در فصل اول پایان نامه مقدمات جبر همولوژی و همولوژی دوری بحث می شود . در فصل دوم هم ارزی موریتا و ارتباط آن با همولوژی دوری مورد بررسی قرار می گیرد. فصل سوم پایان نامه مشتمل بر محاسبه همولوژی دوری چند مورد از جبرهای یکدار به کمک رزولوشن و دنباله بلند کن می باشد . در فصل چهارم همولوژی دوری جبرگروهی محاسبه می شود که این نیز مشتمل بر دو تعریف مستقل برای همولوژی دوری جبرگروهی است . در فصل پنجم همولوژی دوری دو نمونه از جبرهای کوانتومی مورد بحث قرار می گیرد. فصل ششم دوگانی به فصلهای گذشته در حالت کو همولوژیکی است

چکیده: در این پایانامه برای هر یک از حالتهای آفین, ریمانی, تقریبا هرمیتی,تقریبا پاراهرمیتی,تقریباکواترنیونی, تقریباپاراکواترنیونی, هرمیتی و پاراهرمیتی یک مدل جبری محض معرفی می کنیم. نشان می دهیم که هر یک از مدل های جبری یک مدل خمیدگی برای خمینه های فوق می باشند. همچنین مسائلی را در حالت ایوانف – پتروا برحسب تحقق خمیدگی بیان می کنیم. در فصل اول تعاریف مقدماتی که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرد آورده شده است. درفصل دوم خمینه آفین را در نظر می گیریم و یک مدل جبری برای آن معرفی می کنیم سپس تحقق هندسی را برای حالت های مختلف خمینه آفین بررسی می کنیم. همچنین خمینه شبه ریمانی و مدل جبری مربوطه و تحقق هندسی خمینه شبه ریمانی را در نظر می گیریم. در فصل سوم مدل جبری هرمیتی (پاراهرمیتی) را در نظر می گیریم. حال یک خمینه تقریبا هرمیتی (تقریبا پاراهرمیتی) برای مدل جبری فوق معرفی می کنیم. فرض می کنیم (m,g)خمینه ریمانی (شبه ریمانی ) و j یک ساختار تقریبا هرمیتی (تقریبا پاراهرمیتی) روی (m,g) باشد. در این صورت خمینه (m,g,j) یک خمینه تقریبا هرمیتی(تقریبا پاراهرمیتی) می باشد. نشان می دهیم که مدل جبری یک مدل خمیدگی برای یک خمینه تقریباهرمیتی (تقریبا پاراهرمیتی) می باشد, به عبارتی فضای مماس tpm همان مدل جبری می باشد. سپس با اعمال شرط اضافی انتگرال پذیری از نظر هندسی روی خمینه وتبدیل آن به یک خمینه هرمیتی (پاراهرمیتی)یک شرط اضافی از نظر جبری روی تانسور خمیدگی اعمال می شود و آن اتحاد گری (پارا گری) می باشد. نشان می دهیم مدل جبری یک مدل خمیدگی برای یک خمینه هرمیتی (پاراهرمیتی) است اگر وتنها اگر تانسور خمیدگی در اتحاد گری(پاراگری) صدق کند. همچنین تحقق هندسی مدل خمیدکی تقریبا کواترنیونی (تقریباپاراکواترنیونی) را مطالعه می کنیم بدون اینکه شرط اضافی انتگرال پذیری را اعمال کنیم. در فصل چهار ابتدا مدل جبری ایوانف – پتروا را معرفی می کنیم سپس خمینه ایوانف – پتروا را با اعمال یک شرط روی خمینه ریمانی می سازیم و شرط عبارتست از اینکه مقادیر ویژه عملگر پادمتقارن r(?) روی گراسمان 2- صفحه جهتدار شده ?(?=span{x,y}) ثابت می باشد. همچنین مثالهایی از خمینه ایوانف – پتروا و مدل جبری مربوط به آن مطرح کرده و به تحقق هندسی خمینه ایوانف – پتروا می پردازیم.

برای بسیاری از سیستم های هامیلتونیدر قالب نظریه رده بندی فومنکو نقاط تکین مشخصشده اند، اما سیستم هایی نیز وجود دارند که نقاط تکین آنها ناشناخته است. در ابتدا هدف ما تعیین تمام نقاط تکین برای یک سیستم مشخصاست.در ادامه تلاش خواهیم نمود تمام حقایق موجود را از دیدگاه ناورداهای فومنکو بررسی کنیم. و در این میان روی همسایگی های چهار بعدی نقاط تکینی اشان متناظرشان متمرکز خواهیم شد.

