در این پایان نامه ثابت می کنیم تریدهای لاتین k–همگن از حجم km وجود دارند. نیز وجود همه تریدهای لاتین k–همگن از حجم km، جز شاید برای تعداد متناهی m، برای هرk?3 و m?k نشان می دهیم. همچنین با استفاده از بسته بندی های شش ضلعی حاصل شده از دوایر تریدهای لاتین 3–همگن را می سازیم. به علاوه تریدهای لاتین 4–همگن را مورد بررسی قرار داده و آنها را با استفاده از بسته بندی های مستطیلی حاصل شده از دوایر تولید می کنیم.

در این پایان نامه قطرهای پراکنده در مربع های لاتین را بررسی می کنیم. یک مربع لاتین از مرتبه ی n یک آرایه ی n*n با n نماد متمایز است، به طوری که هر نماد دقیقا یکبار در هر سطر و دقیقا یکبار در هر ستون ظاهر می شود. همچنین یک مربع لاتین جزئی از مرتبه ی n یک آرایه ی n*n با n نماد متمایز است، به طوری که هر نماد حداکثر یکبار در هر سطر و حداکثر یکبار در هر ستون ظاهر می شود. یک قطر پراکنده در یک مربع لاتین از مرتبه ی n نماد متمایز است به طوری که هیچ دو عنصری در یک سطر و یا یک ستون قرار ندارند. در این پایان نامه نخست وجود قطرهای پراکنده و نتایج شمارش را برای آن ها بررسی می کنیم، سپس به حالت این مسئله یعنی وقتی مربع لاتین یک جدول کیلی است می پردازیم. همچنین تعمیمی از قطر های پراکنده شامل قطر های پراکنده جزئی و پلکس ها را مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه، وجود آرایه های متعامد برای برخی از مقادیر بررسی می شود.یک آرایه ی متعامدoa(t,k,v)با اندیس واحد، از توان t، درجه ی k و مرتبه ی v آرایه ای k×v^t با عناصر از مجموعه ی v عضوی v است که در هر زیر آرایه ی t×v^t هر t-تایی مرتب از عناصر v دقیقاً یک بار به عنوان ستون ظاهر می شود. یک طرح متقاطع td(t,k,v)از مرتبه ی v و بلوک ها از اندازه ی k یک سه تایی (x,g,a) است در حالی که x یک مجموعه ی kv عضوی از نقاط و g یک افراز از x به k زیرمجموعه به نام گروه ها و a مجموعه ای از بلوک هاست که هر بلوک هر گروه را دقیقاً در یک نقطه قطع می کند و هر t نقطه از گروه های مختلف دقیقاً در یک بلوک دیده می شود. یک oa(t,k,v) و یک td(t,k,v) با یک دیگر معادل اند. g را یک گروه آبلی از مرتبه ی v در نظر بگیرید. یک ماتریس تفاضلی (v,k;1)-dm یک ماتریس k×v به صورت a=(a_ij) با درایه هایی از g است که برای هر (1?l<h?k) مجموعه ی تفاضلات a_hj-a_lj (1?j?k) شامل همه ی عناصر g باشد. وجود ماتریس های تفاضلی ارتباط نزدیکی با وجود آرایه های متعامد دارد. در این پایان نامه ابتدا ارتباط بین آرایه های متعامد و ماتریس های تفاضلی بیان شده و سپس وجود آرایه های متعامد oa(3,6,15) و oa(3,6,21) و oa(3,5,4n+2) بررسی می شود. هم چنین کران جدیدی برای عدد آرایه ی پوششی ارائه می شود.

مطالعه در مورد مربع های لاتین سابقه ای طولانی در ترکیبیات دارد. مراجعی در رابطه با مربع های لاتین می باشند, مربع های لاتین ارتباط جالب توجهی با مفاهیم مختلف ترکیبیات دارند. به ویژه مسئله های زیادی از مربع های لاتین به طور طبیعی به مسائلی از نظریه گراف مرتبط هستند ‎. این پایان نامه بر روی اندازه مجموعه های بحرانی در مربع های لاتین تعمیم یافته (رنگ آمیزی گراف ها) تمرکز دارد.یک مربع لاتین تعمیم یافته از نوع ‎(n,k)‎ یک آرایه ‎n×n‎ از نمادهای ‎0,1‎,...,‎k-1‎ است, به طوری که هر یک از این نمادها حداکثر یک بار در هر سطر و هر ستون ظاهر شوند. در فصل ‎?‎ تعاریف و قضایای مقدماتی مورد نیاز را بیان می نمائیم. فرض کنید ‎d(n,k)‎ اندازه مینیمم مجموعه ‎s‎ از درایه های داده شده از یک آرایه ‎n×n‎ را نشان دهد, به طوری که یک توسیع منحصر بفرد از ‎s‎ به یک مربع لاتین تعمیم یافته از نوع ‎(n,k)‎ وجود داشته باشد. مجموعه همه مربع های لاتین تعمیم یافته از نوع ‎ (n,k) ‎ را با ‎ l(n,k) ‎ نشان می دهند. برای ‎k>2n-1‎ روشن است که ‎d(n,k)=n^2‎. %اگر چه برای موارد ‎$nleqslant k leqslant 2n-1$‎ بدیهی نیست. علاوه بر این, برای ‎$nleqslant k < 2n-2$‎ مقدار ‎$d(n,k)$‎ معلوم نیست. مهدیان و محمودیان در مورد ‎$d(n,2n-1)$‎ بحث کردند و برای ‎$n$‎های زوج رابطه ‎$d(n,2n-1)=n^2-n$‎ و برای ‎$n$‎های فرد بزرگ تر از ‎?‎ رابطه ‎$d(n,2n-1)=n^2-n+1$‎ را ثابت کردند ‎cite{m16}‎. در فصل ‎?‎ برای ‎$n$‎های زوج رابطه ‎$ d(n,2n-1)=n^2-n $‎ را با ارائه سـاختار معینی نشــان مــی دهیم و از این ســاختار در روند تـعیین ‎$d(n,2n-2)$‎ اسـتفاده مـی کنیم. سـپس ویژگی هـایی را بــرای اثبات رابطه ‎$d(n,2n-2)leqslant n^2-lfloor frac{8n}{5} floor$‎ می آوریم و هم چنین تساوی کران فوق را برای ‎$n$‎های مضرب ‎??‎ بررسی می کنیم. در فصل ‎?‎ ابتدا ساختاری از یک مجموعه بحرانی با اندازه ‎$ lfloor frac{n^2}{4} floor $‎ در مربع های لاتین چرخشی از مرتبه ‎$ n $‎ ارائه می دهیم و بعد از آن برهان دیگری برای اثبات رابطه ‎$ d(n,2n-1)=n^2-n+1 $‎ برای ‎$ n $‎های فرد می آوریم. هم چنین یک ساختار جدید که برای ‎$n$‎های فرد رابطه ‎$ d(n,2n-1)=n^2-n+1 $‎ را نشان می دهد, بیان می کنیم و از این ساختار در روند تعیین یک مجموعه بحرانی در ‎$ l(n,2n-2) $‎ استفاده می نمائیم. در فصل ‎?‎ تعمیمی از ضرب مربع های لاتین را به مربع های لاتین تعمیم یافته خواهیم داشت و با به کار بردن این ضرب روی ساختارهای به دست آمده مجموعه های بحرانی جدید در مربع های لاتین تعمیم یافته را به دست می آوریم.

