اگر gیک گراف ساده متناهی باشد و برای راس vیک مجموعه(لیست) متناهی از رنگ ها تخصیص داده شده باشد، مساله اصلی پیدا کردن شرایطی است که تحت آن شرایط بتوان گراف gرا با این تخصیص لیستی طوری رنگ آمیزی کرد که رئوس مجاور رنگ متمایز دریافت کنند.شرط لازم برای چنین رنگ آمیزی شرط هال نامیده می شود.

در این پایان نامه ابتدا مفاهیم مقدماتی در رابطه با نظریه طرح های بلوکی مطرح می شود. سپس به مفهوم خاصی در رابطه با طرح های بلوکی تحت عنوان اندازه محمل می پردازیم. در فصل سوم اندازه محمل (3و6) -2 طرح بررسی می شود.ثابت می شود اندازه محمل هر (3و6) -2 در دامنه 10و 20 قرار دارد.در فصل چهارم اندازه محمل (4و9)-2 را بررسی می کنیم و ثابت می کنیم اندازه محمل هر(4و9)-2در دامنه 14و70 قرر داردونهایت در فصل پنجم اندازه محمل در سیستم های س تایی سه گانه مورد بررسی قرار می گیرد.

یک زیرمجموعه h از عناصر v را یک مجموعه تلاقی کننده برای طرح بلوکی نامیم هرگاه h با هر بلوک b تلاقی ناتهی داشته باشد.یک مجموعه بلوکی کننده برای طرح بلوکی یک مجموعه تلاقی کننده است هرگاه شامل هیچ بلوکی از b نباشد.

در این رساله به بررسی گراف های تمام رنگ پذیر و خصوصیات آن ها می پرازیم. در بعضی از گراف های خاص درستی حدس رنگ آمیزی کلی را نشان می دهیم و کران های بالایی برای عدد رنگی کلی مطرح می کنیم. مبحث اصلی مورد مطالعه در این رساله، بررسی گراف های یکتا رنگ پذیر کلی می باشد. حدس مهمی که در این زمینه مطرح می شود دلالت بر این دارد که تنها گراف های تهی، مسیرها و دورهای از مرتبه ی 3k، k یک عدد طبیعی است، در رده ی گراف های یکتا رنگ پذیر کلی جای می گیرند.

چ ?ده رن آم?زی حدس درست و .م پرداز?م آن خصوص?ات و رن پذ?رکل ? تا گرافهای بررس به رساله ا?ن در (dazheb erutcejnoc) بهزاد حدس به که حدس ا?ن .م کن?م اثبات -بخش k گرافهای برای را کل کن?د فرض که ا?نترت?ب به م کند؛ معرف گراف ? کل رن عدد برای را با?? کران است، مشهور ن?ز .( است گراف ب?ش?نهی درجهی ? ) ??? ? ? + ? دار?م بنابرا?ن آن، کل عددرن ??? و باشد گراف ? g م کن?م: بررس را ز?ر حدس دو همچن?ن ? k ) c?k دورهای و مس?رها، ته ، گرافهای (tu c) کل رن پذ?ر ? تا گرافهای تنها .1 حدس .(م باشند است عددطب?ع .م شود استفاده رأس ? برای حداقل رن هر ،(tu c) گراف ? در .2 حدس

در این پایان نامه به بررسی بعضی از خواص جبری و ترکیبیاتی پرمننت یک ماتریس مربعی و نیز کاربردهایی از آن در مسائل ترکیبیاتی خواهیم پرداخت. از آنجایی که بسیاری از مسائل ترکیبیاتی را می توان به کمک ماتریسهایی با درایه های ‎$ (+1,-1) $‎ و یا ‎$ (0,1) $‎ مدلسازی کرد‏، بدین جهت پرمننت این دسته از ماتریسها که شامل مفاهیم ترکیبیاتی می باشد، مورد توجه خواهد بود. همچنین به بررسی ماتریسهای تصادفی دوگانه که نقش مهمی در بحث احتمالات دارند‏‏، می پردازیم و نشان می دهیم پرمننت این دسته از ماتریسها همواره اکیداً مثبت است. در ادامه به دسته بندی ماتریسها با درایه های ‎$ (+1,-1) $‎ که دارای پرمننت ناصفر هستند می پردازیم. و همچنین شرایطی برای دسته ای از ماتریسهای ‎$ (+1,-1) $‎ که برای آنها ‎$ |det a|=|per a| $‎ به دست خواهیم آورد که این موضوع از نظر ترکیبیات باارزش است.

چگالی درختی یک گراف‏، ‎‎ماکسیمم تعداد درخت های فراگیر یال مجزای مشمول در گراف است. در این پایان نامه‏‏، ابتدا ‎‎با استفاده از همبندی یالی‏، ‏‏ کران هایی برای‎‎ چگالی درختی معرفی کرده و ‎‎سپس ‎‎چگالی درختی چند خانواده از گراف ها را به دست ‎‎می آوریم‎. سرانجام به شمارش تعداد درخت های متمایز و جنگل های ‎n‎ ‎ رأسی خواهیم پرداخت. ‎

فرض کنید ‎ ‎r‎ ‎ حلقه ای جابه جایی و یکدار باشد. گراف حلقه ‎ ‎r‎ را بدین صورت تعریف می کنیم که عناصر حلقه‏،‎ رأس های گراف هستند و دو عنصر ‎x,y در ‎ ‎r‎ ‎ در گراف وابسته به حلقه ‎r‎ ‎ با هم مجاورند اگر و تنها اگر ‎ ‎.xy=0‎ ‎ در این رساله نشان می دهیم برای چه حلقه هایی عدد خوشه ای و عدد رنگی این گراف برابر است و به موضوع رنگ آمیزی این گراف ها می پردازیم. همچنین گراف مقسوم علیه صفر حلقه ‎ ‎r‎ ‎ را با توجه به مجموعه مقسوم علیه صفر ناصفر حلقه ‎r‎ ‎ تعریف می کنیم و به بررسی تأثیر متقابل جبر و نظریه گراف خواهیم پرداخت.‎ ‎هم چنین کاربردی از نظریه گراف را در قالب اثباتی گرافی برای یک برابری کاملا جبری ارائه می کنیم.

