در این تحقیق به بیان نتایجی درباره ی ویژگی های اندازه پذیری روابط (نگاشت های چند- مقداری) و قضایای تابع ضمنی و انتخاب می پردازیم و از نظریه انتخاب های اندازه پذیر برای نگاشت های چند- مقداری استفاده می کنیم تا جواب های تصادفی (نه لزوما یکتا ) برای معادلات تصادفی با عملگرهای یکنوا در فضاهای باناخ را به دست آوریم. در فصل 1 مفاهیم مقدماتی که در ادامه به آن احتیاج خواهیم داشت بیان می کنیم. مفاهیمی در توپولوژی، فضای اندازه ، فضای نرم دار و توپولوژی ضعیف می آوریم و با معرفی توابع مجموعه – مقدار، ویژگی های اولیه و پرکاربرد روابط اندازه پذیر را بیان می کنیم و ابزارهای اولیه برای فصل های بعد را به دست می آوریم. فصل 2 را با بیان روابط بین تعاریف گوناگون اندازه پذیری آغاز می کنیم. درباره اشتراک، متمم و مرز روابط اندازه پذیر بحث خواهیم کرد و در پایان فصل، روابط اندازه پذیر را توسیع می دهیم . در فصل 3 قضایای مهم و اساسی انتخاب، تابع ضمنی و قضیه انطباق را بیان و با توسیع انتخاب های اندازه پذیر، کاربردی از این روابط در فضای خطی موضعاً محدب به دست می آوریم. در فصل های 2 و 3 مثال های نقضی می آوریم تا محدودیت های طبیعی روابط اندازه پذیر را نشان دهیم. در پایان و در فصل 4 جواب هایی برای معادلات تصادفی با عملگرهای یکنوا در فضاهای باناخ حقیقی و مختلط می یابیم و روی معادلات تصادفی با اختلال های فشرده، عملگرهای تصادفی با دامنه چگال و معادلات همرشتاین تصادفی بحث خواهیم کرد.

نیاز به اندازه های مجموعه-مقدار (چندمقدار‎ی‎) برای اولین بار در اقتصاد ریاضی به وجود آمد، هنگامی که ویند‎‎‎‎ نظریه تعادل را برای اقتصاد تبادل شامل قاعده تولید مورد مطالعه قرار داد ‎‎‎که در آن ائتلاف ها‏، اجزای اقتصاد پایه هستند و نه عوامل شخصی. از آن زمان به بعد، مبحث اندازه های مجموعه-مقدار توجه زیادی را به خود جلب کرد و در ادامه به مدل های مشابه مجموعه-مقدار در نظریه کلاسیک اندازه های برداری گسترش یافت‎.‎ پیشرفت های گوناگون در اقتصاد ریاضی و کنترل بهینه، منجر به مطالعه ی اندازه پذیری توابع مجموعه-مقدار شده است. همچنین انتگرال توابع مجموعه-مقدار مربوط به مسائل آماری مورد مطالعه قرار گرفته است. در نتیجه ی آن مقالات زیادی منتشر شد که با نظریه اساسی انتگرال گیری توابع مجموعه-مقدار و رویکردهای متعدد سرو کار دارند. با این حال، زمانی که از تابع مجموعه-مقدار نسبت به اندازه مجموعه-مقدار ، انتگرال می گیریم، تنها دو رویکرد را می توانیم تمیز دهیم: کاندیلاکس‎‎، انتگرالش را بر حسب انتگرال بوخنر تعریف کرد درحالی که پاپاجرجیا‎، انتگرال دوخطی دینکلینو‎‎ را در نظر گرفت. هدف این پژوهش، مطالعه ی برخی ویژگی های انتگرال یک تابع مجموعه-مقدار ‎‎ ‎(چندمقداری)‎ نسبت به یک اندازه مجموعه-مقدار است. برای این منظور‏، ابتدا تابع و اندازه ی مجموعه-مقدار را معرفی کرده و ویژگی های آن ها را مورد مطالعه قرار خواهیم داد. ‎‎ ‎‎‎‎‎‎‎‎سپس با استفاده از ‎‎مفهوم انتخابگر، انتگرال تابع مجموعه-مقدار نسبت به اندازه ی مجموعه-مقدار را تعریف می کنیم و مشاهده خواهیم کرد که این انتگرال تحت شرایطی، یک اندازهمجموعه-مقدار است. ‎‎همچنین درباره تحدب این انتگرال و شرایط مورد نیاز آن بحث می کنیم.در آخر‏، ‎با‎ استفاده از مفهوم انتگرال تابع مجموعه-مقدار‏، به قضیه رادون-نیکودیم برای اندازه ی مجموعه-مقدار و نتایج آن می پردازیم.

