یک " ابر فضا " کند. یکی از این توپولوژیها، توپولوژی استاندارد و دیگری توپولوژی ویتوریس است. یک گروه توپولوژیک فشرده ی g را در نظر می گیریم. زیر فضاهای (k(gعبارتند از: (s(gفضای زیر گروه ، (c(g فضای همدسته های و (n(g فضای زیر گروههای نرمال . در فصل اول بعضی از نتایج بنیادی این فضاها مانند : نشاننده های فضاهای زیرگروه، ثابت های کاردینال وپایداری نمایش های تصویری، بررسی شده اند. همچنین در فصل دوم با استفاده از تناظر پونتری آگین و تئوری گالوا خواص فضای زیر گروههای بسته ی گروه آبلی فشرده بر حسب زیر گروههای گروههای آبلی گسسته را بررسی می کنیم. بٌعد فضای زیر گروه تولید شده از دو گروه را تجزیه و تحلیل می کنیم و در پایان فضای زیر گروه بعضی از گروههای فشرده را محاسبه می کنیم. گروههای فشرده ی توپولوژیکی خاصیت خیلی قوی فشرده ی دوگونجی را دارد . درفصل سوم، نتایج، دو خاصیت فشردگی دوگونجی و k - متریک پذیری را بررسی می کنیم. این نتایج روی همئو مورفیسم های فضای زیر گروه های یک گروه هم متناهی، توسط گارتساید و اسمیت ناکامل اما گسترده طبقه بندی و ساخته شده است .

در کاتگوری گروه های آبلی،گروه های بطور متناهی تولید شده نقش مهمی را بازی می کنند. تعمیمی از رده گروه های بطور متناهی تولید شده در کاتگوری گروه های آبلی بطور موضعی فشرده ، رده گروه های بطور فشرده تولید شده است. دوگان رده گروه های بطور متناهی تولید شده در کاتگوری گروه های آبلی، رده گروه های بطور متناهی هم مولد است.در این پایان نامه رده ای از گروه های آبلی بطور موضعی فشرده را که تعمیم رده ای از گروه های آبلی بطور متناهی هم مولد است را بررسی می کنیم.معیارهای مختلفی برای یک گروه آبلی بطور موضعی فشرده که عضو رده گروه های بطور فشرده هم مولد است، بدست می آوریم و چندین زیر رده مهم را شرح می دهیم.

فرض کنید g یک گروه توپولوژیک باشد. ما در این پایان نامه دو هدف اصلی داریم. در ابتدا نشان می دهیم که رده های گروه های فشرده موضعی ضعیف و شبه فشرده موضعی یکسان هستند. سپس نتیجه اساسی زیر را که نشات گرفته از سوال مطرح شده توسط k. a. ross است، اثبات می کنیم. فرض کنید و توپولوژی های یک گروه فشرده موضعی و آبلی مانند باشند. اگر و دارای زیرگروه های بسته یکسان باشند و ، آنگاه .

به روی دایره واحد را گروه g یک گروه آبلی فشرده موضعی باشد. گروه همه همومرفیسمهای پیوسته از g فرض می کنیم g^ ، نمایش می دهیم. ارتباط بین یک گروه با گروه دوگان آن را بررسی کرده و ثابت می کنیم g^ نامیده و با g دوگان گسسته باشد. سپس، مولفه راهی یک گروه آبلی فشرده موضعی و گروه دوگان آن را تعریف g فشرده است اگر و فقط اگر چگال است. در ادامه مفهومی به g در مولفه همبند همانی 0 ga ، یعنی g کرده و نشان می دهیم مولفه راهی عنصر همانی نام دوگان گسسته را معرفی کرده و نشان می دهیم مولفه راهی در یک گروه آبلی فشرده، دوگان گسسته دارد. چون مولفه راهی دوگان گسسته دارد، می توان نتیجه گرفت که مولفه راهی با یک زیر گروه بسته اشتراک دارد، آنگاه بررسی می کنیم تحت چه شرایطی این اشتراک در زیر گروه بسته چگال است. این پایان نامه بر اساس [ 3] نگاشته شده و شامل چهار فصل می باشد. در فصل صفر تعاریف و قضایای مقدماتی ارائه می شود که در فصلهای بعد مورد نیاز است. در فصل اول مولفه راهی را در یک گروه آبلی فشرده موضعی مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل دوم به خصوصیات مولفه راهی در گروه آبلی فشرده می پردازیم. در فصل سوم نشان می دهیم اشتراک مولفه راهی با یک زیر گروه بسته چه شرایطی دارد.

در این رساله, ابتدا گروه های موضعی توپولوژیک را تعریف نموده و خواصی از آن را شناسایی و قضیه های مرتبط با آن را ثابت می کنیم. سپس با استفاده از توپولوژی انتقال , یک زیرگروه موضعی توپولوژیک از یک گروه را به کل آن گروه گسترش داده و آن را تبدیل به یک گروه توپولوژیک می کنیم. در حالت کلی , ثابت می کنیم که یک گروه موضعی توپولوژیک با خاصیت شرکت پذیری کلی قابل گسترش به یک گروه توپولوژیک است. در ادامه توسیع موضعی از گروه های موضعی توپولوژیک را معرفی کرده و ثابت می کنیم مجموعه رده هم ارزی از این توسیع ها , روی گروه موضعی توپولوژیک یک گروه آبلی است. در آخر با معرفی کوهمولوژی گروه های موضعی توپولوژیک, نشان می دهیم که مجموعه کلاس های هم ارزی از این توسیع ها تناظر یک به یک با دومین مرتبه کوهمولوژی گروه های موضعی توپولوژیک دارد.

