تئوری سیستم های دینامیکی یک شاخه از ریاضیات است که با مدل های ریاضی برای سیستم هایی که شامل زمان هستند و بر حسب قاعده خاصی تغییر می کنندسر و کار دارد. اگر در یک سیستم دینامیکی پارامتر ها تغییر کنند ممکن است تغییرات انشعابی در سیستم اتفاق بیافتد.با استفاده از آنالیز انشعاها می توان رفتار های متفاوت یک سیستم دینامیکی را پیش بینی کرد. در این پایان نامه انشعاب های موضعی و فرم های توپولوژیکی متناظر آن ها را بررسی می کنیم. با استفاده از روش مشتق گیری الگوریتمی فرمهای چند خطی که در ضرایب فرم نرمال ظاهر می شوند را محاسبه سپس دقت و سرعت این روش را با دو روش تفاضلات متناهی و مشتق گیری نمادی مقایسه می کنیم..

این پایان نامه به بررسی سیستمهای دینامیکی گسسته و کاربردهای آن میپردازد. در ابتدا رفتارهای دینامیکی این سیستمها را بهطور موضعی مورد مطالعه قرار میدهیم. این بررسی شامل آنالیز انشعاب سیستمهای دینامیکی گسسته انجام میشود. در آنالیز انشعاب، نقاط ،matcontm هم بهطور تحلیلی و هم بهصورت عددی و با استفاده از نرم افزار ثابت سیستم و خم نقاط ثابت تحت تغییر یک و دو پارامتر محاسبه میشود. همچنین نقاط انشعاب ایجاد شده روی این خمها بههمراه ضرایب فرمهای نرمال آنها محاسبه میشود. بهعنوان کاربرد الگوریتمهای گفته شده: دو مدل دینامیکی در بیولوژی و اقتصاد را مورد مطالعهی تحلیلی و عددی قرار میدهیم. برای این سیستمها، خمهای مختلف انشعابها محاسبه میشوند. این خمها کرانهای پایداری سیکلهای با مراتب مختلف سیستمهای مورد نظر را تشکیل میدهند.

سیستم دینامیکی زیر را درنظر بگیرید: x_ = f(x, ?), x ? rn, ?? rp است. در این پایاننامه آنالیز انشعابهای عددی سیستمهای دینامیکی پیوسته ?, x تابع همواری از f که کردن ?? بررسی میشود. این مطالعه شامل امتداد یکمنحنی از نقاط تعادلی و دایرههای حدی با یکپارامتر، پیدا و تعیین نقاط انشعاب هم بعد- 1 و امتداد آنها با دو پارامتر است. روی تمام این منحنیها نقاط انشعاب هم بعد- 1 و هم بعد- 2 به همراه ضرایب فرمهای نرمال آنها محاسبه میشود. برای آنالیز عددی انشعابها ازنرم است، استفاده میشود. بهعنوان کاربرد مدلهای matlab که یک بسته امتداد تعاملی matcont افزار 15 ] درنظر گرفته شده و برای مشخصکردن دینامیک ] 31 ] و لور 4 ] دینامیکی لورنز 1 84 ، بلوچ 2، استیلار 3 کلی این سیستمها چندین منحنی انشعاب را محاسبه میکنیم. این منحنیها با استفاده از تکنیک روشهای moore ? penrose عددی پیوسته [ 17 ]، مبتنی بر یک الگوریتم پیشگو-تصحیح کننده و روشهای است. همچنین امتداد نقاط انشعاب از نقاط تعادلی و دایرههای حدی براساس روشهای ماتریسهای بلوکی و سیستمهای مینیمم افزوده انجام میشود.

