اندیس هوسویا یک گراف که به نام اندیس zنیز شناخته می شود،برابر تعداد کل تطابق ها در گراف است.این ثابت گرافی اولین بار توسط هوسویا در سال 1971 معرفی شد.این ثابت معمولا در شیمی انفورماتیک در مطالعه مولفه های ارگانیک مورد استفاده قرار می گیرد. در این پایان نامه مقادیر اکستریمال برای درخت ها و زنجیر های شش ضلعی را بررسی می کنیم.ضمنا" بهترین کران های بالا و پایین ممکن تطابق در یک درخت بر اساس اندیس مریفلد سیمونز را محاسبه می کنیم.

یک k-رنگ آمیزی قوی یالی گراف g=(v,e) تابع است به طوری که به هر دو یالی که منتهی به یک رأس یا مجاور با یک یال هستند، مقدارها (رنگ های) متفاوتی اختصاص داده شود. اندیس رنگی قوی گراف g که آن را با ?s(g) نشان می دهیم، کوچکترین عدد k است که یک k-رنگ آمیزی قوی یالی برای g موجود باشد. در این پایان نامه ?s(g) را برای هالین گراف مکعبی کامل و گراف های دوبخشی sm (k,l) و sm(k,l,?) مورد مطالعه قرار می دهیم. برولدی و کویین حدسی ارایه دادند مبنی بر این که برای هر گراف دوبخشی g، 2?1? کران بالایی برای ?s(g) است که در آن 1? و 2? ماکزیمم درجات در میان رئوس دو بخش گراف هستند. نکپرسیت درستی این حدس را در حالت 2=1? نشان داد. در اینجا این حدس و اثبات نکپرسیت را بررسی می کنیم. سپس کران های بالایی برای اندیس رنگی قوی سه نوع حاصل ضرب گراف ها برحسب اندیس رنگی قوی هرکدام از گراف ها و به طور خاص اندیس رنگی قوی تورهای d بعدی، برخی تورهای چنبره ای و ابر مکعب های تعمیم یافته را به دست می آوریم. رنگ آمیزی دیگری که در اینجا آن را مد نظر قرار می دهیم، رنگ آمیزی قوی یالی مجاورتی گراف است. یک رنگ آمیزی قوی یالی مجاورتی گراف g یک رنگ آمیزی یالی سره از گراف g است به طوری که مجموعه رنگ یال های منتهی به رئوس مجاور گراف مساوی نباشند. کوچکترین عدد را که با آن تعداد رنگ، یک رنگ آمیزی قوی یالی مجاورتی برای گراف g موجود باشد، عدد رنگی قوی یالی مجاورتی گراف نامیده می شود. ژانگ و همکارانش مقدار را برای برخی گراف های خاص به دست آوردند و نیز حدس زدند . در این جا به مطالعه این حدس پرداخته و ثابت می کنیم این حدس برای همه ی گراف های دو بخشی و گراف هایی که در آن ها ، برقرار می باشد.

یک شاخص توپولوژیک کمیت عددی است که به یک گراف نسبت داده می شود و تحت خودریختی های گراف پایا است. در این رساله مقادیری فرینه برای شاخص های توپولوژیک بالابان، پاداماکار-ایوان راسی و هندسی-حسابی به دست آمده اند. به علاوه شاخص توپولوژیک سگد و پاداماکار-ایوان مقایسه و تحت شرایطی روابط بین آن ها را محاسبه کرده ایم. سپس ضمن بررسی شاخص های توپولوژیک فولرن ها، فولرن‎ هایی را که گراف کیلی هستند کاملاً به دست آمده اند. در پایان ضمن آنکه گراف اقلیدسی دسته هایی از فولرن ها را مطالعه کرده و با اثبات قضایایی به درک بهتر این نانو ساختارها پرداخته ایم، شاخص های پاداماکار-ایوان راسی و شاخص سگد دسته ای از فولرن ها را محاسبه کرده ایم.

عدد احاطه گری جمعی در سال 1980 توسط کوکاینی معرفی شد و هم اکنون افراد زیادی روی این مفهوم کار می کنند . از جمله ریاضی دانان معروفی که می توان در این زمینه نام برد فاوارن و هنینگ می باشند . عدد احاطه گری جمعی کاربرد بسیار مهمی در علوم کامپپوتر و صنعت دارد . در این پایان نامه در فصل اول به بیان مفهوم عدد احاطه گری جمعی و تعاریف و قضایای مقدماتی پرداخته و در فصل دوم عدد احاطه گری جمعی را در ضرب گراف ها به ویژه ضرب دکارتی مورد بررسی قرار داده ام . در فصل سوم رابطه عدد احاطه گری جمعی را با گراف های پنجه آزاد بررسی کرده و در فصل چهارم به کران ارائه شده برای عدد زیر تقسیم احاطه گری جمعی را در گراف ها و مکمل آنها پرداختهام و در فصل پنجم به بررسی عدد احاطه گری بازدارنده جمعی در درخت ها پرداخته ام .

