فرض کنید r یک حلقه باشد. در این پژوهش کلاس خاصی از r- مدول ها تحت عنوان کلاس های کاپلانسکی مورد مطالعه قرار داده می شوند. کلاس f از r- مدول ها یک کلاس کاپلانسکی نامیده می شود هر گاه عدد اصلی n وجود داشته باشد به قسمی که به ازای هر m در f و هر x عضو m زیر مدول aاز m وجود داشته باشد به طوری که x عضو َa بوده و a و m/a در کلاس f باشد و card a < n . در این پژوهش همچنین رابطه ی بین کلاس های کاپلانسکی با مفاهیمی مانند بعد برای یک rمدول ، پیش پوش و نظریه ی هم تاب مورد مطالعه قرار داده می شوند. در پایان نشان داده می شود که هر گاه r حلقه ای نوتری باشد، آنگاه کلاس r- مدول های تزریقی گرنشتاین یک کلاس کاپلانسکی است و با استفاده از آن اثباتی برای وجود پیش پوش تزریقی گرنشتاین برای هر - مدول روی حلقه های نوتری ارایه می شود.

معرفی برخی از پایاهای همولوژیکی که به یک گروه ضربی نسبت داده می شود و مقایسه ی آن با سایر پایاهای نسبت داده شده به یک گروه و همچنین بررسی دوره ای بودن همولوژیک و کوهمولوژیک نسبی گروه ها و ارتباط آن با دوره ای بودن کوهمولوژیک گروه ها.

نظریه نمایش های گراف های جهت دار برای اولین بار در سال 1972 توسط گابریل مطرح شد. اخیراٌ (1999) نمایش های یک گراف جهت به وسیله مدول ها روی حلقه های شرکت پذیر توسط ایناکس و هرزوگ مورد مطالعه قرار گرفته اند. در این پایان نامه به معرفی نمایش های تزریقی می پردازیم و نهایتاٌ پوشش و پوش تزریقی از نمایش گراف های جهت دار خطی را مورد مطالعه و توصیف قرار می دهیم.

در سال 1975، آسلاندر و ریتن حدسیه ای را مطرح کردند که به حدسیه ی آسلاندر-ریتن معروف است و بیانگر آنست که اگر ? یک جبر آرتینی و? یک ?- مدول با تولید متناهی باشد و برای هر i>0، ext_?^i (?,???)=0 آن گاه مدول? تصویری است. این حدسیه روی حلقه ی تعویضپذیر و نوتری r به شرط arc معروف است. هدف این پایان نامه بررسی حدسیه ی آسلاندر-ریتن روی حلقه های گرنشتاین است.

در این پایان نامه نشان می دهیم اگر حلقه نوتری و هر مدول یکدست دارای بعد تصویری متناهی باشد، رسته هموتوپی مدولهای تصویری مثلثی وبه طور فشرده تولید می شود. همچنین در صورتی که حلقه نوتری باشد رسته هموتوپی مدولهای تزریقی مثلثی و به طور فشرده تولید شده است.

در این پایان نامه، ابتدا برخی از نتایج نظریه اسلندر-ریتن را برای جبرهای متناهی البعد روی ی?ک ?میدان بسته جبری، یادآوری می کنیم. سپس به معرف زیررسته های ?-n?خوشه ای کج و جبرهای? ??-n?اسلندر مبادرت می ورزیم. در این زمینه مثالهایی ارائه می شود.? ?همچنین قضیه اساسی هم ارزی اسلندر، با بعد بالاتر اثبات می شود.?

فرض کنیم x یک طرح، k(flat x) رسته هموتوپی بافه های نیمه چسبیده یکدست –ox مدولی و رسته هموتوپی هم بافت های یکدست باشد. نشان داده شده است که جفت یک جفت هم تاب کامل در است که در آن تصویر ضروری از رسته هموتوبی مجتمع های dg- هم تاب یک دست است. سپس به مطالعه رسته هموتوبی می پردازیم. نشان می دهیم در حالت آفین این رسته هموتوبی با تصویر ضروری از تابع گون نشاننده که توسط نیمن مطالعه شده است، معادل است. به علاوه، شرایطی را ارائه خواهیم داد که تحت آنها شمول ژ تبدیل به یک تساوی شود که در آن منظور از تصویری ضروری رسته هموتوبی مجتمع های یک دست هم تاب از بافه هاست. همچنین نشان می دهیم که کلاس گسترده ای از طرح های غیرنوتری x، بدون هیچ شرایط متناهی روی بعد کرول وجود دارند که برای آن ها یک هم ارزی رسته ای است. فرض می کنیم r یک حلقه و q یک کونیور ریشه دار چپ باشد. یک تعریف برای مفهوم «محض بودن» در رسته نمایش های کوتیور ارائه شده است. ثابت می کنیم که کلاس همه نمایش های محض تزریقی از q به وسیله r – مدول ها، پیش پوش است. در حالتی که r یک حلقه نوتری چپ است نشان می دهیم که هر نمایش یک دست هم تاب از q محض تزریقی است. به علاوه با شرایط –n کامل برای r، هر نمایش یک دست از q یک تحلیل محض تزریقی با طول حداکثر n دارد. فرض کنیم ظاهر شده اند. فرض کنید که جفت یک جفت هم تاب است. شرایطی را مورد مطالعه قرار می دهیم که ممکن است به انتقال داده شوند. نتایج ما اثباتی برای وجود پوشش یک دست روی کوئیورهای ریشه دار چپ ارائه می دهند.