بسیاری از سیستمهای دینامیکی به وجود آمده در کاربردها را میتوان با استفاده از نگاشتها توصیف کرد. برای مثال، سیستمهای لیزری مدارهای الکترونیکی، فرایندهای بیولوژی و غیره. در اغلب کاربردها نگاشتها به طور واضح تعریف می شوند مانند نگاشتهای ikeda ،henon و برخی دیگر به شکل یک نگاشت پوآنکاره ظاهر می شوند. هدف اصلی از بررسی یک سیستم دینامیکی مفروض پیدا کردن رفتارکلی و جامع آن است. برای این کار ما ابتدا باید خمهای پایای ویژه را پیدا کنیم که برای سیستمهای دو بعدی گسسته- زمان شامل نقاط ثابت زینی جاذب به همراه منیفلدهای پایدار و ناپایدار این نقاط هستند. به ویژه منیفلدها اطلاعات بسیاری در ارتباط با سیستم به ما میدهند. البته منیفلدها را نمیتوان به طور تحلیلی به دست آورد و باید به طور عددی محاسبه شوند. تا کنون روشهای بسیاری برای محاسبه منیفلدهای یک نقطه ثابت زینی گسترش یافته است. در این مطالعه تنها منیفلدهای یک بعدی را در نظر میگیریم. بیشتر الگوریتمها منیفلد را با استفاده از یک تقریب موضعی نزدیک یک نقطه زینی و با شروع از آن محاسبه میکنند. روش متداول عبارت است از تکرار دامنه اولیه (دامنه اساسی) که شامل تکرار یک بخش موضعی از منیفلد است و تا ساختن تکههای پیوسته منیفلد ادامه مییابد. روش دیگر که روش مورد استفاده در این مطالعه است، شامل رشد منیفلد نقطه به نقطه تا یک طول قوس مشخص داده شده است. درهمه روشها منیفلد پایدار به صورت منیفلد ناپایدار نگاشت وارون محاسبه میشود. با توجه به این که به جزء در موارد ایدهآل به دست آوردن نگاشت معکوس دقیق و یکتا غیر ممکن است در این پایان نامه برای محاسبه منیفلدهای پایدار و ناپایدار از الگوریتم جستجوی دایره sc که به نگاشت معکوس نیاز ندارد استفاده میکنیم. پس از محاسبه منیلفلدهای پایدار و ناپایدار نقاط ثابت، با استفاده از الگوریتمی نقاط اشتراک آنها را پیدا کرده و با استفاده از آنها و الگوریتم cis مدارهای هموکلینیک و هتروکلینیک مربوطه را با استفاده از روشهای عددی و با تغییر یک پارامتر محاسبه میکنیم. محاسبه دقیق مدارهای همبند نقاط ثابت یکنگاشت و مطالعه ویژگیهای توپولوژیکی آنها به صورت یک مسئله بسیار مهم در نظریه سیستمهای دینامیکی غیرخطی و مسائل کاربردی شناخته میشوند. برای مثال، مدار هموکلینیک که یک نقطه ثابت هذلولی را به خودش وصل میکند، وجود یک تعداد نامتناهی مدارهای متناوب را نتیجه میدهد، بیشتر به به صورتی که در منابع اشاره شده است حضور یک جفت از چنین مدارهای هموکلینیک با یک دنباله نامتناهی از انشعابهای period?doubling و fold همراه است. بنابراین، با توجه به این که یک مدار هموکلینیک یک نگاشت مسطح به اشتراک منیفلدهای پایدار و ناپایدار یک نقطه ثابت زینی متعلق است، چنین مداری باعث تخریب یک منحنی بسته پایا میشود. روشهای عددی برای تحلیل انشعاب نگاشت در سالهای اخیر بسیار مورد توجه قرار گرفته است. مکان یابی، تحلیل و امتداد نقاط ثابت و انشعابها در محیطهای content و cl ?matcontm فراهم شده است. الگوریتمهای محاسبه منیفلدهای یک- بعدی در محیط dy namics و dstool قابل اجرا است، در حالیکه امتداد مدارها و خمهای مماسی آنها در یک auto ? driver اجرا میشوند. این پایاننامه شامل چهار فصل است. در فصل اول تعاریف و خواص مقدمات سیستمهای دینامیکی ارائه میشود. در فصل دوم منیفلدها راتعریف کرده و الگوریتم sc را برای محاسبه منیفلدها شرح میدهیم و در انتها با استفاده از این الگوریتم منیفلدهای سه نگاشت را رسم میکنیم. در فصل سوم مدارها را تعریف کرده و الگوریتم cis را شرح میدهیم و در فصل چهارم به چند مثال پرداخته و با استفاده از این الگوریتم منیفلدها و مدارهای مرتبط به آن را رسم میکنیم.

چکیده ندارد.

