مساله ی زمانبندی پروژه با منابع محدود ، تعیین مجموعه ای از متشکل از زمان شروع فعالیت ها است، که با تامین محدودیت های تقدم و تاخر از سر ریز منابع جلوگیری کند و در نهایت هدف کمینه کردن بازه ی زمانی اجرای این پروژه است. الگوریتم شاخه و کران بهبود یافته برای حل این مساله که np_hard است، استفاده می شود. این الگوریتم از روش های هرس انتقال به چپ، مقایسه و جواب جزیی مناسب، بهره می برد. در انتها، روشی جدید برای محاسبه ی کران پایین ارایه می کنیم، که با شروع از انتها میزان محاسبات را کاهش می دهد. همچنین روش مقایسه ی جدید با 4 شرط معرفی می شود. این روش، امکان کاهش تعداد مقایسه های لازم برای هرس گره ی نا مناسب را فراهم می آورد.

در این پایان نامه، مسائل کنترل بهینه برای دسته ای از سیستم های غیر خطی با تأخیر زمانی، همراه با قیود کنترل-وضعیت آمیخته مورد مطالعه قرار می گیرند. تأخیر در سیستم ها در وضعیت و ورودی(کنترل) وجود دارد. نظریه کنترل بهینه بر اساس نظریه اندازه، آنالیز تابعی و برنامه ریزی خطی به منظور بهینه سازی یک تابع هدف معین و طراحی یک کنترل بهینه مناسب برای سیستم های غیرخطی با تأخیر زمانی توسیع داده می شود. با استفاده از فرآیند نشاندن، مسأله در ابتدا به یک مسأله اندازه بهینه جدید تبدیل شده و سپس این مسأله جدید به کمینه سازی یک فرم خطی بر روی زیرمجموعه ای از تساوی های خطی می انجامد. با حل این مسأله کمینه سازی خطی، یک جواب تقریبی از مسأله اصلی به دست می آید. همچنین در این پایان نامه، دیدگاه جدیدی برای حل سیستم های دینامیکی با تأخیر زمانی فازی، خطی و از مرتبه اول ارائه می کنیم. ما از یک نمایش عدد مختلط از مجموعه های ?-تراز استفاده کرده و سپس جواب را با به کار بردن روش رانگ کوتا به دست می آوریم.

در این پایان نامه ابتدا روش نشاندن بر مبنای تئوری اندازه، که یک روش کارا برای حل مسائل کنترل بهینه می باشد، به طور مختصر بیان شده. سپس مسائل کنترل بهینه غیر خطی بازخورد مورد بررسی قرار گرفته است. به این صورت که ابتدا مساله کنترل بهینه غیر خطی بازخورد به یک مساله بهینه سازی روی معادلات شمول تبدیل می گردد. سپس با معرفی یک متغیر کنترل مصنوعی مساله معادلات شمول به یک مساله کنترل بهینه خطی بر حسب متغیر کنترل تبدیل شده و در نهایت با روش نشاندن مساله مذکور با یک مساله برنامه ریزی خطی تقریب زده می شود. سپس با استفاده از جواب مساله برنامه ریزی خطی کنترل مصنوعی تقریبا بهینه و در ادامه مسیر وکنترل اولیه تقریبا بهینه به دست می آیند.

در این پایان نامه با توجه به اهمیت بیماری ایدز، به تحلیل یکی از مدل های ریاضی ایدز پرداخته شده است. در کنترل بیماری ایدز این مسئله همواره حائز اهمیت است که کمترین مقدار مصرف دارو را در برنامه کنترل بیماری بگنجانیم، زیرا علاوه بر هزینه بالای دارو، عوارض جانبی آن نیز زیاد است. از این رو استفاده از یک مدل ریاضی و اعمال روش های جدید در حل مسائل کنترل بهینه برای تجویز مقدار بهینه دارو ضروری به نظر می رسد. در این پایان نامه یک سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی که بر هم کنش بین ویروس های hiv و سیستم ایمنی بدن انسان را مدل می کند مورد استفاده قرارگرفته است. در ادامه تأثیر دو نوع دارو در روند پیشرفت ایدز بررسی شده است؛ که این کار با افزودن دو تابع کنترلی به مدل ارائه شده انجام شده است. برای کم کردن هزینه های درمان و بیشینه کردن جمعیت سلول های cd4+t، مدل کنترلی به دست آمده را به یک مسئله کنترل بهینه تبدیل نموده ایم. همچنین نقش پاسخ خاص سیستم ایمنی بدن در از بین بردن عفونت، مورد تحلیل قرار گرفته است. جواب تمامی مدل های گفته شده و همچنین مسائل کنترلی مربوط به آن ها را توسط روش گسسته سازی خاصی تحت عنوان avkحل نموده ایم.