فرض کنید r یک حلقه و q یک کویور دلخواه باشند. رسته نمایش های q توسط-r مدول ها و-rهمریختی ها که با rep (q ,r) نشان داده می شود یک رسته ی گروتندیک است. در این پایان نامه به بررسی برخی مباحث مرتبط با جبر همولوژیک نسبی در این رسته می پردازیم. به این منظور رسته ی هموتوپی همبافت ها از نمایش های تصویری و تزریقی q که به ترتیب با k(prj q) و k(inj q) نشان داده می شوند را در نظر می گیریم. زیر رسته هایی از دو رسته ی اخیر که شامل همبافت های تماماً دقیق بوده و به ترتیب با k_tac (prj q) و k_tac (inj q) نشان داده می شوند از اهمیت خاصی برخوردار هستند. ابتدا اشیای رسته های مذکور، یعنی همبافت های تماماً دقیق را مورد مطالعه قرار داده و رده بندی هایی برای چنین همبافت هایی بر حسب خواص موضعی آن ها ارائه می کنیم. یکی از ابزارهای اصلی جهت انجام این کار، تابعگرهای الحاقی چپ و راست تابعگر تحدید می باشند. سپس رده بندی های مذکور را به کار بسته و بحث وجود پیش پوشش های گرنشتاین تصویری را در رسته ی rep (q ,r)مورد توجه قرار می دهیم. نشان داده می شود که با در نظر گرفتن برخی شرایط بر حلقه ی زمینه ی r یا کویور q ، می توان وجود چنین اشیایی را در rep (q ,r) نتیجه گرفت. همچنین پیش پوشش گرنشتاین تصویری برخی نمایش های خاص کویور q را برحسب ویژگی های موضعی آن توصیف خواهیم کرد. وجود پیش پوش های گرنشتاین تزریقی در رسته ی rep (q ,r) را نیز به طور اجمالی مورد بررسی قرار می دهیم. با توجه به این که اشیای گرنشتاین رسته ی rep (q ,r) با استفاده از همبافت های تماماً دقیق تعریف می شوند، توصیف چنین همبافت هایی می تواند منجر به شناسایی اشیای گرنشتاین گردد. نشان می دهیم که چگونه می توان اشیای گرنشتاین تصویری، گرنشتاین تزریقی و گرنشتاین یکدست رسته ی rep (q ,r) را بر حسب خواص موضعی آن ها رده بندی کرد. سرانجام با در نظر گرفتن شرایطی برحلقه ی r نشان می دهیم که rep (q ,r) یک رسته ی گرنشتاین است اگر و تنها اگر هر همبافت دقیق از نمایش های تصویری q تماماً دقیق باشد اگر و تنها اگر هر همبافت دقیق از نمایش های تزریقی q تماماً دقیق باشد. به این ترتیب قضیه ی مهمی از کروزه و آینگار را تعمیم می دهیم. در پایان چگونگی انتقال خاصیت گرنشتاین مجازی از رسته ی r-مدول ها به رسته ی rep (q ,r)را مورد توجه قرار می دهیم.