این پایان نامه در پنج فصل تدوین شده است، که در آن پایداری سیستم های دینامیکی معمولی و مرتبه کسری، سیستم های کسری مرتبه توزیعی و سیستم فلوکه معمولی وکسری را در نقطه تعادلشان مورد بحث و بررسی قرار می دهیم. ‎‎ در ابتدا، مفاهیم اولیه و تعاریف مقدماتی مشتقات و انتگرال های کسری و ویژگی های آن ها را بیان می کنیم و به بررسی پایداری سیستم های دینامیکی معمولی و سیستم های فلوکه می پردازیم. همچنین نواحی پایداری سیستم های خطی کسری را با استفاده از سیستم های خطی معمولی متناظرشان نشان می دهیم. برای اولین بار سیستم فلوکه کسری را معرفی و شرایط لازم و کافی برای پایداری سیستم فلوکه کسری را بیان می کنیم. در ادامه با استفاده از روش مستقیم لیاپانوف و معرفی پایداری میتگ-لفلر و پایداری میتگ-لفلر تعمیم یافته، به مطالعه پایداری سیستم های دینامیکی غیر خطی مرتبه کسری می پردازیم. در پایان پایداری سیستم های خطی کسری مرتبه توزیعی را بررسی می کنیم و برای اولین بار روش مستقیم لیاپانوف را که یک شرط کافی است نه لازم، برای بررسی پایداری سیستم های غیر خودگردان کسری مرتبه توزیعی توسیع می دهیم.

در این پایاننامه با استفاده از روشهای تحلیل پدید ?? توان یافت، به طوری که منحن ?? خم م ?? ی n n کنیم. برای هر ماتریس ?? را تعیین م n بعد آورنده کران و پوسته محدبش با برد عددی ماتریس منطبق است. همچنین در حالت خاص برد با ?? کنیم. در ادامه ماتریسهای ?? بیان م ?? ? را از نقطه نظر هندس ? و ? عددی ماتریسهای ? ماتریس ?? بودن ی ?? برای طیف ?? کرده، به ویژه شرایط لازم و کاف ?? برابر را بررس ?? شعاع عددی و طیف کرده ?? برابر را بررس ?? با شعاع عددی و طیف ?? کنیم. بهطور مشابه چندجملهایهای ماتریس ?? را بیان م کنیم. ?? را بیان م ?? چندجملهای ماتریس ?? بودن ی ?? برای طیف ??

دستگاه معادلات خطی زیر را در نظر بگیرید ‎egin{equation*}‎ ‎ax=b,qquad ain{mathbb{c}^{n imes{n}}},quad x,bin{mathbb{c}^{n}}‎ ‎end{equation*}‎ که در آن ‎$a$‎ یک ماتریس غیرهرمیتی با بعد بزرگ است. در این پایان${}$نامه یک الگوریتم هیبریدی را برای حل این دستگاه بررسی می${}$کنیم. این الگوریتم از روش ‎$ m{gmres}$‎ مبتنی بر زیرفضای کرایلوف برای تولید یک تقریب جواب استفاده می${}$کند و برای بهبود همگرایی این تقریب از تکرار ریچاردسون با پارامترهای مرتب${}$سازی شده با دنباله لجا استفاده می${}$کند. در این مطالعه به بررسی رفتار همگرایی این الگوریتم و تکرارهای زیرفضای کرایلوف که برای حل دستگاه${}$های غیرهرمیتی با مقیاس بزرگ به کار می${}$روند می${}$پردازیم. نتایج عددی نشان می${}$دهند که این الگوریتم هیبریدی نیاز به حافظه کمتر و هم چنین عملکرد اجرایی بهتری نسبت به حل${}$کننده${}$های نامتقارن نظیر ‎$ m{gmres}$‎ دارد. به‎$ $‎علاوه از این روش هیبریدی برای حل دستگاه${}$های خطی ‎$au=b$‎ که از روش${}$های تفاضل متناهی روی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به دست آمده${}$اند، استفاده می${}$کنیم.

بسیاری از مسائل مطرح در جهان واقعی را می توان در قالب سیستم های دینامیکی مدل سازی کرد و سپس به کمک ابزار های آنالیز انشعاب و روش های عددی به بررسی رفتار های دینامیکی آن ها پرداخت. نرم افزار های انشعاب، وسیله ای برای مطالعه ی رفتار های دینامیکی سیستم و آنالیز انشعاب های آن است. در این پایان نامه ابتدامروری بر نرم افزارهای انشعاب، تاریخچه ی آن ها و نیز جعبه ابزار matcont داریم. سپس از آن جایی که هدف ما در این مطالعه، آنالیز عددی انشعاب های نقاط تعادل و سیکل های حدی با استفاده از جعبه ابزار matcont است، مختصری درباره روش های عددی برای دستیابی به نقاط تعادل، سیکل های حدی وامتداد آن ها می پردازیم. همچنین انشعاب های هم بعد- 1 نقاط تعادل و امتداد آن ها تحت تغییر دو پارامتر و نیز محاسبه تمام نقاط انشعاب هم بعد- 2 بر روی این منحنی ها را بررسی کرده ایم. به طور مشابه انشعاب های هم بعد- 1 یک سیکل حدی و امتداد آن ها نیز معرفی شده است. در آخر با مطرح کردن چندین مثال در matcont ، به پیاده سازی الگوریتم های عددی و آنالیز انشعاب های موجود در این سیستم ها می پردازیم.