حل سیستم های کنترل بهینه ی واقعی از پیچیدگی های خاصی برخوردار است. در نظریه ی کلاسیک کنترل، تنها سیگنال های ورودی-خروجی اهمیت دارند. نقص عمده ی این نظریه آن است که تنها در مورد سیستم های خطی مستقل از زمان قابل استفاده است. از این رو ارائه ی یک روش عددی مناسب و کارآمد برای حل سیستم های کنترل بهینه واقعی از اهمیت قابل توجهی برخوردار می باشد. در این پایان نامه ابتدا به معرفی چند جمله ای های متعامد لژاندر و چبی شف برای حل مسائل کنترل بهینه ی خطی با تابعی معیار درجه دوم می پردازیم. سپس با بهره گیری از نقاط هم مکانی خاصی روش ارائه شده را توسیع داده تا بتوان مسائل کنترل بهینه ی غیر خطی (از جمله مسئله ی کوتاه ترین مسیر) را نیز حل نمود. همچنین مسائل کنترل بهینه در افق نامتناهی را مورد بررسی قرار می دهیم. علاوه براین یک روش کارای قطعه به قطعه (که مبتنی بر چند جمله ای های لژاندر می باشد) برای مسائل کنترل بهینه ناهموار بنگ-بنگ ارائه می شود. در پایان مسائل کنترل بهینه ی با قیود انتگرالی و اینتگرو-دیفراسیلی را مورد بررسی و حل قرار می دهیم.

در این پایان نامه، استراتژی کنترل بهینه برای مدل بیماری های اپیدمیک ‎sir‎ با تأخیر زمانی معرفی می شود که کنترل به معنای درمان میزبان های عفونی و یا اتخاذ هر شیوه دیگری برای کاهش احتمال گسترش افراد عفونی است. و تأخیر زمانی در ارتباط با افراد عفونی و دوره کمون بیماری اپیدمیک مورد نظر می باشد. به دلیل کارا نبودن روش های کلاسیک در حل این گونه مسائل از روش نسبتا جدید نظریه اندازه استفاده می کنیم تا مسئله کنترل بهینه با تأخیر زمانی را به صورت تقریبی به مسئله برنامه ریزی خطی با بعد متناهی تبدیل کند؛ سپس با بکارگیری روش های کلاسیک، جواب مسئله برنامه ریزی خطی را بدست می آوریم.

در این پایان نامه به حل یک مساله کنترل بهینه تاخیری در زمینه پزشکی می پردازیم. با انتخاب یکی از مدلهای تاخیری مربوط به عفونت hiv و اعمال کنترلهای u1(.) وu2(.) در آن و ساخت تابع هدف مناسب برای آن، به یک مساله کنترل بهینه تاخیری دست می یابیم، که به علت غیر خطی بودن و بعد بالا، پیچیده بوده و به روشهای تحلیلی قابل حل نمی باشد. با استفاده از روش اندازه، حل مساله کنترل بهینه تاخیری حاصل از اعمال کنترلهای u1(.) وu2(.) مورد بررسی قرار می گیرد. در این روش حل، ابتدا هر مساله با استفاده از یک نگاشت یک به یک به فضای اندازه نگاشته می شود و سپس با یک مساله برنامه ریزی خطی با بعد متناهی تقریب سازی می شود. با حل مساله برنامه ریزی خطی به کمک نرم افزارهای ریاضی، ابتدا تابع کنترل بهینه بدست می آید و سپس توابع مربوط به مسیرهای بهینه با استفاده از روش های عددی محاسبه می شوند. در پایان نامه این دو تابع کنترل که در واقع دو روش دارویی برای کنترل عفونت hiv در بیمار می باشند، برای دو حالت از بیماری بررسی شده و نتایج این بررسی در پایان نامه ارائه گردیده است.

بهره برداری و استفاده مناسب از فضای در دسترس انبار در ذخیره سازی محصولات‏، ‏موضوع مورد توجه بسیاری از شرکت هاست‏، مخصوصا در حالاتی که فضای ذخیره سازی گران و هزینه بر باشد.‎ هدف اصلیِ این پایان نامه‏، تعیین اندازه بسته بندی و طراحی فضای ذخیره سازی به طور همزمان و برآورد تاثیر اندازه بسته بندی ها، ابعاد پالت ها و طراحی قفسه ها بر روی فضای مورد استفاده انبار‏ است.‎‎‏‎ بیانِ مدل های ریاضی این مسئله‏، متاثر از نوع روش ذخیره سازی کالا در انبار است. ‎ بعد از ارائه مدل های ریاضی مسئله مورد بحث، با استفاده از رهیافتی ابتکاری که فضای جستجو را بصورت ضمنی برای یافتن جواب بهینه بررسی می کند، به حل این مدل ها می پردازیم و در نهایت‏، جهت نشان دادن اهمیتِ ‎‎‏پرداختن به این موضوع‏، یک مورد مطالعاتی خاص را بررسی ‏می کنیم.