احاطه گری رومی اولین بار توسط استوارت و ریول و رزینگ در سال های 1999و2000 معرفی شد و مورد توجه ریاضی دانان زیادی قرار گرفت . عدد احاطه گری رومی کاربرد زیادی در علوم کامپیوتر دارد. در این پایان نامه در فصل اول پس از بیان تعاریف مقدماتی به تعریف احاطه گری رومی و برخی خواص ان پرداخته و سپس عدد احاطه گری رومی را با عدد احاطه گری مقایسه کرده ایم . در فصل دوم به ارائه ماکسیمم و مینیمم برای |v0| و|v1| و|v2| پرداخته و در فصل سوم عدد احاطه گری رومی را برای برخی گراف های منتظم (گراف چرخشی و گراف پترسن تعمیم یافته) بیان کرده ایم و در سه فصل بعد به ترتیب به ارائه مفاهیم k – احاطه گری رومی و احاطه گری k – رومی و احاطه گری رومی ضعیف پرداخته ایم.

در این پایان نامه هدف اصلی ما مطالع و بررسی خاصیت جابجایی در حلقه های زیر بولی و حلقه های نیم پریودیک است. این پایان نامه از سه فصل تشکیل شده است که در فصل اول به تعاریف ، لم ها و قضایایی که در سایر فصل ها به آن ها نیاز داریم می پردازیم . در فصل دوم حلقه زیر بولی را تعریف می کنیم و با بیان و اثبات قضایایی به بررسی خاصیت جابجایی در حلقه های زیر بولی می پردازیم و در پایان این فصل با بیان چند مثال نشان می دهیم که حلقه زیر بولی لزوما بولی یا حتی جابجایی نیست و همچنین تعریف حلقه زیر بولی در قضایای بیان شده یک شرط اساسی است . در فصل سوم، حلقه های نیم پریودیک را تعریف می کنیم و با بیان و اثبات قضایایی به بررسی خاصیت جابجایی در حلقه های نیم پریودیک می پردازیم.

چکیده گراف توانی متناظر با گروه یا نیم گروه g، گرافی است که مجموعه رئوس آن گروه یا نیم گروه g است و دو عنصر x,y?g مجاورند اگر یکی توانی از دیگری باشد. در این پایان نامه، خانواده نیم گروه های s که g(s) همبند یا کامل است را مشخص می کنیم. ما توجه ویژه ای به نیم گروه ضربی z_n و گروه u_n(گروه یکه های z_n) داریم که g(u_n) یک مولفه مهم ازg(z_n) است و ثابت می کنیم g(u_n) کامل است اگر و فقط اگر n=1,2,4,p یا 2p، که p اول فرما است. در حالت کلی تعداد یال های g(g) برای گروه متناهی g را محاسبه می کنیم و مقادیری از n را که g(u_n) مسطح است مشخص می کنیم. همچنین ثابت می کنیم برای هر گروه دوری از مرتبه بزرگتر یا مساوی با 3، g(g) همیلتنی است و مقادیری از n را که g(u_n) همیلتنی نیست مشخص می کنیم. مشاهده می کنیم که گروه های متناهی غیر یک ریخت، ممکن است گراف-های توانی یک ریخت داشته باشند و ثابت می کنیم گروه های متناهی آبلی با گراف های توانی یک ریخت، خود یک ریخت هستند و تنها گروه متناهی که گروه خودریختی آن با گروه خودریختی گراف توانی متناظر با آن مساوی است، گروه چهارتایی کلاین است. نشان می دهیم دو گروه متناهی با گراف های توانی یک ریخت تعداد یکسانی عنصر از هر مرتبه دارند.