در این پایان نامه یک روش عددی جدید را برای حل معادلات انتگرال تابعی فردهلم مطرح می کنیم.این روش تکنیک نقطه ثابت را با انتگرال گیری عددی و درونیابی اسپلاین مکعبی ترکیب می کند.هم چنین همگرایی و پایداری این روش عددی را ثابت می کنیم.در ادامه یک معادله انتگرال فردهلم را با استفاده از درونیابی بی اسپلاین حل می کنیم و کارایی این روشها را با ارایه چند مثال نشان داده سپس، نتایج عددی حاصل از آن را بیان می کنیم.

در این پایان‎$ $‎نامه به حل معادلات انتگرال فردهلم و ولترا با استفاده از روش آنالیز هموتوپی می‎$ $پردازیم.‎ این روش یک روش تحلیلی-عددی برای حل معادلات انتگرال فردهلم و ولترا به شمار می‎$ $‎رود. این روش جواب معادله را به شکل یک سری نمایش می‎$ $‎دهد. ‎‎ در ابتدا یک معادله‎$ $‎ی مرتبه صفر را تعریف کرده و به دنبال آن یک معادله‎$ $‎ی مرتبه ‎$m$‎ را به دست می‎$ $‎آوریم که با استفاده از این معادله جواب‎$ $‎های مسئله را برآورد می‎$ $‎کنیم. در این روش، پارامتری به نام پارامتر کنترل کننده‎$ $‎ی همگرایی ایفای نقش می‎$ $‎کند. جواب‎$ $‎های معادله انتگرال به این پارامتر وابسته است به بیانی منطقه و سرعت همگرایی سری جواب را این پارامتر مشخص می‎$ $‎کند که با انتخاب درست از این پارامتر، هدف اصلی یعنی رسیدن به جواب مناسب را برای ما ضمانت می‎$ $کند.‎ البته این روش یک راه ساده برای انتخاب درست از پارامتر کنترل کننده‎$ $‎ی همگرایی را به ما ارائه خواهد کرد.

در این پایان نامه به بررسی رفتار های دینامیکی یک سیستم گسسته لوتکا‎-ولترامی ‎پردازیم که شامل بررسی انشعاب فلیپ‎ و نایمارک-ساکر در نقاط ثابت و رفتار آشوبی این سیستم و نیز بررسی رفتار دینامیکی نقاط ثابت و محاسبه منیفلد مرکز و خم های انشعاب مربوط به این نقاط است‎.‎ خم های مختلف انشعاب از قبیل خم های انشعاب فلیپ و نایمارک-ساکر به همراه نقاط انشعاب روی این خم ها را با استفاده از نرم افزار ‎matcontm‎ محاسبه می کنیم. با استفاده از شبیه سازی عددی نیز رفتارهای پیچیده تر سیستم از قبیل رفتار آشوبی و شبه - تناوبی را مورد بررسی قرار می دهیم.

این پایان نامه در چهار فصل تدوین شده است.در ابتدا به بیان مقدمات انتگرال و مشتق کسری می پردازیم و پایداری مجانبی را برای سیستم های معادلات دیفرانسیل معمولی و تأخیری در نتقطه تعادل صفر مطالعه می کنیم. در ادامه به بررسی پایداری مجانبی سراسری لیاپانف برای سیستم های دیفرانسیل با تأخیر های زمانی چند گانه و پایداری زمان-متناهی برای کلاسی از سیستم های کسری با تأخیر های زمانی می پردازیم. هم چنین شرایط پایداری (bibo) را برای سیستم های کسری با مرتبه های غیر متناسب دوگانه اثبات می کنیم و در پایان، برای اولین بار پایداری (bibo) را برای سیستم های کسری تأخیری از مرتبه منفرد و توزیعی مطرح و اثبات می کنیم.