یکی از تحولات مهم در تاریخ ریاضیات طرح واثبات قضایایی هستند که به مرور معلوم می شوند. سر فصل تحلیل و تشریح تازه ای را در روند مطالعات و تحقیقات ریاضیات پایه گذاری نموده اند. یکی از این قضایا در حوزه ی جبر ناجابه جایی قضیه کوچک ودربرن است. صورتبندی این قضیه ساده است از این قرار, "هر حلقه بخشی متناهی یک میدان است". این قضیه ابتدا در سال 1905 ارائه شد و خود ودربرن هم در همان سال ها سه اثبات برای آن ارائه کرد. بعدها و در طی قرن بیستم و حتی قرن جدید همواره دیدگاه های تازه موجب ارائه اثبات های جدیدی برای آن شده است. یکی از بهترین اثبات ها متعلق به ویت و یکی متعلق به وندرواردن است. در این رساله ضمن شرح و بررسی برخی از این اثبات ها به رویکردهای تازه ای که در اثبات این قضیه پدید آمده می پردازیم و تعمیمی از قضیه را نیز ارائه می دهیم.

بخش اول این رساله مربوط به نتایجی در حلقه های تقسیم می باشد که شامل فصل های دوم‏، سوم و چهارم است. بخش دوم مربوط به نتایجی در گراف های چند بخشی و ابرگراف های 3-بخشی 3-یکنواخت می باشد و شامل فصل های پنجم و ششم است. فصل اول این رساله شامل پیش نیازها از جمله تعاریف و نتایجی در حلقه های تقسیم و گراف ها می باشد که در فصل های بعدی مورد نیاز خواهند بود. در‎‏ فصل دوم جابجاگرهای ضربی یک حلقه تقسیم را بررسی می کنیم. در فصل سوم ایده آل های لی در حلقه ها را بررسی می کنیم. برگن هرشتاین و لانسکی نشان دادند که اگر یک حلقه دارای یک تابع مشتقی‎‎‎‎ باشد که تصاویر ناصفر آن وارون پذیرند آنگاه این حلقه یا یک حلقه تقسیم است یا حلقه ماتریس های ‎‎دو در دو‎‎‎‏ روی یک حلقه تقسیم است یا به صورت ‎‎$‎‎frac{d[x]}{(x^2)}‎$‎‎‎‏ می باشد که ‎‎$‎d‎$‎‏ یک حلقه تقسیم دارای شرایط خاص است‏. نشان می دهیم که اگر یک حلقه دارای یک ایده آل لی باشد که همه عناصر غیر صفر آن وارون پذیرند آنگاه این حلقه یک حلقه تقسیم است. با استفاده از این قضیه یک شرط کافی برای جابجایی بودن یک جبر ارائه می دهیم. در ادامه نشان می دهیم که تنها ایده آل لی رادیکال غیر مرکزی یک جبر ناجابجایی ‎$r‎$‎‎‏ برابر ‎‎$‎[r,r]‎$‎‏ می باشد. در فصل چهارم این رساله حلقه های تقسیم دارای یک تابع برگشت‎ را بررسی می کنیم. در این فصل با استفاده از ایده ناوردایی قضیه-کارتان-براور-هوا نشان می دهیم که اگر حلقه تقسیم ‎$d‎$‎‎‏ دارای یک تابع پیچش ‎‏‎باشد و ‎‎$‎m‎$‎‎‎‏ یک زیرفضای ‎‎$‎s‎$‎‎‏-ناوردای ‎‎$‎d‎$‎‎‏ باشد آنگاه یا ‎$‎‎‎m‎$‎‏ در مرکز ‎‎$‎d‎$‎‏ قرار دارد یا یک ایده آل لی ‎‎$‎d‎$‎‏ است. در فصل پنجم ‏گراف های چند بخشی کوهن-مکالی را مطالعه می کنیم. در واقع نشان می دهیم که ‏‎ در یک گراف ‎‎$‎r‎$‎‎‏-بخشی کوهن-مکالی با پوشش خوشه ای مینیمال‎‏‏، یک راس از درجه ‎‎$‎r-1‎$‎‏ وجود دارد. همچنین به عنوان نتیجه ای از این قضیه نشان می دهیم که این پوشش یکتاست. در فصل ششم ابرگراف های 3-بخشی 3-یکنواخت را بررسی می کنیم. در این فصل نشان می دهیم که اگر ابرگراف ‎$mathcal{f}$‎ خوش پوش باشد آنگاه یک جورسازی کامل در ‎$mathcal{f}$‎ وجود دارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

موضوع این پایان نامه بحث در مطالب مربوط به قضیه اصلی کارتان-براو-هوا ،اثباتهای متنوعی از آن، تعمیم های متفاوتی از آن، و کاربردهایی از آن است.حوزه بحث در این رساله در شاخه جبر ناجابجایی است.