انرژی گراف به صورت مجموع قدر مطلق های مقادیر ویژه ماتریس مجاورت گراف تعریف می شود. این مفهوم نخستین بار توسط ایوان گوتمن معرفی شد. در حدود سی سال بعد گوتمن کمیت مشابه دیگری به نام انرژی لاپلاسی گراف ارائه داد که بر اساس مقادیر ویژه ماتریس لاپلاسی گراف تعریف می شود. انرژی و انرژی لاپلاسی دارای برخی خصوصیات مشابه می باشند در عین حال تفاوتهایی نیز بین آنها وجود دارد. در این پایان نامه ابتدا به بیان تعاریف و قضایای مقدماتی می پردازیم. در فصل دوم به بررسی مفهوم انرژی گراف پرداخته و کران هایی برای آن ارائه می دهیم. هم چنین انرژی گراف خطی یک گراف منظم را بررسی می کنیم. در فصل سوم به بررسی انرژی لاپلاسی می پردازیم و کران هایی برای آن ارائه می دهیم. در نهایت در فصل چهارم کران هایی برای انرژی لاپلاسی نانو لوله ها بدست می آوریم سپس به معرفی یک روش برای بدست آوردن مقادیر ویژه برخی گراف ها می پردازیم و انرژی چند دسته از فولرین ها را از این طریق محاسبه می کنیم.

ل آدامار منظم است. حال اگر ماتریس آدامار شرایط لازم برای مولد بودن را که در فصل 3 به طور کامل به آن پردر این پایان نامه به معرفی و بررسی ماتریس های ادامار منظم می پردازیم، ماتریس آدامار، ماتریسی با درایه های 1 و 1- می باشد که هر دو سطر و هر دو ستون آن بر هم عمود هستند، که اگر مجموع هر سطر و هر ستون ماتریس آدامار برابر مقدار ثابتی باشد ماتریس حاصداخته شده است، داشته باشد در این صورت ماتریس آدامار منظم مفروض مولد نامیده خواهد شد. در این پایان نامه نشان می دهیم که اگر یک ماتریس ادامار مرتبه وجود داشته باشد و توانی از یک عدد اول باشد، آنگاه یک ماتریس ادامار منظم مولد از مرتبه وجود دارد.

در فصل اول پایان نامه به تعاریف و قضایای مورد نیاز در سراسر پایان نامه پرداخته ایم. در فصل دوم تعدادی از قضایای موجود پوچی گراف را برای گراف های تک دور و گراف هایی با تعداد یال کم اورده و رابطه پوچی و ساختار گراف را اشاره کرده ایم. در فصل سوم تعداد زیادی از قضایای موجود در رابطه با شاخص استرادا را بیان کرده ایم. در فصل آخر با استفاده از پوچی گراف کرانهایی برای شاخص استرادا تخمین و نیز کران هایی برای استرادای دندریمر ها بدست اوردهایم. در بخش پایانی از فصل اخر تعداد 2و 3و 4و 5و 6و 7و 8 -مسیرها را بدست اورده با استفاده از ان تعداد 3 و 4و2-راس های مستقل و نیز یال های مستقل را محاسبه کرده ایم.

یک گروه از تبانی کننده ها با در اختیار داشتن کپی هایی با کد کلمه های مختلف، ممکن است قادر باشند کالاهایی با کلمه جعلی تولید کنند که قادر به ردیابی نباشند. در این پایان نامه کدهای c- امن با کمترین خطا را برسی میکنیم که اجازه می دهد یکی از c- تبانی کننده ها را با احتمال کمترین خطا ردیابی کند. این کدها را با استفاده از یک کد داخلی و یک ساختار خارجی می سازیم.

در این پایان نامه به بررسی بود و نبود برخی از ماتریس های وزنی دورانی می پردازیم. برای این کار، ابتدا به تعریف ماتریس های وزنی و ماترس های وزنی دورانی می پردازیم که از مفهوم حلقه ی گروهی، برای سهولت در مطالعه ی این ماتریس ها استفاده می کنیم. به کمک شبه مجموعه های تفاضلی ساختاری را ارائه می دهیم که اگر ‎ q ‎ توانی از یک عدد اول باشد، بتوان ‎ cw (q^2+q+1,q^2) را ساخت. سپس نشان می دهیم برای n‎هایی که n ‎ عدد3 را نمی شمارد ماتریس وزنی دورانی سره ی‎ cw(n,9)‎ ، فقط برای ‎ 26 ‎ و ‎ n=13 ‎ وجود دارد. در آخر نیز، به بیان اثبات فقدان چندین ‎ cw(n,k) ‎می پردازیم.

در فصل اول مفاهیم حلقه چون حلقه موضعی.کاهشی.حلقه نوتری.ارتینی.گراف.گراف جهت دار.همبندی گراف.کمر و قطر گراف تعریف می شود.در فصل دوم عناصر خود توان و پوچ توان حلقه های چهارگان روی حلقه متناهی zp .شرط خود توانی و پوچ توانی این حلقه ها.عنصر ایزوتوپ.کواترنیون خالص تشریح می شود.در فصل سه ساختار این حلقه ها بررسی می شود. ودر فصل چهار گراف مقسوم علیه صفر حلقهای چهارگان.شرط همبندی این گراف.محاسبه قطر و کمر این گراف در شرایط خاص انجام می شود.