بررسی تعاریف و روابط توابع چند-مقداری. ارایه انتگرال این دسته از توابع. معرفی امیدهای شرطی مارتینگل های چند-مقداری و قضیه های همگرایی در آن.

در این تحقیق با ارایه تعاریفی در زمینه توابع اندازه پذیر, اندازه مجموعه-مقدار و فاصله هاسدورف زمینه ای برای مطالعه انتگرال مجموعه-مقدار بارتل و لبگ-اشتیلیس که نوعی انتگرال گیری از توابع عددی نسبت به اندازه مجموعه-مقدار است, فراهم می کنیم. در ادامه به بررسی ویژگی های این دو نوع انتگرال در مورد توابع اندازه پذیر ساده, اندازه پذیر نامنفی و انتگرال پذیر می پردازیم. در انتها نوعی انتگرال گیری از نگاشت چند-مقداری نسبت به اندازه برداری به نام انتگرال پتیس معرفی می گردد. سپس تابع تک-مقداری یکریخت با این نگاشت چند-مقداری معرفی می گردد و در ادامه ارتباط بین انتگرال پذیری پتیس نگاشت چند-مقداری و انتگرل پذیری پتیس تابع تک-مقداری یکریخت با آن بررسی می شود.

هدف این پژوهش، مطالعه ی قضیه ها ی رادون$-$نیکودیم برای اندازه ها ی مجموعه$-$مقدار ‎(چندمقداری)‎ و هم چنین برای اندازه ها ی مجموعه$-$مقدار انتقال است. برای این منظور، ابتدا بعضی از مفاهیم مقدماتی مورد نیاز در کل این تحقیق را بیان می کنیم. پس از آن، تابع و اندازه ی مجموعه$-$مقدار را معرفی کرده و ویژگی های مورد نیاز آن ها را مطالعه می کنیم و با استفاده از آن ها، قضیه ی رادون$-$نیکودیم را برای اندازه های مجموعه$-$مقدار بیان و اثبات خواهیم نمود. سپس، اندازه ی مجموعه$-$مقدار انتقال را معرفی می کنیم و ویژگی های آن را مورد بحث قرار می دهیم. در آخر، با استفاده از مطالب مطرح شده، قضیه ی رادون$-$نیکودیم برای اندازه های مجموعه$-$مقدار انتقال را بررسی خواهیم کرد.

روشهای متعددی که برای حل عملگرهای تعینی وجود دارد معطوف به وجود و یکتایی آن است. روشهای بکار برده شده برای حل معادلات تصادفی علاوه بر اینها به اندازه پذیری جواب نیز توجه دارد و این تفاوت اساسی بین معادلات عملگری تعینی و تصادفی است. قضایای کلاسیک وجود و یکتایی تعینی مدلی برای معادلات عملگری تصادفی استفاده می شود. هدف اصلی در این پایان نامه بکارگیری روشهای تکراری برای اثبات وجود جواب معادلات عملگری در فضاهای باناخ می باشد. روشهای تکراری که در این تحقیق از آن استفاده می شود تعمیمی از روشهای مان و ایشیکاواست. این روشها به دلیل ماهیت تقریب برای جواب علاقه مندان به آنالیز عددی قرار گرفته اند.

هدف اصلی در این پایان نامه، بیان قانون قوی اعداد بزرگ و قضیه حد مرکزی برای متغیرهای تصادفی مجموعه-مقدار فازی نسبت به متر هاسدورف توسعه یافته می باشد.برای این منظور، ابتدا مفاهیم مربوط به متغیرهای تصادفی مجموعه-مقدار به خصوص متغیرهای تصادفی مجموعه-مقدار فازی رامعرفی می کنیم.سپس نتایجی را ثابت می کنیم که به عنوان مقدمه ای بر اثبات قانون قوی اعداد بزرگ به شمار می روند.پس از آن قانون قوی اعداد بزرگ را برای متغیرهای تصادفی مجموعه-مقدار مستقل که فضای زمینه آن ها فضای باناخ جدایی پذیر یا یک فضای اقلیدسی نسبت به متریک هاسدورف توسعه یافته است، ثابت می کنیم. درانتها، قضیه حد مرکزی را برای متغیرهای تصادفی مجموعه-مقدار تعمیم یافته (فازی) نسبت به متریک هاسدورف توسعه یافته با فضای زمینه اقلیدسی بیان می کنیم.