در این پایان نامه، روش جدیدی بر پایه ی فرایند نشاندن و رویه ی لغزشی ارایه شده است. در این روش، در کوتاه ترین زمان ممکن مسیرهای وضعیت از نقطه ی آغازین به نقطه ای مشخص روی صفحه ی لغزشی هدایت شده سپس بر روی صفحه ی لغزشی به سمت نقطه ی تعادل حرکت می کنند. ابتدا، صفحه ی لغزشی را طراحی کرده و سپس با استفاده از روش نشاندن یک مسأله ی کنترل بهینه ی زمانی به گونه ای طراحی می کنیم که مسیرهای وضعیت در کمترین زمان به رویه ی لغزشی رسیده و در ادامه کنترلی تحت عنوان کنترل معادل طوری طراحی می کنیم که مسیرهای وضعیت به نقطه ی تعادل روی رویه ی لغزشی میل می کنند. اصلی ترین اشکال روش کنترل حالت لغزشی پدیده ای به عنوان نوسان است. روش پیشنهاد شده در این پایان نامه فارغ از نوسان می باشد. سپس روشی بر پایه ی کنترل حالت لغزشی به منظور پایدار نمودن دستگاه هیسنبرگ توسعه یافته که رده ای خاص از دستگاه های غیرخطی می باشد، ارایه گردیده است. برای این منظور برخی شرایط خاص معرفی شده و شرط پایداری دستگاه با توجه به این شرایط و استفاده از تابع لیاپانوف ویژه ای اثبات شده است. در فصل آخر این پایان نامه به کاربردی از کنترل حالت لغزشی در دستگاه های پزشکی پرداخته ایم. برای این منظور، یک دستگاه شکار- شکارچی که مدل ریاضی ویروس تضعیف کننده ی سیستم ایمنی بدن (hiv) را نشان می دهد، در نظر گرفته ایم. سپس نقطه ی تعادل دستگاه را یافته و با تغییر متغیری مناسب، این نقطه را به مبدأ منتقل کرده و رویه ای لغزشی طراحی می کنیم به گونه ای که از مبدأ عبور کند. آنگاه کنترل معادل را به دست آورده و به کمک آن مسیر متغییر های وضعیت را محاسبه می کنیم. سرانجام دستگاه را به حالت اول (قبل از انتقال به مبدأ) بر می گردانیم. در پایان هر فصل مثال هایی به منظور نشان دادن کارایی روش پیشنهاد شده ارایه گردیده است.

مساله معروف زمانبندی پروژه با منابع محدود (rcpsp) یک مساله بهینه سازی در نظر گرفته می شود. روشهای دقیق، (فرا)ابتکاری متنوعی برای حل این گونه مسائل ارائه شده است. در ادبیات موضوع، مطالعات نسبتأ اندکی در زمینه میزان تأثیر بعد (جهت) زمانبندی صورت گرفته است. در این رساله این که چگونه با افزایش بعد شیوه های زمانبندی، عملکرد شیوه های زمانبندی افزایش خواهد یافت، شرح داده خواهد شد. لذا به منظور حل مسائل زمانبندی پروژه با منابع، شیوه زمانبندی جدیدی که مبتنی بر تولید زمانبندی در سه جهت مختلف است، معرفی شده است. نتایج عددی و نیز محاسبات نظری، حاکی از عملکرد بهتر این شیوه زمانبندی سه جهته (trdss) در مقایسه با دیگر روشهای ساختگرا نظیر پیشرو، پسرو و حتی شیوه زمانبندی دو جهته است. همچنین با توجه به نتایج عددی حاصل از اعمال این شیوه بر روی مسائل زمانبندی مختلف، می توان گفت که عملکرد شیوه زمانبندی سه جهته نسبت به شیوه های زمانبندی دیگر بدون در نظر گرفتن نوع قاعده اولویت بکار رفته، با افزایش تعداد فعالیتها و نیز کاهش استحکام منابع بهتر می شود. در ادامه یک روش دقیق ترکیبی جدید برای حل دقیق مسائل زمانبندی پروژه با منابع محدود که بر مبنای روش شاخه و کران است معرفی شده است. در این روش از مکانیسم جدید lam و همچنین از الگوریتم ابتکاری ژنتیک که با شیوه زمانبندی سه جهته به منظور زمانبندی فعالیتها تجهیز شده است، استفاده شده است. سه قاعده هرس مجموعه تأخیری مینیمال، هسته زمانی و انتقال به چپ به منظور هرس گره های میانی درخت شمارشی مورد استفاده قرار گرفته است. روش پیشنهادی بر روی مجموعه مسائل نمونه ای که تعداد فعالیتهای هر یک از آنها بین 30 الی 120 فعالیت و تعداد منابع هر یک بین 1 الی 6 نوع منبع متغیر می باشند، آزمون شده است. در ادامه به بررسی شرایط و معیارهایی پرداخته شد که تحت آن شرایط، احتمال محاسبه جوابهای با کیفیت بالاتر (کاهش بیشتر طول عمر پروژه) توسط شیوه زمانبندی چند جهته (چند بعدی) بیشتر می شود. در پرتو این مطالعات، دو معیار منبع محور جدیدی که اولی به بررسی تعداد سرریز منابع و دومی به محاسبه میزان کل سرریز منابع در مسائل زمانبندی می پردازد، پیشنهاد گردید. نتایج عددی نیز گویای این واقعیت است که با افزایش تعداد و میزان کل سرریز منابع تفاوت عملکردی شیوه زمانبندی سه جهته در مقایسه با شیوه-های با بعد کمتر، افزایش می یابد. با توجه به این که روش تراز کردن در بسیاری از الگوریتم ها مورد استفاده قرار می گیرد، نشان داده شد که نسخه تنظیم شده trdss از عملکرد بهتری نسبت به روش تراز دو طرفه برخوردار است. در انتها مسائل زمانبندی با منابع محدود در محیطهای چند پروژه ای (rcmpsp) در محیط ایستا مورد مطالعه قرار گرفت. در حالت کلی دو رویکرد تحت عناوین تک پروژه ای و چند پروژه ای برای حل مسائل rcmpsp وجود دارد. در این رساله با توجه شیوه زمانبندی چند بعدی، رویکرد جدید تلفیقی تحت عنوان ip پیشنهاد شد. همچنین میزان کل سرریز منابع (tao)، برای محیطهای چند پروژه ای تعمیم داده شد. رویکرد ip قبل از شروع فرایند زمانبندی بر اساس شیوه trdss، پروژه ها را بر اساس معیار منبع محور tao ، اولویت بندی و سپس ترکیب می کند. همچنین بر اساس پارامتر کنترلی سرریز منابع، مولد جدیدی طراحی شده است که به صورت تصادفی به تولید مصادیقی در محیطهای چند پروژه ای می پردازد. تجزیه و تحلیل انجام شده نشان از تأثیر مثبت رویکرد ip با توجه به لحاظ نمودن تأخیر پروزه ها به عنوان ملاک ارزیابی روشها می باشد.