برای مجموعه مرتب شده ‎$ w =‎ ‎‎lbrace ‎w‎_{1}, ‎w‎_{2},...,w‎_{k}‎‎‎ ‎ brace‎ $‎‏ از رئوس و رأس ‎$ ‎v‎ $‎‏ در گراف همبند ‎$ ‎g‎ $‎‏‏، نمایش ‎$ ‎v‎ $‎‏ نسبت به ‎$ ‎w‎ $‎‏‏، بردار ‎$ ‎k‎ $‎‏-تایی ‎egin{center} ‎$ c‎_{w} =‎ ‎(d(v,w‎_{1}), ‎d(v,w‎_{2}),.., ‎d(v,w‎_{k}) ‎)‎ $‎ end{center}‎‎‏‎ است که ‎$ ‎d(x,y)‎ $‎‏ نمایش فاصله بین دو رأس ‎$ ‎x,y‎ $‎‏ است. مجموعه ‎$ ‎w‎ $‎‏ جداکننده ای برای ‎$ ‎g‎ $‎‏ است هرگاه رئوس متمایز ‎$ ‎g‎ $‎‏‏، دارای نمایش های متمایزی نسبت به ‎$ ‎w‎ $‎‏ باشند. مینیمم اندازه یک مجموعه جداکننده ‎$ ‎g‎ $‎‏، بعد متریک‏ آن ارائه شده است. همچنین بعد متریک خانواده های کلاسیک از گراف ها بررسی شده است. ‎‎‏‎ خانواده هایی از گراف ها که دارای مرتبه ‎$ ‎n‎ $‎‏ هستند و بعد متریک آن ها 1‏، ‎$ ‎n-1‎ $‎‏ یا ‎$ ‎n-2‎ $‎‏ است مشخص شده است و فرمولی برای محاسبه بعد متریک درخت ارائه شده است. همچنین بعد متریک حاصل ضرب دکارتی ‎$ g‎ ‎‎square ‎h‎ $‎‏ و حاصل ضرب تاجی ‎$ g‎ ‎‎odot ‎h‎ $‎‏ بررسی شده است.

در این پایان نامه ابتدا عدد غالبی معرفی شده سپس به معرفی عدد غالبی تام ،جفت شده وعدد غالبی رنگین کمان پرداخته ایم،سپس به معرفی حاصلضرب دکارتی و قاموسی به ارتباط بین عدد غالبی رنگین کمان با عدد غالب جفت شده و تام پرداخته ایم. همچنین در این رساله با معرفی چند نوع گراف خاص از قبیل گراف هراری و گراف خورشید وشبکه ها که خود حاصلضرب مسیرها هستند،مطالبی دربارهعدد غالبی 2-رنگین کمان آنها ارائه دادهایم.

د ر این پایان نامه ابتدامفهوم عدد غالبی علامتدار در گرافها تعریف شده است.سپس کرانهایی برای عدد غالبی علامتدار در گرافهای منتظم برحسب درجه رئوس ارائه شده است.بویژه در گرافهای سه منتظم یا گرافهای مکعبی کرانهای دقیق تری ارائه شده است. سپس مفهوم عدد غالبی علامتدار فراگیر تعریف شده است، که علاوه بر گراف برای مکمل آن نیز غالبی علامتدار است.همچنین گرافهایی با این خاصیت که عدد غالبی انها با عدد غالبی علامتدار فراگیرشان برابر است معرفی شده است. مقدار دقیق این مفهوم برای عدد گرافهای دو بخشی کامل و دورها محاسبه شده است و کرانهایی بر حسب قطر گراف و کران دیگری بر حسب کوچکترین دور گراف ارائه شده است.سپس عدد غالبی منفی فراگیر تعریف شده و مثالهایی برای آن ارائه شده است . این مفهوم از عدد غالبی علامتدار کاملتر است زیرا علاوه بر 1و-1 به رئوس گراف مقدار 0 را نیز می توانیم نسبت دهیم.پس از معرفی غالبی منفی فراگیر وبدست آوردن کرانهایی برای آن رابطه جالبی بین غالبی منفی و غالبی منفی فراگیر در درختها بدست آورده ایم. در فصل پایانی نیز مفهوم وسیعتر kغالبی علامتدار تعریف شده است.سپس کرانهایی برحسب مرتبه و اندازه گراف بدست آمده است . همچنین در گرافهای منتظم کرانهای برحب مرتبه گراف و درجه رئوس بدست آمده است.بدست آوردن مقدار دقیق این مفاهیم برای خانواده هایی از گرافها همچنان به عنوان مثاله باز مطرح است

در این پایان نامه دو مقاله زیر بررسی شده اند، که اولی در مورد رنگ آمیزی موقعیت یاب و عدد رنگی موقعیت یاب گراف ها است و دیگری همه ی درخت های با عدد رنگی موقعیت یابی 3 را مشخص می کند. همچنین در این پایان نامه عدد رنگی موقعیت یاب گراف های مسیر، دور، کامل، دوبخشی، ستاره ها، درخت های دو ستاره و کاترپیلارها را مشخص می کند.