تاریخ دفاع : 28/8/91 در این پایان نامه رسته ی هموتوپی نمایش های تصویری و تزریقی کویورها و همبافت ها را مطالعه میکنم . فرض کنید r یک حلقه و q یک کویور(گراف جهت دار) باشد. رسته ی هموتوپی نمایش های تصویری(تزریقی) از q توسط r-مدول ها را با نماد k(prj q) (k(inj q))، نمایش می دهیم. نشان می دهیم که، برای کویور های خاص، این رسته های مثلثی به طور فشرده تولید شده هستند و یک مجموعه مولد فشرده برای آنها معرفی می کنیم.به علاوه، در حالتی که r حلقه جابجایی و نوتری با همبافت دوگانی d باشد، عملگر دوگانیd??-:k(prj r)? k(inj r)را به عملگر مثلثی k(prj q)?k(inj^op q)، توسیع می دهیم و نشان می دهیم که این عملگر یک هم ارزی برای k(prj q) و k(inj q)، ایجاد می کند. فرض کنید c(r) رسته ی همبافت ها از r مدول ها باشد. نشان می دهیم اگر k(prj r) به طور فشرده تولید شده باشد آنگاه رسته ی هموتوپی همبافت ها ی تصویری که با نماد k(prj c(r))نشان داده می شود، به طور فشرده تولید شده می باشد. بر اساس این نتیجه نشان می دهیم که هر همبافت در c(r) دارای پیش پوشش تصویری گرنشتاین می باشد هرگاه rیک حلقه ی جابجایی با بعد کرول متناهی باشد. نتایجی مشابه و یا دوگان برای رسته ی هموتوپی همبافت های تزریقی نیز به دست می آوریم. اگر r دارای همبافت دوگا نی باشد، یک هم ارزی مثلثی بین رسته ی هموتوپی همبافت های تصویری و تزریقی نشان داده می شود. به عنوان یک کاربرد، ما یک هم ارزی بین k(gprj r)و k(ginj r) بدست می آوریم که به یک هم ارزی بین k(prj r) و k(inj r) تحدید می شود واژگان کلیدی: کویور، نمایش های تصویری و تزریقی، رسته هموتوپی، رسته ی مثلثی

فرض کنیم k یک حلقه جابه جایی و آرتینی و ? یک k-جبر با تولید متناهی باشد. در این صورت ? را یک جبر آرتینی گوییم. رسته همه ?–مدول ها را با mod? ورسته همه ?-مدول های با تولید متناهی را با mod? نشان می دهیم. ?-مدول m را یک مولد برای mod? می نامیم اگر برای هر مدول ناصفر x، همریختی ناصفر از m به x موجود باشد. ?-مدول m را یک هم مولد گوییم هرگاه برای هر مدول ناصفر x،همریختی ناصفر از x بهm موجود باشد. فرض کنیم x و y درmod? باشند. در این صورت گوییم x و y، l-متعامدند هرگاه برای هر 0<i?l، exti?(x,y)=0 و می نویسیم x?ly .مدول m را خودمتعامد گوییم هرگاه m?lm. قرار می دهیم: {lm={y?mod?| exti?(y,m)=0,0<i?l? m?l={ x?mod?| exti?(m,x)=0,0<i?l ?-مدول m را l-متعامد بیشین نامیم هرگاه m?lm. هدف از این تحقیق تشخیص مدول های l-متعامد بیشین با استفاده از مدول های مولد و هم مولد است.

(کو)همولوژی نسبی نسبت به رده ی مدول های تصویری گرنشتاین و تزریقی گرنشتاین توسط افراد بسیاری معرفی و مطالعه شد. هدف اصلی این پایان نامه، معرفی و مطالعه (کو)همولوژی نسبی نسبت به رده ی مدول های یکدست گرنشتاین می باشد. هم چنین به کمک این (کو)همولوژی، توصیف هایی برای مدول های با بعد یکدست گرنشتاین متناهی به دست می آوریم.

فرض کنید $ r $ و $ s $ دو حلقه و $ {}_sc_r $ یک دو مدول شبه دوگان باشد. در این پایان نامه ما رابطه ی بین $ g_{c} $-مرابطه با $ c $-مرابطه و هم چنین رابطه ی بین تحلیل $ g_{c} $-تصویری و تحلیل تصویری از یک مدول را بررسی می کنیم. به علاوه نشان می دهیم که اگر egin{center} $ mathbf{g}^{ullet} : cdots ightarrow g_{1} ightarrow g_{0} ightarrow g^{0} ightarrow g^{1} ightarrow cdots$ end{center} یک دنباله ی دقیق از $ s $-مدول ها باشد به طوری که $ g_{i} $ و $ g^{i} $ها $ g_{c} $-تصویری باشند و برای هر مدول $ t $ که با جمعوند مستقیم از نسخه های $ c $ یکریخت است، $ hom_{s} (mathbf{g}^{ullet} , t) $ دقیق باشد، آن گاه $ mathrm{im}(g_{0} ightarrow g^{0}) $ نیز $ g_{c} $-تصویری است. هم چنین معیاری برای محاسبه بعد $ g_c $-تصویری مدول ها به دست می آوریم.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.