مجموعه s از رئوس گراف g را مجموعه همسایگی گراف g می نامند اگر g = u ??s ?n (?)? که ?n(?)? زیر گرافی از g است که توسط راس ? و همه روس مجاور با ? القا می شود. عدد همسایگی برای گراف g مینیمم اندازه مجموعه های همسایگی g است. این پارامتر در سال 1985 توسط e.sampathkumar و prabha s.neeralagi معرفی شده است. و در سال 1990 توسط p.p.kale و n.v.deshpande [5] کران های جدیدی برای این پارامتر ارائه شده است و همچنین در سال 2010 توسط b.chaluvaraju و v.lokesha و c.nandeesh kumar [4] با ارائه تعریف s1} و s2 دو مجموعه همسایگی مجزا ازهم در g هستند?+2(g) = min { |s1|+ |s2| : عدد همسایگی به عدد همسایگی دوگان تعمیم داده شده است. در واقع در مطالعات قبلی پارامتر فوق برای کلاس های خاصی از گراف ها تعیین گردیده و کران هایی برای آن ارایه شده است. در این پایان نامه ضمن مطالعه این پارامتر، پارامترهای مشابهی را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم.

گراف g-(v,e) از مرتبه p و اندازه q را فوق موزون یالی گویند اگر تابعی یک به یک مانند f از e به{0,-1, 1, -2, 2, …, -(q-1)/2, (q-1)/2} زمانیکه q فرد است و از e به {-1, 1, -2, 2, …, -q/2, q/2} زمانیکه q زوج است، موجود باشد بطوریکه برچسب گذاری القایی راسی f* تعریف شده توسط { f (u,v): (u,v)}?=f* ، از vبه{0,-1, 1, -2, 2, …, -(p-1)/2, (p-1)/2} زمانیکه p فرد است و از v به {-1, 1, -2, 2, …, -p/2, p/2}زمانیکه p زوج است ، یک به یک باشد. در این پایان نامه، کلاس هایی از گراف ها را معرفی می کنیم که فوق موزون یالی هستند. ابتدا نشان می دهیم برخی از گراف های اویلری فوق موزون یالی هستند سپس ثابت می کنیم همه مسیرها به جز p2 و p4 فوق موزون یالی می باشند. همچنین در مورد فوق موزون یالی درخت های زوج بحث می کنیم و نهایتا ثابت می کنیم همه درختهای از مرتبه فرد با دقیقا سه راس زوج، فوق موزون یالی هستند.