تحلیل پایداری انواع سیستم های غیر خطی، حتی سیستم های غیر خطی مستقل از زمان در اغلب موارد بسیار مشکل و یا حتی غیر ممکن است. در این پایان نامه، تحلیل پایداری نقاط تعادل سیستم های غیر خطی مستقل از زمان به روش لیاپانف ارائه شده است. در اینجا تحلیل پایداری نقاط تعادل مدل های تخریب زیستگاه و ایمنی سرطان که هر دو غیرخطی هستند به روش خطی سازی لیاپانف انجام شده است. پایدارسازی نقاط تعادل ناپایدار سیستم های دینامیکی موضوع بسیار مهمی است.در ادامه پایدارسازی رده خاصی از سیستم های دینامیکی غیر خطی مستقل از زمان مدل های یادشده با ایجاد آشوب توسط وارد کردن توابع کنترل بهینه مناسب انجام شده است. در انتها پارامترهای ناشناخته مدل تخریب زیستگاه را تخمین زده ایم.

مسائل کنترل بهینه تحت مسئله دیفرانسیل با مشتقات جزیی کاربرد‍ های زیادی در علوم محض‏، مهندسی، اقتصاد و غیره دارند. از طرفی اینگونه مسائل‏، نوعا"‎‏‎ غیر خطی می ‎باشند و حل تحلیلی و عددی آنها معمولا با دشواریهایی روبرو است. تاکنون چندین روش برای حل تحلیلی یا عددی اینگونه مسائل ارائه شده است .‎با توجه به این که این نوع مسائل دارای شرایط اولیه‏، نهایی و شرایط مرزی می ‎‎‏ باشند، در این روش ها هرگونه تغییر در شرایط اولیه یا مرزی باعث ایجاد تغییرات زیادی در محاسبات شده و همه محاسبات باید تکرار گردند. در این رساله رهیافت عددی جدیدی برای حل ‎‎‎این نوع مسائل کنترل بهینه بر اساس نظریه نیم گروه ها ‎‎ ‎‎ارائه می کنیم که هرگونه تغییر در شرایط اولیه یا مرزی باعث ایجاد تغییر جزیی در محاسبات می شود‎‎، زیرا ساختار نیم گروه مرتبط با هر مسئله تغییر نمی‎‎کند. ابتدا مسائل کنترل بهینه تحت‎ مسئله دیفرانسیل با مشتقات جزیی سهموی‎ خطی یک بعدی و دو بعدی را در نظر می گیریم و به منظور بدست آوردن نیم گروه تقریبی مربوطه، با گسسته سازی متغیر های غیر زما‎‎نی،‎ مسئله ‎pde‎ ‎‎‎ را با یک مسئله دیفرانسیل معمولی خطی در شکل ناهمگن تقریب می زنیم. در ادامه با استفاده از نظریه نیم گروه ها‏‏، ماتریس اساسی مربوط به شکل همگن مسئله دیفرانسیل معمولی خطی را محاسبه می کنیم. پس از آن اثبات همگرایی رهیافت را در اولین تقریب‏ با استفاده از مطالب و قضایای مربوط به ماتریسهای‎‎ ‎ توبلیتز و ‎نیم گروه ها‎ بررسی می نماییم. ‎سپس ‎‎‎تابع کنترل را با استفاده از چندجمله ای های چبیشف تقریب می زنیم و پس از بررسی همگرایی روش در دومین تقریب، مسئله اصلی را به صورت تقریبی حل می کنیم. در ادامه مسائل کنترل بهینه تحت مسئله دیفرانسیل‎ با مشتقات جزیی ‎‎ ‎ ‎‎هذلولوی‎‎‎ خطی را در نظر می‎‎گیریم و رهیافت بالا را برای حل تقریبی آن به کار می گیریم. در پایان حل مسائل کنترل بهینه تحت ‎‎مسئله دیفرانسیل با مشتقات جزیی ‎خطی سهموی با ضرایب متغیر زمانی ‎‎‎ را مورد بررسی قرار می دهیم‏. با در نظر گرفتن ‎‎مسئله دیفرانسیل با مشتقات جزیی ‎خطی سهموی ‏ و‎‎‎ با استفاده از گسسته سازی متغیر های غیر زمانی،‎‏ مسئله اصلی را با یک مسئله دیفرانسیل معمولی خطی‏ با متغیر زمانی تقریب می زنیم. سپس با استفاده از تکنیک ‎ hdmr ‎‎مسئله دیفرانسیل معمولی خطی با ضرایب متغیر زمانی را با چندین مسئله دیفرانسیل معمولی خطی با ضرائب ثابت تقریب می زنیم. همچنین چند مثال عددی ارائه می کنیم.