در این پایان نامه روشی مقدماتی برای محاسبه حل پیوسته ای از معادله تابعک دو هم دور ها در گروه های فشرده موضعی حل پذیر بیان می کنیم منظور از روش مقدماتی یعنی از هندسه دیفرانسیل و تئوری گروه لی یا کوهمولوژی گروه استفاده نمی کنیم.

سه تعریف برای توابع تقریباً پیوسته بین فضاهای توپولوژیک وجود دارد. شباهت ها و تفاوت های بین دو تا از تعریف ها را بررسی می کنیم.

در این پایان نامه، گروههای انژکتیو و تصویری محض در کاتاگوری گروههای آبلی فشرده موضعی و ناهمبند کلی را تعیین می کنیم. همچنین گروههای آبلی فشرده موضعی که دارای زیرگروه تابدار ماکسیمال بسته اند را تعیین می کنیم. در آخر، توسیع های تی را در کاتاگوری گروههای گسسته آبلی معرفی کرده و ثابت می کنیم که مجموعه تمام توسیع های تی تحت جمع بئر یک زیرگروه گروه توسیع ها است.

در این پایان نامه، کوهمولوژی‎ گروههای توپولوژیک با ضرایب ناآبلی را تعریف می کنیم. ‎‎‎هرگاه ضرایب آبلی باشند‏، این تعریف با کوهمولوژی آبلی گروههای توپولوژیک ‎‎‎ منطبق است. با استفاده از مفهوم دومدولهای توپولوژیک متقاطع جزیی یک تعریف جدید از اولین کوهمولوژی ناآبلی گروههای توپولوژیک به دست می آوریم. با معرفی مفهوم هسته سادکی پروژکتیو استاندارد از یک گروه توپولوژیک‏، دومین کوهمولوژی ناآبلی گروههای توپولوژیک را تعریف می کنیم. گیریم ‎$‎‎‎a‎$‎ یک ‎$‎‎‎g‎$‎‎-مدول توپولوژیک و ‎$‎‎‎(a,mu)‎$‎ یک ‎$‎‎‎g-r‎$‎‎-دومدول توپولوژیک متقاطع جزیی است. ‎برخی‎‎ از مهم‎‎ ترین نتایج به دست آمده به قرار زیر هستند: ‎egin{itemize}‎‎ item[(‎1)] ‎‎ دومین کوهمولوژی از یک گروه توپولوژیک پروژکتیو‏، ‎‎بدیهی است. در واقع‏، این گزاره تعمیم یک قضیه از هو (‎hu‎) است. ‎item[(2)]‎ دومین کوهمولوژی نا‎آبلی‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‏، ‎‎‎$‎‎‎h^{2}(g,a)‎$‎‎‏،‎‎‎ از ‎$‎‎‎g‎$‎ باضرایب در ‎$‎‎‎a‎$‎‎‏، یک گروه‎‎ خارج قسمتی ‎‎از دومین کوهمولوژی آبلی ‎‎‎$‎‎‎h^{2}(g,z(a))‎‎‎$‎‏‎‎‎ است. ‎item[(3)]‎ تناظری یک به یک بین دومین کوهمولوژی‏، ‎$‎‎‎h^{2}(‎g‎,(a,mu))‎$‎‎‏، از ‎$‎‎‎g‎$‎ با ضرایب در ‎$‎‎‎(a,mu)‎$‎ و مجموعه ‎$‎‎‎ext_{s}(g,(a,mu))‎$‎‎‏، از همه رده های هم ‎ارزی توسیع های ‎$‎‎‎g‎$‎ با ‎$‎‎‎(a,mu)‎$‎ وجود دارد. ‎‎ ‎item[‎(4)]‎ اگر‎‎‎ ‎$‎‎‎g‎$‎ یک گروه فشرده موضعی باشد‏، آن گاه برای هر ‎$‎‎‎g‎$‎‎-مدول توپولوژیک آبلی ‎$‎‎‎a‎$‎‎‏، عمل ‎$‎‎‎g‎$‎ روی ‎$‎‎‎h^{n}(g,a)‎$‎ بدیهی است. به ویژه‏، عمل ‎$‎‎‎g‎$‎ روی ‎$‎‎‎h^{2}(g,a)‎$‎ نیز برای هر ‎$‎‎‎g‎$‎‎-مدول توپولوژیک بدیهی است. ‎‎ item[(5)]‎ گیریم ‎ ‎‎$‎‎‎g‎$‎‎ یک گروه توپولوژیک با مولفه همبند باز است.‎‎ ‎آن گاه ‎ ‎‎$‎‎‎g‎$‎ همبند است اگر وتنها اگر ‎‎در ‎‎‎$‎‎‎_{g}mathcal{d}‎$‎‎‏، ‎$‎‎‎h^{1}(g,-)=0‎$‎. ‎‎ ‎item[(6)]‎ ‎گیریم ‎ ‎‎$‎‎‎g‎$‎‎ یک گروه توپولوژیک با مولفه همبند باز است. ‎‎آن گاه ‎ یک‎ گروه آزاد ‎$‎‎‎f‎$‎ با توپولوژی گسسته چنان هست که ‎$‎‎‎g‎simeq ‎g_{0} times ‎f‎$‎‎ اگر و تنها اگر در ‎$‎‎‎_{g}mathcal{d}‎$‎‎‏، ‎$‎‎‎h^{2}(g,-)=0‎$‎.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.