در این پایان نامه به مطالعه ی توپولوژی های حاصلضربی تعمیم یافته بر توان هایی از فضا می پردازیم که شامل توپولوژی های حاصلضرب تیخونوف و جعبه ای می شود. علاوه بر بیان مثال های متنوع، به ارتباط این توپولوژی های جدید با مفاهیمی چون همگرایی تور، همبندی و مترپذیری فضا خواهیم پرداخت. در آخر، به عنوان کاربردی از این توپولوژی های حاصلضرب تعمیم یافته، ثابت می کنیم که فضاهای تابعی خاص با توپولوژی های فشرده-باز، ظریف و یکنواخت، دارای ساختار توپولوژی های حاصلضرب جعبه ای تعمیم یافته و حاصلضرب یکنواخت تعمیم یافته هستند.

فرض کنی x یک فضای باناخ حقیقی و g زیرمجموعه ی کراندار باز و محدب از x باشد. در این پایان نامه حل معادله ی نقطه ثابت x عضو tx+cx در d(t).g در نظرگرفته شده است که t:d(t)زیرمجموعه x.2 بتوان x عملگر m افزایشی و احتمالا ناپیوسته و عملگر c:g.x کاملا پیوسته است. نتیجه برودر در مورد عملگرهای تک مقداری t که به طور یکنواخت پیوسته اند و یا پیوسته اند ولی x به طور یکنواخت محدب است به موارد حاضر گسترش پیدا کرده است. روش برودر را در مورد این مجموعه ها نمی توان به کار برد حتی در موارد تک مقداریزیر ردهی همومورفیسم های مجاز وجود دارد.

در این پایان نامه به بررسی ساختار مجموعه جزئامرتب توپولوژی های منظم می پردازیم. از مفاهیم مهمی که در مسئله جهش در این مجموعه جزئامرتب به کار می آیند مفهوم فضاهای r-بسته و r-مینیمال است، لذا ضمن معرفی آنها به مطالعه خواصشان می پردازیم. سپس بازه های متناهی را که در مسئله جهش نقش اساسی دارد بررسی می کنیم. نهایتا با ابزار و نتایج حاصله به مطالعه چگونگی ترتیب در مجموعه مرتب توپولوژی های منظم می پردازیم با این دیدگاه که این ترتیب پیوسته است یا دارای جهش می باشد.

هدف این پژوهش، مطالعه ی جهش در ترتیب توپولوژی ها در مجموعه ی جزئا مرتب توپولوژی های هاسدورف است. برای این منظور، مشبکه ی توپولوژی ها را معرفی کرده و برخی ویژگی های مشبکه ای آن را برمی شماریم. سپس، چنان که در مطالعه ی هر ساختار جبری مرسوم است زیرساختارهایی از این مشبکه معرفی شده و به بررسی پوشش ها در این ساختارها می پردازیم و در نهایت نشان می دهیم تحت چه شرایطی یک جهش در ترتیب توپولوژی ها در مجموعه ی جزئا مرتب توپولوژی های هاسدورف رخ می دهد، در واقع به معرفی توپولوژی های بالایی در این مجموعه ی جزئا مرتب می پردازیم.

در این پایان نامه نتایج نقطه ثابت از نوع کراسنوسلسکی را برای مجموع a+b ثابت می کنیم. در اینجا a و b نگاشت های پیوسته روی یک فضای موضعا محدب هستند. چنین نتایجی را بهمنظور تعیین جواب های قوی برای معادلات بیضوی شبه - خطی فاقد شرط فشردگی بکار می بریم هم چنین کاربردی از نظریه وجود و منظم سازی جواب ها برای یک معادله انتگرال غیر خطی در فضای باناخ صورت بندی شده فراهم می کنیم. پیش از این نتایج به طور ضعیف پیوسته دنباله برای عملگرهای برداری- مقدار تعمیم داده شده اکنون این نتایج همراه با یک شرط هندسی به منظور تدارک نظریه وجود برای معادلات غیر خطی در فضای(e)lp به کار می رود.

لم فاتو و قضیه همگرایی لبگ برای توابع مجموعه مقدار ارائه گردیده است. لم فاتوی کلاسیک برای دنباله های کراندار از توابع انتگرال پذیر غیرمنفی به تساوی تبدیل می شود، نتیجه ای مشابه برای دنباله های همگرا در اندازه بیان می گردد(این نتایج با فرض بطور یکنواخت انتگرال پذیری اثبات می شود.) همچنین دو توسیع از قضیه همگرایی لبگ ارائه می گردد.