بررسی ارتباط حلقه های قویا منظم وتعمیم حلقه های نیم جابه جایی و همچنین ارتباط حلقه های sfوn-duoو......

در این رساله به پژوهش در زمینه ی اجزا و مولفه های رمزهای متقارن پرداخته ایم. در ابتدا عملگرهای جمع و ضرب و نیز نگاشت مجذور به هنگ توانی از دو را بررسی کرده ایم: توزیع احتمال چندگانه ی بیت های نقلی عملگر جمع را محاسبه کرده، درجه ی جبری و تعداد جملات در ‎anf‎ نگاشت جمع با یک ثابت را به دست آورده ایم. توزیع احتمال چندگانه ی توابع مولفه ای عملگر ضرب را ‏محاسبه کرده ایم. پس از ارائه ی معیاری جهت بررسی ناترازی نگاشت ها، ناترازی عملگر ضرب و نیز ناترازی تحدید این عملگر به بیت های بالایی آن را محاسبه کرده ایم؛ نیز کرانی پایینی برای درجه ی جبری توابع مولفه ای عملگر ضرب ارائه داده ایم. توزیع احتمال توابع مولفه ای نگاشت مجذور به هنگ توانی از دو را به دست آورده و با استفاده از معیار معرفی شده، ناترازی نگاشت مجذور و توابع مولفه ای آن را محاسبه نموده ایم. در ادامه، توابع دودویی برداری را مطالعه کرده ایم. ابتدا حملات خطی و تفاضلی و تعمیم های آنها از منظر ریاضی را بررسی کرده و علاوه بر تبیین مبانی ریاضی حملات خطی و تفاضلی سنتی، ویژگی های خطی-تفاضلی و نیز خواص دوبعدی خطی و ناخطی جدیدی را برای ‎sbox‎ ها و مولفه های رمزهای متقارن ارائه نموده ایم. سپس، به ساخت ‎sbox‎ های ‎16‎- بیتی با ویژگی های جبری و آماری مطلوب از دیدگاه رمزنگاری و با قابلیت پیاده سازی مطلوب در پردازنده های مدرن پرداخته ایم؛ نیز روش هایی جهت تصادفی سازی ‎sbox‎ ها و مولفه های رمزهای متقارن، بر اساس ‎iv‎، ارائه داده ایم. در ادامه به بررسی لایه های انتشار mds‎ پرداخته و انواع جدیدی از لایه های انتشار خطی، خطی سرشت و ناخطی را ارائه نموده ایم. خانواده ای از لایه های انتشار خطی سرشت ‎mds از مرتبه ی 4 را ساخته و بر اساس آن، روشی جهت تصادفی سازی لایه های انتشار خطی سرشت سنتی ارائه کرده ایم. پس از آن لایه های انتشار ‎mds‎ ناخطی با قابلیت پیاده سازی بهینه در پردازنده های مدرن را مورد مطالعه قرار داده، خانواده ای از لایه های انتشار ناخطی ارائه کرده ایم: به کمک این خانواده، می توان لایه های انتشار با اندازه ی بزرگ و پیاده سازی مطلوب در پردازنده های مدرن ساخت؛ همچنین این خانواده از لایه های انتشار، قابلیت تصادفی سازی بر اساس ‎iv‎ در رمزهای متقارن را دارد. سپس به لایه های انتشار با درایه های صفر و یک پرداخته و قضیه ای را در این حوزه اثبات نموده ایم. پس از آن لایه های انتشار خطی سرشت mds رمزهای متقارن loiss‎ ،sms4 و ‎zuc‎ را بررسی کرده، شکل ماتریسی این لایه های انتشار را ارائه داده ایم. در پایان با استفاده از مدول ها روی حلقه های متناهی جابجایی و یک دار، به ساخت لایه های انتشار خطی سرشت و ناخطی جدید با استفاده از عملگرهای جمع و ضرب پیمانه ای پرداخته ایم و نیز لایه های انتشار خطی سرشت ‎mds‎ بهینه از دیدگاه پیاده سازی را ارائه نموده ایم.