در این پایان نامه, سری های فوریه برای حل مسایل حساب تغییرات , مسایل دو مقدار مرزی, مسایل کنترل بهینه و مسایل کنترل بهینه تأخیری مورد استفاده قرار گرفته اند. حل مسایل دو مقدار مرزی, مقدمه ای مناسب برای حل مسایل کنترل بهینه تأخیری محسوب می شوند که بکارگیری سری های فوریه در حل اینگونه مسایل, منتج به نتایج قابل قبول و مطلوبی شده است. مثالهای عددی ارائه شده مفید بودن روش استفاده از سری های فوریه را برای حل اینگونه مسایل تأیید می کنند.

در دنیایی که ما را محاصره کرده ، قوانین فیزیکی و دینامیکی با دستگاههای دینامیکی عام قابل بیان نیستند . هنگامی که دستگاههای دینامیکی پیچیده هستند و یا ذرات دینامیکی در مقیاس ذره بینی می باشند(سیستم های بیولوژیکی) آنگاه جنبش و حرکت دیگر از قوانین معمولی مشتقات مراتب صحیح پیروی نمی کنند . در این گونه موارد حرکت ها قوانین مرتبه کسری را پیروی می کنند ، به این معنی که رفتارشان با معادلات دیفرانسیل کسرِی (fdes) همراه می شوند. به عنوان مثال ، در ادبیات موضوع ملاحضه می کنیم حرکات دینامیکی که حافظ خاطره و یا انتقال دهنده اثرات ارثی هستند ، ونیز دینامیک های پیچیده مانند پخش و انتشار گاز ، و یا توزیع حرارت در محیط های غیر همگن ، و با انتشار بالا ، معمولا با استفاده از معادلات دیفرانسیل کسری مدلبندی می شوند . مسائل کنترل بهینه با مشتقات مرتبه صحیح ، بخش وسیعی و کاملی از تحقیقات در زمینه کنترل وکنترل بهینه را شامل می شود . این موضوع نسبتاً زمان زیادی در علم و تکنولوژی مطرح و مورد تحقیق و پژوهش بوده است . مسائل کنترل بهینه کسری ، در واقع همان مسائل کنترل بهینه هستند که دستگاههای دینامیکی همراه کننده آنها ، دستگاههای دینامیکی کسری است . درعرض سالهای اخیر ، به دلیل ضرورتی که بالا ذکر شده ، بحث بهینه کسری متولد و رشد کرده است . در این پایان نامه ، به دو تفسیر متفاوت از مشتقات کسری - مشتق کسری ریمن - لیوویل ومشتق کسری کاپوتو ، روشی کارا و عددی برای حل مسائل کنترل بهینه ای که با معادلات دیفرانسیل کسری همراهی می شوند ، ارائه خواهیم داد . قابل ذکر است که این نوع مسائل در درمان بیماریهای اپیدمی همانند hiv ، سل ، طاعون ،... قابل طرح و تحقیق هستند .

یکی از کاربردهای کنترل بهینه،در حل مسایل بیولوژیکی می باشد. یکی از مسایل مهم بیولوژیکی مبارزه با آفت ها در یک محیط کشت در مزرعه می باشد. روش های متفاوتی برای افت زدایی در کشاورزی وجود دارد. دو روش عمده برای این کار روش بیولوژیکی (استفاده از شکارچیان)وروش شیمیایی(استفاده از سم حشره کش ها)می باشد. دو روش فوق در این پایان نامه در یک دستگاه کنترلی مورد بحث و بررسی قرار داده ایم. هزینه کلی برای مقابله با آفتها شامل هزینه حاصل از آسیب آفت ها و شکارچچیان به محصولات کشاورزی و نیز هزینه قیمت مواد شیمیایی می باشد. کمینه کردن این هزینه منجر به یک مساله کنترل بهینه می شود که با دو دیدگاه فازی و غیر فازی اقدام به حل آن کرده ایم. در دیدگاه فازی از قوانین اگر-آنگاه فازی و در دیدگاه غیر فازی از تابع همیلتن و اصل پونتریاگین استفاده شده است.

تاکنون چندین مشتق تعمیم یافته برای توابع ناهموار تعریف شده است، در حالی که نمی توان از آن ها برای حل مسائل بهینه سازی ناهموار مانند مسائل حساب تغییرات و کنترل بهینه ناهموار استفاده کرد. از این رو در این رساله یک مشتق تعمیم یافته کاربردی جدید برای توابع ناهموار انتگرال پذیر تعریف نموده و به کمک آن بهترین تقریب خطی و بسط تیلور مرتبه اول تعمیم یافته توابع ناهموار را معرفی می نماییم. همچنین این مشتق را برای توابع ناهموار فازی نیز تعمیم می دهیم. مشتق تعمیم یافته در این رساله برای هر تابع ناهموار انتگرال پذیری از حل یک مساله برنامه ریزی خطی به صورت نقطه ای و پیوسته قابل محاسبه است. در ادامه به کمک این مشتق، معادله اولر-لاگرانژ تعمیم یافته را برای مسائل حساب تغییرات ناهموار بدست می آوریم و از حل آن با روش شبه طیفی چی بی شف به یک جواب بهینه تقریبی می رسیم. علاوه بر این با بکارگیری این مشتق تعمیم یافته جدید، یک رده از مسائل کنترل بهینه ناهموار را به یک مساله هموار تبدیل می کنیم و با استفاده از روش شبه طیفی چی بی شف یک جواب بهینه تقریبی برای مساله ناهموار اصلی بدست می آوریم.

