در این رساله، کوهمولوژی نسبی و تیت از مدول های با بعد گورنستین انژکتیو متناهی مطالعه می شوند. با استفاده از این نظریه های کوهمولوژی، مدول های کوهمولوژی موضعی گروتندیک متفاوتی ارایه می کنیم که مدول های کوهمولوژی موضعی نسبی و تیت نامیده می شوند. به به کار بردن دنباله ی دقیق آوراموف- مارتسینکوفسکی، نشان می دهیم که این کوهمولوژی های موضعی یک ارتباط قوی با مدول های کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته که به وسیله ی هرزوگ معرفی شد، دارند. در مورد برخی از ویژگی های این مدول ها بحث کرده و به نتایجی از صفر شدن و صفر نشدن آن ها خواهیم رسید.

در این رساله به مطالعه ی رشد دنباله ی اعداد بتی از مدول کانونیک یک حلقه ی موضعی کوهن- مکالی می پردازیم. این مساله یک مساله ی باز است که آیا دنباله ی اعداد بتی یک مدول کانونیک روی یک حلقه ی غیر گرنشتاین به طور نمایی رشد می کند.نشان می دهیم دنباله ی اعداد بتی مذکور دسته ی بزرگی از حلقه ها دارای رشد نمایی است و این رشد در حالت کلی نهایی نیست. به عنوان یک کاربرد از رشد محکی برای تعیین گرنشتاین بودن یک حلقه ی موضعی کوهن- مکالی دارای مدول کانونیک ارائه می دهیم.

در این پایان نامه ثابت می شود که اگر یک کلاس از مدول ها تحت خارج قسمت های خالص بسته باشد، پیش پوشش کننده است اگر و تنها اگر پوشش کننده باشد و پوشش کننده است اگر وتنها اگر تحت مجموع های مستقیم بسته باشد. در واقع به دوگاه نتایجی از رادا و ساورین می پردازیم. همچنین نشان می دهیم که اگر یک کلاس از مدول های شامل حلقه زمینه، تحت توسیع ها، مجموع های مستقیم، زیر مدول های خالص و خارج قسمت های خالص بسته باشد، آنگاه مولفه اول یک زوج هم تاب کامل است که از خاصیت پوشش کنندگی قوی تر است. برخی کاربردها در این رابطه برای کلاس هایی همچمون هسته های تابعگون های همولوژی و مدول های بدون تاب در یک زوج تاب دار ارائه شده است.

نشان می دهیم تکرار فرآیند بکار رفته برای تعریف مدول های گورنستین پروژکتیو روی حلقه جابجایی دقیقا مدول های گورنستین پروژکتیو را نتیجه میدهد.

همریختی حلقه ای از r به s از حلقه های جابجایی ونوتری وs-مدول n مفروضند.ثابت می شود زمانی که n دارای بعد یکدست گورنشتاین متناهی است بعد مذکور روی حلقه ی r می تواند به صورت موضعی روی s محاسبه شود.علاوه بر این،زمانی که همریختی موضعی باشد،n به عنوان s-مدول متناهی مولد است. بعد یکدست گورنشتاین،برابر سوپریمم m متعلق به اعداد صحیح است که به ازای آنtor(e,n)=0 نباشد.e پوشش انژکتیو میدان باقی مانده ی حلقه ی rاست. این نتیجه شبیه قضیه ای از آندره در مورد بعد یکدست است.

فرض کنید (m(x,a خانواده تمام توابع حقیقی مقدار f روی x باشد که برای هر مجموعه باز u از r،تصویر وارون (f(u متعلق به a باشد. در این پایان نامه برخی خواص جبرهای توابع حقیقی مقدار را بررسی می کنیم و به این سوال پاسخ می دهیم که کدام زیرمجموعه ها و زیرحلقه های توابع حقیقی مقدار را می توان به صورت (m(x,a که a خانواده ای از زیرمجموعه های x است، نوشت و از طرف دیگر زیرمجموعه ها یا زیرحلقه های به شکل (m(x,a را مشخص می نماییم. علاوه بر این ها برخی ویژگی های حلقه های توابع پیوسته و اندازه پذیر را نیز بررسی می کنیم.

برای حلقه جا به جا یی ‎r با مقسوم علیه های صفر (‎z(r، گراف مقسوم علیه صفر از ‎r‎ به صورت ???(r)=z(r)-{0}‎ تعریف می شود، به این ترتیب که رئوس متمایز x و ‎y‎ مجاور هستند اگر و تنها اگر ‎xy=0. در این رساله، مشخص می کنیم چه زمانی diam(?(r))?2 یا ‎gr(???(r))? 4‎. از این نتایج برای بررسی قطر و کمر برای گراف های مقسوم علیه صفر حلقه های چندجمله ای، حلقه های سری های توانی، و ایده آل سازی استفاده می کنیم.