سیستم معادلات که عموماً در کاربردها ظاهر می شوند غیر خطی اند و پیدا کردن جواب تحلیلی آن ها معمولاً میسر نیست. پیدا کردن تقریب مناسب برای این جواب ها از اهمیت فراوانی برخوردار است. در این مطالعه به حل دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی با روش تبدیل دیفرانسیل می پردازیم‎.ین پایان نامه شامل5‎ فصل است‎.‎ فصل اول، به تعاریف و مفاهیمی که در سایر فصل ها مورد استفاده قرار می گیرد اختصاص داده شده است. در این فصل مواردی از قبیل: روش لاپلاس و ویژگی های آن (تبدیل لاپلاس و جمع جبری، تبدیل لاپلاس و ضرب، تبدیل لاپلاس و مشتق آن)، تبدیل لاپلاس مشتق یک تابع،روش مستقیم،روش نیوتن-لایبرشتاین ومسئله غیرخطی ملایم با مقدار مرزی مورد بررسی قرار می گیرند.در فصل دوم، روش عددی تبدیل دیفرانسیل که بر پایه بسط تیلور بنا نهاده شده است، مطرح می شود. این روش یک جواب تقریبی به شکل چندجمله ای به ما می دهد. روش تبدیل دیفرانسیل یک روش تکراری برای به دست آوردن جواب های سری تیلور است. در این روش زمان کمتری برای حل معادلات دیفرانسیل صرف می شود.در این بخش روش تبدیل دیفرانسیل برای مسئله های خطی با مقدار اولیه به کار گرفته شده است. از روش تبدیل لاپلاس برای به دست آوردن جواب دقیق معادلات دیفرانسیل استفاده می کنیم تا با روش تبدیل دیفرانسیل مقایسه شود و کارایی روش تبدیل دیفرانسیل را نشان دهد. در این روش محاسبات زیاد و پیچیده نیست. در ادامه این فصل، سه دستگاه معادلات دیفرانسیل را بررسی می کنیم دستگاه هایی که در آن ها عدد ثابت به کار رفته شده تبدیل دیفرانسیل متفاوتی نسبت به بقیه دستگاه ها دارند. دو مثال با عدد ثابت استفاده شده و روش تبدیل دیفرانسیل برای آن ها توضیح داده شده است. همچنین با استفاده از نمودارها و جدول ها جواب تبدیل دیفرانسیل با جواب دقیق مقایسه شده است.در فصل سوم، تبدیل دیفرانسیل دو بعدی را معرفی می کنیم ‎در ادامه قضیه های مربوط به آن را بیان می کنیم و در پایان مثال هایی از دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی خطی و غیر خطی را ارائه خواهیم کرد.فصل چهارم به تبدیل دیفرانسیل سه بعدی اختصاص داده شده است. پس از معرفی تبدیل دیفرانسیل سه بعدی، قضایای مربوطه را خواهیم داشت و در نهایت مثالی از این تبدیل دیفرانسیل خواهیم آورد.در فصل پنجم تبدیل دیفرانسیل را برای مسئله های خطی و غیرخطی با مقدار مرزی به کار می بریم.از بین مسئله های مقدار مرزی، مسئله های ملایم را انتخاب می کنیم و جواب ها را با روش نیوتن-لایبراشتاین و روش مستقیم مقایسه می کنیم. این دو روش محاسبات طولانی دارند، لذا کارایی روش تبدیل دیفرانسیل را با جدول ها و نمودارهایی که با استفاده از برنامه‎matlab‎ رسم می شوند، نشان می دهیم.