انرژی یک ماتریس برابر با مجموع مقادیر تکین آن ماتریس تعریف می شود. انرژی یک گراف برابر است با مجموع مقادیر ویژه آن گراف‏، ‎$‎e(g)‎=sum‎‎^{‎n‎‎‎}‎‎_{‎j‎=1‎}‎vert ‎lambda‎_{‎j‎}‎‎‎vert‎‎‎$‎. ‎‎ در این پایان نامه ارتباط میان انرژی یک گراف و انرژی گراف یالی متناظر آن را با توجه به انرژی های لاپلاسین و لاپلاسین بدون علامت را بیان کرده و هم چنین تأثیرات ناشی از حذف یال را بر انرژی گراف بررسی می کنیم. ماتریس ‎$‎l(g)=d(g)-a(g)‎$‎ را ماتریس لاپلاسین می نامیم و انرژی آن را به صورت ‎$‎le(g)=‎‎sum‎‎^{‎n‎‎‎}‎‎_{‎i‎‎=1‎}‎left‎| ‎‎mu‎‎_{‎i‎}‎-‎‎frac{2m}{‎n‎}‎ ight|‎‎$‎ تعریف می کنیم. تفاوت ها و شباهت های ‎$‎e(g)‎$‎ و ‎$‎le(g)‎$‎ را بررسی کرده و کران هایی برای انرژی گراف و انرژی لاپلاسین آن ارائه می دهیم. هم چنین انرژی وقوع گراف ‎$‎g‎$‎ را که برابر است با مجموع مقادیر تکین ماتریس وقوع گراف ‎$‎g‎$‎ و شبه انرژی لاپلاسین را معرفی کرده‏ و ارتباط میان آن ها را بیان می کنیم و در نهایت کران هایی برای انرژی وقوع ارائه می کنیم.

در این پایان نامه مسئله تحلیل ساختاری (sap)برای سیستم های جبری دیفرانسیلی (das) با معادلات شرطی را بررسی می کنیم. همچنین مسئله زیرگراف فاقد جورسازی کامل (pmfsp)را معرفی می نماییم و برای آن یک فرمول بندی به صورت برنامه ریزی عدد صحیح ارائه می نماییم. همچنین نشان می دهیم که این مسئله معادل با مسئله مجموعه مستقل 3-بخشی با جور سازی کامل (tsspmp) است. همچنین در ادامه d- بلوکرها و d- ترنسورسالها را تعریف می کنیم و روابط بین آنها را مورد بررسی قرار می دهیم . هدف این پایان نامه بررسی np- کامل بودن مسائل tsspmp، pmfsp و d- بلوکرها و d- ترنسورسالها در گراف های 2- بخشی است. همچنین در پایان این پایان نامه np_ کامل بودن مسئله بلوکر مینیمم در گراف های 2-بخشی با جور سازی کامل (mbpmp) را مورد بررسی قرار می دهیم. کلمات- کلیدی: سیستم های جبری دیفرانسیلی، مسئله تحلیل ساختاری، d- ترنسورسال، d-بلوکر، گراف 2- بخشی، گراف 3- بخشی، مجموعه مستقل، جورسازی،np- کامل.

در این پایان نامه مفهوم مربعات لاتین k-پلکس متعامد را معرفی می کنیم که تعمیمی ازمفهوم مربعات لاتین متعامد می باشد. قضیه بوس شریخاند و پارکررا به مربعات لاتین k-پلکس متعامد که k عدد صحیح مثبت زوج است تعمیم داده و قضیه مان را برای به مربعات لاتین k-پلکس متعامد برای هر عدد صحیح مثبت فرد k توسعه می دهیم. برخی دیگر از قضیه های وجودی یا وجود نداشتن این مفهوم را بیان می کنیم. همچنین ساختار مربعات لاتین k-پلکس متعامد و تعمیم قضیه مک نیش را بحث می کنیم.