کاربرد توابع ناهموار در بسیاری از حوزه های مهندسی، اقتصاد، علوم بر هیچکس پوشیده نیست. حل این گونه مسائل با استفاده از روشهای مختلف نیازمند مشتق می باشد و از آنجا که برای توابع ناهموار مشتق تعریف نمی شود، لذا روشهای موجود کارایی لازم را در این زمینه ندارند. از اینرو دانشمندان به طور جدی به دنبال معرفی یک تقریب برای مشتق این توابع می باشند ولی تمامی آنها در این نکته مشترک هستند که استفاده از آنها دارای محدودیتهای زیادی دارد. به عنوان نمونه محل نقاط ناهمواری توابع در این مشتق ها باید مشخص باشد. از اینرو، این رساله به دنبال معرفی یک مشتق تعمیم یافته کاملا کاربردی می باشد که براساس آن بتوان مسائل مختلف را حل نمود. در این رساله پس از معرفی وارائه این مشتق تعمیم یافته که برای توابع هموار به عنوان مشتق معمولی و برای توابع ناهموار به عنوان یک تقریب مناسب عمل می کند، به استفاده از آن و نشان دادن کارایی آن اقدام می کند. بدین منظور در ادامه، حل معادلات دیفرانسیل ناهموار بررسی می شود و با استفاده از بسط تیلور تعمیم یافته، رهیافتی ارائه می گردد که به خوبی قادر است معادلات دیفرانسیل ناهموار را حل نماید. به همین ترتیب در ادامه، رهیافت جدیدی برای حل مسائل بهینه سازی و به تبع آن دستگاه معادلات ناهموار مورد بررسی قرار می گیرد. در بحث انتهایی این رساله، رهیافتی برای کنترل رده ای از مسائل ناهموار معرفی می گردد. نتایج بدست آمده در مثالهای ارا ئه شده، حاکی از صحت و کارایی رهیافتهای معرفی شده می باشد.

در این پایان نامه روشی برای حل سیستم های کنترل و کنترل بهینه فازی خطی و غیر خطی فازی با استفاده از ?-برش،مشتق تعمیم یافته قوی، مشتق تعمیم یافته هاکوهارا و اصل گسترش زاده ارائه شده است. در فصل اول، پیشینه تاریخی موضوع و در فصل دوم، مفاهیم مقدماتی مورد نیاز ارائه شده اند. در فصل سوم‏، ابتدا سیستم های کنترلی با ضرایب مستقل از زمان فازی یا غیرفازی در حالت چند بعدی‎ با استفاده از نمایش مختلط کران های ?- ‏برش‏، مورد بحث قرار گرفته اند. سپس مساله کنترل بهینه فازی برای بهینه سازی مقدار تابع هدف یک مساله فازی با استفاده از تعمیم اصل بیشینه پونتریاگین بررسی شده است. در فصل چهارم برای سیستم های کنترل و کنترل بهینه فازی وابسته به زمان یک بعدی‏، با استفاده از ‎?-برش و تابع هویساید رهیافتی جدید ارائه گردیده است. مشتق به کار رفته در این فصل مشتق تعمیم یافته هاکوهارا می باشد. در فصل پنجم نیز با استفاده از اصل گسترش زاده و تجزیه عدد فازی‏، به حل دسته ای از مسائل کنترل بهینه غیرخطی فازی می پردازیم.

در این پایان نامه ، کنترل حالت لغزشی ‎(smc)‎ برای پایدارسازی یک دستگاه کنترلی همراه با اغتشاش و عدم قطعیت مورد بررسی قرار می گیرد. با توجه به شکل دستگاه کنترلی ، (خطی یا غیر خطی ) رویه لغزشی ‎(ss)‎ مناسب تعریف شده و نشان داده می شود که حرکت روی این رویه لغزشی ، با معیار لیاپانوف ، به سمت نقطه تعادل همگراست. نوع پایداری روی رویه لغزشی ، از نوع پایداری مجانبی خواهد بود. حرکت روی رویه لغزشی ، بعد دستگاه را کاهش می دهد. و از حرکت زیگزاک جلوگیری خواهد کرد‎.‎ در این پایان نامه ، یک دستگاه کنترلی که مدل بیماریهای اپیدمی را توصیف می کند نیز با طراحی یک رویه لغزشی مناسب که سیستم کنترلی را به سمت نقطه تعادل همگرا می کند ، مورد بررسی و تجزیه و تحلیل قرار گرفته است.