نظریه معادلات دیفرانسیل دارای سابقه ی طولانی است که با تحقیقات نیوتن‎‎ آغاز شد. نیوتن قادر به حل مسئله ی دو جسم (حرکت زمین به دور خورشید) گردید و نتیجه این بود که نیروی جاذبه ی گرانش متناسب با عکس مجذور فاصله بین آن هاست. تلاش ریاضی دان ها و فیزیک دان ها برای تعمیم مسئله به سه جسم (خورشید، زمین، ماه) منجر به فهم این نکته شد که حل مسئله ی سه جسم اساساً غیرممکن است. تلاش برای یافتن پاسخ مسئله، زمانی به اوج خود رسید که این سوال مطرح شد: " آیا منظومه ی شمسی پایدار است؟ " در اواخر سال ‎1800‎ میلادی شخصی به نام هانری پوانکاره‎ ‎ با دید جدیدی به مسئله نگریست و مسئله ی پایداری یا ناپایداری سیستم خورشیدی را مورد توجه قرار داد و امکان بروز آشوب را مطرح ساخت. اما متأسفانه تا قرن بیستم توجه چندانی به مسئله ی آشوب نشد. یکی از ویژگی های اساسی سیستم های آشوبی، حساس بودن آن ها نسبت به شرایط اولیه است در واقع نظریه ی آشوب، مرتبط با سیستم هایی است که دینامیک آن ها نسبت به تغییر مقادیر اولیه، رفتار بسیار حساسی نشان می دهند، به طوری که رفتار آینده ی آن ها دیگر قابل پیش بینی نیست. این سیستم ها از نوع سیستم های دینامیکی غیرخطی هستنند.‎ با کشف کامپیوترهای با سرعت بالا در اواخر دهه ‎1950‎ میلادی، دانشمندان توانستند معادلاتی را حل کنند که قبل از آن ممکن نبود و لذا درک و آگاهی در مورد سیستم های غیرخطی افزایش یافت، در نتیجه پیشرفت در سیستم های آشوبی موفقیت های بزرگی را پدید آورد ‎. در سال ‎1963‎ ادوارد لورنز‎ با معرفی یک سیستم آب و هوایی آشوبی گام مهمی در این زمینه برداشت ‎. در سال ‎1999‎ چن‎‎ و یوتا‎ دوگان سیستم لورنز را معرفی کردند ‎و در سال ‎2002‎ لو‎‎ و چن سیستمی بین چن و لورنز کشف کردند ‎‎. بعد از آن افراد دیگری در این زمینه به موفقیت هایی دست یافتند که می توان به سیستم لیو‎‎، سیستم جدید شبه لورنز‎‎ و پن‎‎ سیستم اشاره کرد. اخیراً تایگان‎‎ سیستم دینامیکی سه بعدی به نام ‎ -‎t ‎سیستم را که بسیار شبیه به سیستم لورنز است معرفی کرد که در این پایان نامه به بررسی آن می پردازیم .‎ ازجمله مسائلی که آشوب را مورد توجه قرار می دهد نوسانگــرهای غیرخطی و کاربرد آن ها در فیــزیک و علوم مهنــدسی از جمله لیــزر، رادار و رادیــو است. در سال های اخیر آثار تجربی آشوب در سیال ها، مدارهای الکتــرونیکی، نوسانگرهای مکانیــکی و نیمه رساناها بررسی شدند ‎. ‎‎ این پایان نامه شامل ‎3‎ فصل است. در فصل اول، ابتدا به بیان تعاریف و مفاهیم مقدماتی مورد نیاز دیگر فصل ها می پردازیم. سپس محک راث - هورویتز‎را معرفی می کنیم و در نهایت توضیحات مقدماتی از منیفلد مرکز و فرم نرمال ارائه می دهیم‎.‎ در فصل دوم، به معرفی سه سیستم دینامیکی می پردازیم. این سیستم ها عبارتند از سیستم لورنز، چن و لو، که این سیستم ها را با توجه به ماتریس خطی سازی شده ی ‎ دسته بندی می کنیم. علاوه بر این در هریک از سیستم ها به بررسی نقاط تعادل و شرایط موجود برای داشتن انشعاب هپف یا چنگال می پردازیم. همچنین قضایایی در این زمینه بیان و اثبات می کنیم. در فصل سوم، سیستم جدیدی به نام ‎‎ -‎t ‎سیستم معرفی می شود که پس از به دست آوردن نقاط تعادل آن به بررسی انشعاب هپف و چنگال می پردازیم و با استفاده از قضیه ی فرم نرمال، مسیر انشعاب هپف و پایداری جواب های منشعب شده از آن را مشخص می کنیم. در فصل دو و سه نتایج عددی را با استفاده از نرم افزار ‎matcont‎ ارائه می دهیم.

در این پایان نامه ابتدا مقدمه ای از سیستم های دینامیکی تئوری منیفلد مرکز و فرم های نرمال را بیان می کنیم. سپس نتایجی از تئوری انشعاب نقاط تعادل سیستم های دینامیکی پیوسته را بیان می کنیم. به عنوان کاربرد سیستم های دینامیکی یک مدل تبلیغ را به صورت تحلیلی و عددی مطالعه می کنیم. مطالعه عددی با استفاده از نرم افزار دینامیکی matcont و شبیه سازی عددی انجام می شود.