در این پایان نامه خمینه های کنموتسوی ?-برگشتی را مطالعه می کنیم. ثابت می کنیم هر خمینه کنموتسوی ?-برگشتی، ‎-?انیشتنی است همچنین خمینه های کنموتسوی ‎3-بعدی موضعاً ‎?-برگشتی را بررسی کرده و مثالی از یک خمینه کنموتسوی 3-‎بعدی موضعاً ?-برگشتی را ارائه می دهیم.در نهایت نشان می دهیم که فضا-زمان کنموتسوی موضعاً ‎برگشتی، فضا-زمان رابرتسون-والکر می باشد

در این مقاله می خواهیم با روشهای پیدا کردن تانسور پواسون سازگاربا تانسورکانونیک روی دوگان جبر لی so*(4) آشنا شویم. ساختارهای پواسون درجه دوم روی so*(4) و e*(3) طبقه بندی شده اند، که هر کدام دارای برگ بندی با برگهای سیمپلیکتیک به عنوان تانسورهای لی پواسون کانونیکال هستند. متغیرهای تفکیک پذیر برای برخی ازسیستم های دوانتگرالی متناظرساخته شده اند.

هدف ما بررسی کاملی از براکت های لی-پواسون سازگار با براکت های کانونی روی منیفلدهایe*(3) و so*(4) است. نشان میدهیم که این براکت های خطی میتوانند برای ساختارهای پیچیده تری مورد استفاده قرار گیرند و در تناظر با نوع کلاسیک آن باشند. منیفلد هموار m مجهز به یک جفت براکت پواسون {.,.} و {.,.}’ یا معادلا یک جفت تانسورهای پواسون سازگار p و p’ را منیفلد دو-هامیلتونین گویند. فرض کنیم m یک منیفلد هموار دو-هامیلتونین با تانسورهای پواسون سازگار p و p’ باشد و فرض کنیمh_0,h_1,…, h_n توابعی روی m باشند به طوری که بطور تابعی مستقل ونسبت به کروشه های پواسون سازگار باشند یعنی h_i,h_k}=0 } در این صورت اگر انتگرال گیری به مفهوم لیوویل برقرار باشد، در این صورت به چنین سیستم هایی دو-انتگرال پذیر یا سیستمهای دو-هامیلتونین تعمیم یافته گویند و به h_iها انتگرال های حرکت گوییم همچنین برای اینکه انتگرال های حرکت یعنی h_iها سازگار باشند کافی است میدان های برداری متناظر با آنها یعنی xh_i سازگار باشند. در این حالت انتگرال های حرکت تشکیل زنجیری به نام lenard-magri میدهند و در روابط زیر صدق می کنند: pdh_0=0 , xh_i=pdh_i=p’dh_(i-1) , p’dh_n=0 که می توان این روابط را توسط معادله زیر نیز نشان داد: p_?dh(?)=0 , ??r که در آن p_?=p+?p’ را دسته پواسون و تابع h(?)که به صورت h(?)=h_n ?^n+...+h_1?+h_0 را تابع casimir چندجمله ای با دسته پواسون p_? گوییم. در اینجا هدف ما پیدا کردن p_?ها برای جبرلی-های e(3) و so(4) است.

فرض کنیدn یک عدد صحیح بصورت n=p4+q4=r4+s4است. یک خانواده جدید از خمهای بیضوی بصورت y^2=x^3-nx تعریف می کنیم. نشان می دهیم رتبه این خانواده حداقل برابر 3 است. با فرض درست بودن حدس زوجیت، ثابت می شود که حدقل رتبه برای این خانواده برابر 4 است. درستی حدس سیلورمن در رابطه با پیچش درجه دوم یک خم بیضوی را برای این خانواده بررسی می کنیم. در انتها، معادله دیوفانتی درجه چهارم x^4+y^4=2(u^4+v^4) را برای اولین بار با دو روش مختلف حل کرده و نشان می دهیم بیشمار جواب صحیح برای این معادل وجود دارد. به کمک جوابهای این معادله یک خانواده جدید از خمهای بیضوی با رتبه حداقل 5 تعریف می کنیم.

این پایان نامه در مورد ساختار دو همیلتونین برای سیستم باگایاوانسکی روی جبر لی so(4) با انتگرال افزوده از مرتبه ی چهارم بحث شده است.برای این منظور از روش پیدا کردن متغییر های تفکیک پذیر و روابط تفکیک پذیر و همچنین ماتریس کنترل استفاده شده است. که این روش بر روی سیستم باگایاوانسکی که روی جبر لی so(4) با هامیلتونین و انتگرال افزوده که در حالت کلی بفرم h1,h2 کار شده است.

یکی از روش های پیدا کردن تانسورهای پواسون سازگار p1 و p2 برای یک منیفلد دو-هامیلتونی، این است که میدان های برداری مانند x را چنان پیدا می کنیم که تانسور p2 مشتق لی مربوط به تانسور p1 نسبت به این میدان برداری باشد.به عبارت دیگر هر مشتق لی از p1 در راستای میدان x یک تانسور لی-پواسون سازگار برای p1 می باشد. ما در این پایان نامه، دو-بردارهای پواسون سازگار روی جبر لی (so*(4 را در کلاس تانسورهای مرتبه دوم می سازیم و متغیرهای تفکیک پذیر برای سیستم های دو-انتگرال پذیر متناظر را مورد بررسی قرار می دهیم.