مسائل سهموی نیم خطی رده ای از مسائل سهموی غیرخطی می یاشند‏، که کنترل بهینه آنها با سه چالش ناخطی بودن، هزینه پردازش بالا و هزینه حافظه بالا مواجه است. در این رساله برای گذر از این چالشها دو روش در قالب یک راهبرد پیشنهاد می شود. به واقع به وسیله راهبرد کنترل بهینه پیاپی مسئله کنترل بهینه اصلی، به طور هم ارز، به تعدادی متناهی زیر مسئل? کنترل بهینه،‏ که به طور پیاپی وابسته اند،‏ تجزیه می شود. در این راهبرد بازه زمانِ مسئله کنترل اصلی به تعدادی متناهی زیربازه پیاپی تجزیه می شود، سپس با تحدید مسئله کنترل اصلی به هر زیربازه یک زیرمسئله کنترل بهینه تعریف می شود به طوری که مقدار آغازین در زیرمسئله برابر با مقدار جواب بهین در زیرمسئله قبل در انتهای زیربازه زمان آن زیرمسئله باشد. مجموعه این زیرمسئله های پیاپی با مسئله کنترل اصلی هم ارز است؛ یعنی ترکیب پیاپی جوابهای بهینه زیرمسئله ها، جواب بهینه مسئله کنترل اصلی را به دست می دهد، و برعکس با تحدید جواب بهینه مسئله کنترل اصلی به زیربازه ها، جوابهای بهینه زیرمسئله ها به دست می آید. چون حل هر زیر مسئله به حافظه بسیار کمتری نیاز دارد، راهبرد کنترل بهینه پیاپی هزینه حافظه برای حل مسئله کنترل اصلی را بسیار کاهش می دهد. ازآنجاییکه زیرمسئله های راهبرد کنترل بهینه پیاپی مسائلی غیرخطی هستند برای حل آنها روش شبه خطی سازی پیشنهاد می شود. در این روش هر زیرمسئله با دنباله ای از مسائل کنترل بهینه درجه دوـ خطی تقریب می شود؛ که اولین مسئله در این دنباله با شبه خطی سازی معادله وضعیتِ زیرمسئله حول نقطه ای از فضای جواب به دست می آید، دومین مسئله درجه دوـ خطی با شبه خطی سازی معادله وضعیت زیرمسئله حول جواب بهینه اولین مسئله درجه دوـ خطی به دست می آید، و ... . ثابت می شود دنباله جوابهای بهینه این مسائل کنترل بهینه درجه دوـ خطی به هر جواب بهینه زیرمسئله کنترل بهینه همگراست. این مطلب یکتایی جواب بهینه زیرمسئله را نیز به دست می دهد؛ زیرا هر دنباله همگرا بیش از یک نقطه همگرایی ندارد. همچنین یکتایی جواب بهینه مسئله کنترل اصلی از یکتایی جواب بهینه زیرمسئله ها به دست می آید؛ که این نتیجه یکتایی در ادبیات کنترل بهینه مسائل سهموی نیم خطی جدید می باشد. حل دستگاههای بهینگی مسائل درجه دوـ خطی چالش غیرخطی بودن را ندارد، اما حل دنباله ای از این دستگاهها هزینه پردازش بالا خواهد داشت. از آنجاییکه هر دستگاه بهینگی توسط یک معادله نقطه ثابت توصیف می شود، روش ترکیبی پیشنهاد شده با پرهیز از حل کامل دستگاههای بهینگی (یا معادله های نقطه ثابت) هزینه پردازش را بسیارکاهش می دهد. در این روش به جای دنباله دستگاههای بهینگی، دنباله ای از معادلات بازگشتی تعریف می شود که در آن هر معادله، تکرار اول از روش تکرار نقطه ثابت برای یکی از معادله های نقطه ثابت می باشد. ثابت می شود دنباله جوابهای این دنباله از معادلات به هر جواب بهینه زیرمسئله کنترل همگراست؛ که بنابراین روش ترکیبی نیز مانند روش شبه خطی سازی یکتایی جواب بهینه زیرمسئله ها و نیز یکتایی جواب بهینه مسئله کنترل اصلی را به دست می دهد. ثابت می شود روش شبه خطی سازی و روش ترکیبی در قالب راهبرد کنترل بهینه پیاپی‏، پایداری عددی دارند. همچنین ثابت می شود این روشها مرتبه همگرایی شان دست کم خطی است.

مطالعه بیماری های مسری، از دیدگاه ریاضی، به منظور ارزیابی و آینده نگری وکنترل بیماری انجام می گیرد. مدل های کلاسیک و قطعی ریاضی که این پدیده ها را توصیف می کنند، اغلب قادر به بررسی تمامی جوانب برای عملی کردن مدل نمی باشند. زیرا انسان ها از لحاظ خصوصیات فیزیولوژیکی، شرایط آب و هوایی و محیط زندگی و...، به عنوان یک موجود یکسان قابل بررسی نمی باشند. بنابراین با هدف بررسی فرآیند بیماری به شکل واقعی تر و کاربردی تر، مدل هایی که ناهمگنی و تمامی جوانب را در نظر می گیرند، باید مورد توجه قرار گیرد. این نوع نگرش به بیماری در واقع با ریاضیاتی تحت عنوان ریاضیات ابهام دار (فازی) ، قابل مدل سازی است. در دهه اخیر مقالات ریاضی مربوط به ابهام و عدم قطعیت به شکل قابل ملاحظه ای و مخصوصا در رشته هایی نظیر مدل سازی سیستم و بهینه سازی و کنترل در علوم پزشکی توسعه پیدا کرده اند و تعدادی از صاحب نظران با استفاده از نظریه مجموعه های فازی در بیماری های واگیر دار تحقیقاتی انجام داده اند. از زمان پیدایش بیماری ایدز چندین مدل ریاضی برای توصیف دینامیک آن ارائه شده است که غالبا با ریاضیات دقیق مورد بررسی قرار گرفته اند. وقتی فردی با ویروس hiv آلوده می شود، تا تبدیل این آلودگی به بیماری ایدز، بدون درمان دارویی حداکثر 10 سال طول می کشد. برای درمان این آلودگی تا کنون هیچ درمان قطعی وجود نداشته است و داروهایی که برای این نوع بیماران توسط پزشکان تجویز می شود، تنها در جهت به تاخیر انداختن مدت زمان ظهور بیماری ایدز می باشد؛ ضمن این که این داروها خود دارای خاصیت ضد سلامتی می باشند و از نظر هزینه نیز جزو داروهای گران قیمت محسوب می شوند. اگر پزشکان، نرخ تبدیل آلودگی ویروس hiv به بیماری ایدز را به طور تقریبی بدانند، می توانند به شکل موثرتر و با اطمینان بیشتری، اقدام به تجویز دارو برای بیمار آلوده، نمایند. در این تحقیق ما از نظریه مجموعه های فازی، برای تخمین نرخ تبدیل آلودگی ویروس hiv به بیماری ایدز کمک می گیریم. معاینات بالینی پزشکان نشان می دهد که نرخ تبدیل آلودگی ویروس hiv به بیماری ایدز، غیر قطعی بوده و به طور قابل توجهی به عوامل اساسی مانند تعداد بار ویروسی و شمار سلول های لنفوسیت بدن فرد آلوده و سن هر فرد آلوده، وابسته است. در این پژوهش نرخ تبدیل آلودگی ویروس hiv به بیماری ایدز، با استفاده از کنترل فازی با رهیافت سوگینو تخمین زده شده است. یعنی نرخ تبدیل آلودگی ویروس hiv به بیماری ایدز، به عنوان تابعی از تعداد بارویروسی (v)و تعداد سلول های لنفوسیت cd4و سن فرد آلوده ، برآورد شده است. جواب هایی که با استفاده از این روش و پس از انجام محاسبات به دست آمده است، تا حد قابل قبولی داده های بالینی واقعی را تایید می نماید و می تواند در جهت کنترل دز دارو و هزینه های مربوط به آن مفید واقع گردد. فصل اول این نوشتار، در مورد ویروس hiv و مکانیسم دفاعی بدن در مقابل آلودگی ویروسی می باشد. در فصل دوم مقدمه ای از منطق و کنترل فازی آورده شده است. در فصل سوم تعدادی از مدل های آلودگی ویروس hiv که با ریاضیات بدون ابهام سر و کار دارد را مورد بررسی قرار داده ایم. در فصل چهارم مقدماتی برای مدل سازی فازی آورده شده است. در نهایت در فصل پنجم به محاسبه نرخ تبدیل آلودگی ویروس hiv با استفاده از کنترل فازی با رهیافت سوگینو، می پردازیم.

چکیده رساله: در این رساله به بررسی مسائل طراحی شکل بهینه که در زمینه های مختلف صنعتی ، پزشکی، مهندسی عمران و فیزیک مطرح می شوند، می پردازیم. مساله آغازین رساله طراحی دیواره نازل شتاب دهنده خمیر کاغذ در یک ماشین تولید کاغذ می باشد که با معادلاتی از نوع جابجایی-نفوذ همراه است، به قسمی که تا حد امکان خمیر کاغذ کمتری در انتهای خروجی نازل ( به عنوان موادی که مجددا باید بازیافت گردند) جمع شوند. مساله بعدی طراحی شکل بهینه یک پل سرخرگی در ناحیه فرود جریان می باشد که با معادلاتی از نوع استوکس همراهی می شود، آنچنان که جریان گردابی ایجاد شده در این ناحیه تا حد امکان کمینه شود. در قسمت سوم به طراحی مرز آزاد جداکننده قسمتهای خشک و مرطوب یک سد خاکی ناهمگن، که با معادله پتانسیل همراه است، خواهیم پرداخت. در نهایت طراحی قطب یک آهن ربای نعلی شکل را مورد بررسی قرار خواهیم داد، به طوریکه تغییرات پتانسیل الکترومغناطیسی تا حد امکان به یک مقدار معلوم نزدیک شود. در این رساله از رهیافت نظریه اندازه به عنوان روشی غیر تکراری و بدون نیاز به حدس اولیه،استفاده شده است. از دیگر مزایای این روش عدم تاثیر ساختار غیر خطی مسائل طراحی شکل بهینه در محاسبات است، همچنین این روش برای حل مسائلی با تابع هدف مشتق ناپذیر کاملا کارا می باشد. در این روش ابتدا هر مساله با استفاده از یک نگاشت یک به یک به فضای اندازه نگاشته می شود که مساله حاصل، یک مساله بهینه سازی غیر خطی در فضای با بعد نامتناهی می باشد. آنگاه با استفاده از اندازه های اتمی یکانی این مساله به یک مساله برنامه ریزی خطی با بعد متناهی تبدیل می شود. با حل این مساله برنامه ریزی خطی و استفاده از دستگاه دینامیکی بیان شده در مساله اولیه، شکل بهینه به بهترین نحو قابل طراحی خواهد بود. تحلیل حساسیت، کاهش تابع هدف نسبت به تکرار مراحل در مساله برنامه ریزی خطی، و بهترین تقریب برای شکل بهینه بدست آمده با استفاده از روشهای کمترین مربعات و درونیابی در این رساله مورد بررسی قرار گرفته است.